初中数学数与式概念总结

1、精选优质文档-倾情为你奉上代 数第一部分 数与式第一章 实 数一 、实数的有关概念1、定义：有理数和无理数统称为实数。2、实数的分类有限小数和无限循环小数（1）按性质分类 (2)按定义分类 正整数 正有理数 整数 0 正实数 有理数 负整数 实数 正无理数 正分数 零 实数 分数 负有理数 负分数 负实数 负无理数 无理数：无限不循环小数2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。1)实数和数轴上的点是一一对应的。2）数轴上两点表示的数，右边的数总比左边的数大。正数0，负数0，正数负数。两个负实数比较大小，绝对值大的反而小。3、实数的性质1）相反数：如果两个数只有符号不同，那么这两个

2、数互为相反数。性质：a的相反数是-a，0的相反数是0。 若a,b互为相反数，则a+b=0.)几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个数位于原点的两侧，且到原点的距相等4、绝对值：数轴上一点到原点的距离。正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。若|a|=a，则a>0；若|a|=-a，则a<0.若|a|=0，a=0性质：1）绝对值具有非负性，即|a|0 2）若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0. 即|a|+|b|+|c|+|d|=0则a=b=c=d=03)互为相反数的两个数绝对值相等5、倒数：如果两个数的乘积为1，称这两个数互为倒数。0没有倒数。若a

3、和b互为倒数，则ab=1,若ab=1，则a和b互为倒数。6、平方根和立方根算数平方根平方根立方根定义X=a (x一个值，取正) 记做X=X=a(x两个值，一正一负) 记做x= X=a(x一个值，可正可负) 记作x= 性质1、正数有一个正的算数平方根2、0的算数平方根是03、负数没有算数平方根4、双重非负性 即a0且1、正数有两个算数平方根，且互为相反数。2、0的平方根是03、负数没有平方根。1、正数有一个正的立方根2、负数有一个负的立方根3、0的立方根是0取值范围中a0x= 中a取任意实数注：平方根是本身的数是0；算术平方根是它本身的数是0和1；立方根是它本身的数是-1、1和0。（1）平方根的

4、估算方法：先确定估算书的整数范围，如22732，以较小的整数为基础，开始逐步加0.1，并求其平方，确定被估算数的十分位，然后依次往下估算。（2）非负数的性质：若两个非负数的和为0，则这两个数一定都为0； 非负数的最小值是0；几个非负数的和仍是非负数。 数轴法：右边的数总大于左边的数。 数的性质：正数大于0,0大于负数，正数大于负数 7、比较大小： 绝对值法：两个负数比较大小，绝对值打的反而小 平方法：带根号的数比较大小 同为正号，平方大的大，平方小的小 同为负号，平方小的大，平方大的小作差法：若a-b0，则ab；a-b0，则ab 作商法：a、b同号： 。 倒数法：；若8、几种常见的非负数:1)

5、绝对值的非负性：任意实数的绝对值都是非负的，即|a|02)平方的非负性：任意实数的平方都是非负的，即a20,a2n03)算术平方根的非负性：任意实数的算数平方根都是非负的0且a0.二、实数的运算：1、加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。异号两数相加，绝对值相等时和为0；注：互为相反数的两个数相加和为0。一个数同0相加，仍得这个数。加法交换律 加法结合律 2、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。3、乘法法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。2）任何数与0相乘，积仍为0。

6、3）、倒数：如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 4、除法法则：法则1：除以一个数等于乘这个数的倒数。 法则2：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。注意：0除以任何非0的数都得0。0不能作除数。5、乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作 an 。a叫做底数， n叫做指数。读作“a的n次幂”正数的任何次幂都是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数。6、科学记数法：讲一个，一个绝对值大于10或小于1的数表示成的形式，其中，n是整

7、数的方法叫做科学记数法。（当这个数小于时，n取负）7、运算顺序先乘除，后加减，括号在前，乘方优先。同级左到右，括号小中大。8、 常用平方数：22=432=942=1652=2562=3672=4982=6492=81102=100112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324192=361202=400212=441222=484232=529242=576252=625262=676272=729282=784292=841302=900312=96123=843=6453=12563=21673=34383=51224=16

8、25=3226=6427=12828=25693=729第2章 整 式第一节 代数式及整式一、代数式：1、定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。注：1）含有括号也是代数式，但代数式中不含有“=、>、<、”等符号。 2）代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。2、书写规范： 代数式中的乘号，通常用·表示或省略不写，如vt；数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作；数字与数字相乘，仍用“&

9、#215;”号，即“×”号不省略；在代数式中的出号，一般写成分数形式，如4÷（a-4）应写作；在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。二、整式：单项式和多项式统称为整式。1、单项式：都是数字和字母乘积的形式的代数式叫做单项式。单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数；数字因数叫做这个单项式的系数。注意：1.单独的一个数或一个字母也是单项式；2.单独一个非零数的次数是0；3.当单项式的系数为1或-1时，这个“1”应省略不写，如-ab的系数是-1，a3b的系数是1。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中

10、，每个单项式叫做多项式的项；次数最高的项的次数叫做多项式的次数。三、整式的加减1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。注意：同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；几个常数项也是同类项。2、合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。3、去括号法则:根据去括号法则去括号：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项都改变符号。根据分配律去括号：括号前面是“+”号看成+1，括号前面是“”号看成-1，根据乘法的分

11、配律用+1或-1去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。运算法则：几个整式相加减，有括号就先去括号，再合并同类项。 化简求值的步骤：先化简再求值。去括号-合并同类项-代入数值四、整式乘除：1、幂：表示n 个相同因式的乘积。n个a相乘记作an，a叫底数，n叫指数，an叫做幂。2、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：aman=am+n。3、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（am)n=amn。 amn =(am)n=(an)m4、积的乘方运算法则：积的乘方等于积中各因式分别乘方的积。即（ab)n=anbn。5、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相

12、减，即： am÷an=am-n（a0）。6、零指数幂的意义：任何非0 数的0 次幂都等于1，即:a0=1（a0）。7、负指数幂:任何非0 数的-P 次幂，等于这个数的P次幂的倒数，（a0）8、整式的乘法:单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。即： m(a+b+c)=ma+mb+mc。运算时注意每项的符号多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加

13、，能合并同类项的要合并同类项。即： (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。注：1多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。9、平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。即：（a+b)(a-b)=a2-b2。变形公式：(x+y)(-y+x)=x2-y2 (-x+y)(-x-y)=x2-y2(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 (2a+b)(2a-b)=4a2-b2(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2 (x+y)(x-y)(x2+y2)=x4-y410、完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或

14、减去）它们的积的2倍。 即：(a±b)2=a2±2ab+b2变形公式： 完全平方式：我们把形如 a2±2ab+b2的二次三项式称作完全平方式。 11、整式的除法单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 五、探索与表达规律1、数字规律和代数式规律常见的几种数字规律形式：2、新运算的规律新运算是指用特定的符号表示与加、减、乘、除不相同的一种规定运算新运算的实质是有理数的几

15、种混合运算，关键是观察出用到了哪些运算，要特别注意运算的顺序3、图形规律探索图形规律的实质是用字母表示数，即列代数式要从不同的角度分析，可用去括号、合并同类项验证规律第二节 因式分解一、定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做分解因式 判断方法：1看计算结果是不是乘积形式，看积中因式是不是整式，看左右是否相等二、分解方法：1、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法1）公因式：多项式的各项都含有的的公共的因式，叫公因式。2）公因式的确定方法：系数多项式中各项系数的最大公约数字母

16、多含有的相同字母相同字母的次数多项式中各项中相同字母的最低次数3）注意事项：提取公因式时，第一项的系数为负时，要和负号一起提取2、 公式法：利用平方差公式和完全平方公式将多项式分解因式的方法，叫公式法 a2-b2 = (a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)23、 十字相乘法:形如x2+(a+b)x+ab可转化为(x+a)(x+b)的形式，我们把这个方法叫做十字相乘法。即：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)4、分组分解法:把 am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)，这样的分解方法叫分组分解法。三、因式分解的步骤1、看

17、式中有无公因式，有公因式先提取公因式；2、看有无公式（两项平方差，三项完全式、四项分组解，再有想十字）。3、分解因式一定要分解到不能再分解为止。 第三章 分 式一、分式概念：1、定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，分式中，A叫做分于,B叫做分母。2、判定一个式子是分式的方法：同时满足：具备的形式；A、B均为整式：B中含有字母.判断一个代数式是否为分式，只能根据原式进行判断，不能变形后判断。二、分式有意义的条件和分式值为0的条件1.分式有意义的条件：当B0时，分式才有意义。（分式有无意义取决于分母）2.分式的值为0的条件：（1）文字表述：当分式的分子等于0，

18、且分母不等于0时，分式的值为0.（2）代数表达：当A=0且B0时，分式=0.三、分式的基本性质1、分式的基本性质（1）文字表述：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。（2）字母表达，=,=（C0），其中A.B.C是整式。2、注意事项：应用分式基本性质时，要注意在乘或除以同一个整式时，该整式不能等于0四、分式的通分、约分及最简分式1、约分：根据分式的基本性质,把这个分式的分子、分母的公因式约去,这叫做约分.约分步骤：分子分母都是单项式直接约分；分子分母是多项式，先分解因式再约分2、 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫最简分式。3、通分（1）文字表述：根据分式的基本性

19、质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.（2）字母表达：（3）通分的步骤：将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应先进行因式分解；确定最简公分母，即各分母的所有因式的最高次幂的乘积；将分子、分母同乘一个因式使分母变为最简公分母.4.最简公分母：各分式分母的所有因式的最高次幂的积，叫做最简公分母.确定最简公分母的方法：系数各分母系数的最小公倍数；字母各分母中含有的所有字母；相同字母的次数各分母中相同字母的最高次幂五、分式的运算1、分式的乘除（分式的乘除法与分数的乘除法类似）（1）乘法法则文字表述：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积

20、的分母。式子表达：。整式与分式相乘时，把整式看成是分母为1的分式与分式相乘。（2）除法法则文字表述：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表达：（3）乘方法则文字表达：分式乘方要把分子分母分别乘方。式子表达：一般地，当n都是正整数时，；逆用公式：变形式：零指数幂运算：；负整数指数幂运算：2、分式的加减（1）同分母分式相加减文字表述：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。式子表达：（2）异分母分式相加减文字表述：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。式子表达：。3、分式的混合运算（一定要注意符号）无括号：乘方乘除加减有括号：小括号中括号大括号结果为最简形式6、 分式方程1、分式方程的有关概念（1）分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。（2）判断一个方程是不是分式方程：看方程的分母是否含有未知数，如果分母中含有未知数，那