三角恒等变形讲义

1、 三角恒等变换专题讲义 李霞 知识点 1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1.两角和与差的余弦公式 cos（：-I1）=cos=cos:sin 二 sin: cos（-）=cos 二 cosP-sin 二 sin: 注：1.公式中两边的符号正好相反（一正一负） 2. 式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后 3. 会逆用及其变形 2.两角和与差的正弦 sin（一：-：）=sin:cos:-cos:sin: sin（:工-I，）=sin:cos:cos:sin: 注：1.公式中两边的符号相同 2.式子右边异名三角函数相乘再加减 3.会逆用及其变形 3.两角和与差的正切公式 tan二t

2、an: tan（a+3）=一 a, 1 tan-：tan- tan二Tan: 1 tan-tan: 注：1.两角和时，上加下减 2 .两角差时，上减下加 3 .会逆用及其变形 考点 1:求值问题 【例】求下列各式的值 (1) cos75 (2) cos75cos15 sin255sin15 tan（-破）= (3) sin47二sin47Cos30cos17 (4) 1+tan75 1tan75 (5) tan20+tan40+糜tan20tan40 考点 2:化简问题 【例】化简下列各式 (1)-sinx+1cosx22 (2)sinx1cosx22 知识点 2:两倍角的正弦、余弦和正切公式

3、 1 .两倍角的正弦公式 Sin2a=2sinacosa 2 .两倍角的余弦公式 Cos2aROS2a-sin2a=2cos2a1=12sin2a 3 .两倍角的正切公式 2tan: tan2a=2 1-tan: 注：对以上三个公式会逆用及其变形 考点：求值问题 orcosa=2,亦(0,Ji),贝sin2a= 知识点3:简单的三角恒变形 1 .半角公式 a cos二 2 1cos： 3,积化和差 1 二一sin(汽)I)-sin(:-)2 1 =_sin(二：,-1)-sin(:)2一a (3)tan一2 2.和差化积 (1) sin二；sin sin 1-cos- (2) sin二一sin

4、 (3) cos- sin工 cos二cos 2 Ra十P 2cos 2 Ra+F ，-=2cos C+PC-P cos sin2 a-cos一 22 3a+Pa-Pcos:-cos-2sinsin 22 例1已知：sin 【例 2】计算求值 sin10 3 cos1 (1)sin= 2 -cos： (1)sin二cos: cos二sin- 1， (3) cosotcosP=cos(a+P)+cos(a一P) 2 1， (4) sin：sin:=cos(:二，p)cos(：.I)2 4.辅助角公式 辅助角公式：asinx+bcosx=A/a1b2sin(x+8)(其中日角所在的象限由 a,b

5、的 符号确定，0角的值由tane=b确定)在求最值、化简时起着重要作用a 考点 1：化简求值问题 (1)开幕化简 /-2 【例【例 2】化简：1-sin440 1:12 【例【例2】已知0Pan且cos(口一一)=一一,sin(一P)=，求的值 【例【例 3】e 是第三象限角，化简 1sin： ,1-sin; 1-sin： 3 【例 1】右 gW(n,n),化简 2 1-cos11cos1 1cos-1-cos- (2)降幕化简 2 【例【例 1】求函数y=2cosx+sin2x的取小值冗 丁(鼻,二) 【例【例 4】化简 【例【例 2】函数y=2C0S12x-L1最小正周期为 ,4 2292

6、3 cos(-l1-1) R的单调递增区间为 (3)切化弦 【例【例 1】求】求 sin50(1+/3tan10)的值 （4）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如a=（。+P）-P=（。-P）十P, ot+B 2a=（c（+P）+（久一P）,2a=（P十a）一（Pa）,a+P=22, 2 1】已知tan（u十口）=_5 ji ,求tan(a+-)的值【例【例 2】(tan10 73) cos10 sin50 【例【例 a 和 3,满足 sin(a-3)=3,sina=4,求 sin3 的值 55 (5)辅助角 3 【例【例 1】已知函数

7、f(x)=2cosxsin(x+)- 32 (1)求函数f(x)的最小正周期及取得最大值时x的取值集合 (2)求函数f(x)图像的对称轴方程 【例【例 2】已知函数f(x)=2acos2x+bsinxcosx-3,且f(0)=,f()=-o2242 (1)求f(x)的单调递减区间 (2)函数f(x)的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数 f- 【例【例 3】已知函数 y=1cos2x+-3-sinx-cosx+1(xCR) 2 2 (1)当函数 y 取得最大值时，求自变量 x的集合 (2)该函数的图像可由 y=sinx(xCR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到 【例【例 3】

8、已知：锐角 1 【例【例 4】已知：tan(+)= tan 二1 (3)=，求 tan(a+3)的值 62 11 【例【例 4】已知函数f(x)=cos(+x)cos(x),g(x)=-sin2x-。3324 (1)求f(x)的最小正周期； (2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。 (6)关于 sina cose(与 sinotcosa(或 sin2a)的关系的推广应用 (由于(sinacosa)2=sin2a+cos2a2sinacosa=12sinacosot故知道 (sincos),必可推出 sinscosw(或 sin2) 3Q.Q. 【例

9、】【例】已知sinHcose=，求sin日cos日。 3 (7)利用公式：sin2a+cos2ct=1 及“托底”方法求值 【例【例 1】已知：tg 口=-3,求 sin 口 cosa-cos%的值 【例【例 2】已知： tga=3,求s3cosa的值2sin=ccos: 考点 2:证明问题 证三角恒等式时，先观察左右两边： 是否同名函数？如果不是同名函数，一般保留正弦和余弦，把其它的变为正弦和余弦（异名化同名） 是否同角函数？如果不同角，就要考虑利用倍角、半角公式，（异角化同 角）； 次数是否相同？如果两边不同次，就要注意是否有必要“升次”或“降次”； 是繁还是简？一般从较繁的一边往较简的一

10、边变 （化繁为简） ， 如果两边都繁，则变两边（左右归一）， 有时还需要用三角函数值来替换数字，根据角来对三角函数加以配凑和拆项 （1）异名化同名 【例【例 1】求证: 1-sin：1csc：,3 =cot; 1-cos：1sec： 【例【例 2】求证 1-2sin二：cosj1-tan工 2.2一,，一 cos:-sin二1tan- 【例【例 3】求证: 1secxtanx1sinx 1secxTanxcosx 【例【例4】 求证：tanA+cotA= 2 sinA 2sin4： .3_ sin2; (2)异角化同角 【例【例 1】求证：tg5X+tg3a=4cos2acos4atg5：-tg3： 【例【例 2】求证：tanx-tan-=2sinx 22cosxcos2x (3)降次 6.6. 1-sin二-cos3 1-sin4cos%2 【例【例 2】求证 /4.4 1-cos二-sin=/c.22 66=1-3sin:cos： 1-c