空间解析几何双曲抛物面学习教案

1、空间空间(kngjin)解析几何双曲抛物面解析几何双曲抛物面第一页，共19页。2. 双曲抛物面双曲抛物面定义定义(dngy) 2 在直角坐标在直角坐标(zh jio zu bio)系下，由方程系下，由方程zbyax22222（2）所表示的曲面叫做双曲抛物面，方程（所表示的曲面叫做双曲抛物面，方程（2）叫）叫做双曲抛物面的标准方程，其中做双曲抛物面的标准方程，其中 为任意的正为任意的正常数常数.ba, 显然曲面（显然曲面（2）关于）关于 面，面， 面与面与 轴轴 对称，但是它没有对称中心对称，但是它没有对称中心.xOzyOzz对称性对称性第1页/共19页第二页，共19页。002222zbyax用

2、坐标平面用坐标平面 曲截割曲面，就得曲截割曲面，就得0z（5）zbyax22222与坐标与坐标(zubio)面的面的截线截线是什么是什么(shn me)曲线？曲线？这是一对这是一对(y du)相交于原点的直线，相交于原点的直线，方程可以进一步写为：方程可以进一步写为：第2页/共19页第三页，共19页。00zbyax与与00zbyax（5）其次用坐标平面其次用坐标平面 与与 来截割曲面来截割曲面0y0 x0222yzax（6）与与0222xzby（7）分别分别(fnbi)得方程得方程zbyax22222两抛物线两抛物线.这两抛物线叫做这两抛物线叫做(jiozu)双曲抛物面的双曲抛物面的主抛物线主

3、抛物线.第3页/共19页第四页，共19页。主抛物线的特点主抛物线的特点(tdin).有相同有相同(xin tn)的顶点的顶点与对称轴与对称轴.0222yzax（6）0222xzby（7）它们所在的平面互相它们所在的平面互相(h xing)垂直，垂直，0y 但两抛物线的开口方向不同，抛物但两抛物线的开口方向不同，抛物 线（线（6）沿）沿z 轴轴方向开口，而抛物线（方向开口，而抛物线（7）的开口方向却与）的开口方向却与 z 轴轴方向相反方向相反.xyzo0 x 第4页/共19页第五页，共19页。xyzo双曲抛物面主截线双曲抛物面主截线22222xyzabz=0 x=0y=0第5页/共19页第六页，

4、共19页。)0( hhzhzhbyhax1222222（8）与坐标面平行与坐标面平行(pngxng)的平的平面的截口面的截口如果如果(rgu)用平行于用平行于 xoy面的平面面的平面zbyax22222来截割曲面来截割曲面(qmin)截线方程为截线方程为:总是双曲线总是双曲线.0h当当 时，时，与与x轴平行，轴平行，双曲线（双曲线（8）的实轴）的实轴虚轴与虚轴与 y 轴平行，轴平行，xyzo第6页/共19页第七页，共19页。), 0 ,2(hha当当 时，时，0hhzhbyhax1222222（8）h0时顶点时顶点(dngdin)双曲线（双曲线（8）的实轴）的实轴0222yzax（6）虚轴与虚

5、轴与x轴平行轴平行(pngxng)，与与y轴平行轴平行(pngxng)，顶点顶点),2, 0(hhb 在主抛物线（在主抛物线（7）上）上0222xzby（7）在主抛物线（在主抛物线（6）上）上xyzo第7页/共19页第八页，共19页。 因此因此(ync)，曲面被，曲面被 xoy平面分割成上下两部分，平面分割成上下两部分，下半部沿下半部沿 y 轴的两个轴的两个(lin )方向下降，方向下降，上半部沿上半部沿x轴的两个方向轴的两个方向(fngxing)上升，上升，所以双曲抛物面也叫做所以双曲抛物面也叫做马鞍曲面马鞍曲面.曲面的大体形状象一只曲面的大体形状象一只马鞍子，马鞍子，双曲抛物面的形状比较复

6、杂，为了进一步明确它的结构，双曲抛物面的形状比较复杂，为了进一步明确它的结构，我们再来观察用平行于我们再来观察用平行于xoz面的一组平行平面面的一组平行平面 ty 来截割曲面来截割曲面xyzo第8页/共19页第九页，共19页。所得所得(su d)的截线方程的截线方程tybtzax)2(22222（9）zbyax22222用平行于用平行于xoz面的一组平行平面面的一组平行平面 ty 来截割曲面来截割曲面这时截线仍然这时截线仍然(rngrn)为抛物线为抛物线与主抛物线与主抛物线(6)比较比较(bjio)0222yzax（6）1.与抛物线（与抛物线（6）是全等的，）是全等的，2.平行于这个主抛物线所

7、在平行于这个主抛物线所在的平面的平面xozyxoz第9页/共19页第十页，共19页。tybtzax)2(22222（9）3.顶点顶点(dngdin)2, 0 (22btt 在另一主抛物线（在另一主抛物线（7）上）上0222xzby（7）即即: 抛物线抛物线(9)的顶点在的顶点在(7)上上, 开口、大小开口、大小(dxio)与（与（6）相）相同且平行同且平行. 它这样移动就生成整个马鞍面它这样移动就生成整个马鞍面(双曲抛物面双曲抛物面看下面看下面(xi mian)的的演示演示yxoz第10页/共19页第十一页，共19页。用用z = az = a截曲面截曲面(qmin)(qmin)用用y = 0y

8、 = 0截曲面截曲面(qmin)(qmin)用用x = bx = b截曲面截曲面(qmin)(qmin)xzy022222xyzab平行截割法平行截割法（马鞍面）（马鞍面）双曲抛物面双曲抛物面 第11页/共19页第十二页，共19页。平行平行(pngxn(pngxng)g)截割法截割法.双曲抛物面双曲抛物面（马鞍（马鞍(m n)面）面）xzy0用用z = az = a截曲面截曲面(qmin)(qmin)用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面22222xyzab第12页/共19页第十三页，共19页。平行平行(pngxng)(pngxng)截割法截割法.双曲抛物面双曲抛物面（马鞍（马鞍

9、(m n)面）面）xzy0用用z = az = a截曲面截曲面(qmin)(qmin)用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面22222xyzab第13页/共19页第十四页，共19页。 椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面，它们椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面，它们都没有都没有(mi yu)对称中心，所以又叫做无心二次曲面。对称中心，所以又叫做无心二次曲面。第14页/共19页第十五页，共19页。第15页/共19页第十六页，共19页。第16页/共19页第十七页，共19页。例例1 作出球面作出球面 与旋转抛物面与旋转抛物面 的交线。的交线。8222zyxzyx222解解两曲面两曲面(qmin)的交线为的交线为zyxzyx2822222（1）（2）（2）代入（）代入（1）得）得0822 zz即即0)2)(4(zz24zz或由（由（2）知）知 ，所以取，所以取 ，因此交线方