离散数学代数结构部分学习教案

1、会计学1离散数学代数离散数学代数(dish)结构部分结构部分第一页，共126页。第五章第五章 代数代数(dish)(dish)系统系统 代数结构又称为代数系统，简称代数，是抽代数结构又称为代数系统，简称代数，是抽象代数的主要研究对象。象代数的主要研究对象。 代数系统的种类很多，它们在计算机科学的代数系统的种类很多，它们在计算机科学的自动机理论、编码理论、形式语言、时序线自动机理论、编码理论、形式语言、时序线路、开关线路计数问题以及计算机网络纠错路、开关线路计数问题以及计算机网络纠错码的纠错能力判断、密码学、计算机理论科码的纠错能力判断、密码学、计算机理论科学等方面有着学等方面有着(yu zhe

2、)非常广泛的应用。非常广泛的应用。第1页/共126页第二页，共126页。第2页/共126页第三页，共126页。5.15.1节节 二元运算二元运算(yn sun)(yn sun)及其性质及其性质SSSSf:S在整数集合在整数集合 上，对任意两个整数所进上，对任意两个整数所进行的普通加法和乘法行的普通加法和乘法(chngf)，都是集合，都是集合上的二上的二元运算。元运算。 Z第3页/共126页第四页，共126页。1 唯一性唯一性2 集合集合S中任意的两个元素都能进行这种运中任意的两个元素都能进行这种运3 算，并且结果算，并且结果(ji gu)要是唯一的。要是唯一的。S封闭性封闭性 集合集合S中任意

3、中任意(rny)的两个元素运算的结果的两个元素运算的结果都是都是属于属于S的，就是说的，就是说S对该运算是封闭的对该运算是封闭的 第4页/共126页第五页，共126页。n2第5页/共126页第六页，共126页。例例5.2 设设Q是有理数集合是有理数集合(jh)，*是是Q上的二上的二元运算，对任意的元运算，对任意的a，bQ，a*ba+b-ab，问运算，问运算*是否可交换。是否可交换。解：因为解：因为 a*ba+b-abb+a-bab*a，所以运算所以运算(yn sun)*是可交换的。是可交换的。第6页/共126页第七页，共126页。5.15.1节节 二元运算二元运算(yn sun)(yn sun

4、)及其性质及其性质SSSSf:S在整数集合在整数集合(jh) 上，对任意两个整数所进上，对任意两个整数所进行的普通加法和乘法，都是集合行的普通加法和乘法，都是集合(jh)上的上的二二元运算。元运算。 Z第7页/共126页第八页，共126页。例例5.2 设设Q是有理数集合是有理数集合(jh)，*是是Q上的二上的二元运算，对任意的元运算，对任意的a，bQ，a*ba+b-ab，问运算，问运算*是否可交换。是否可交换。解：因为解：因为 a*ba+b-abb+a-bab*a，所以运算所以运算(yn sun)*是可交换的。是可交换的。第8页/共126页第九页，共126页。例例5.3 设设A=Z,“+”是整

5、数是整数(zhngsh)中中的加法：则的加法：则 “+”在在Z中适合中适合(shh)结合律。结合律。 “。”是整数中的减法：则特取是整数中的减法：则特取 而 运算“。”不满足结合律 第9页/共126页第十页，共126页。例例5.4 设设P(S)是集合是集合S的幂集，在的幂集，在P(S)上定义的上定义的两个两个(lin )二元运算，集合的二元运算，集合的“并并”运运算算和集合的和集合的“交交”运算运算，验证，验证，是是等幂的。等幂的。解：解： 对于任意的对于任意的AP(S)，有有AAA和和AAA，因此因此(ync)运算运算和和都满足等都满足等幂律。幂律。 第10页/共126页第十一页，共126页

6、。例例5.5 在实数在实数(shsh)集集R上，上， 对于(duy)普通的乘法和加法有 即乘法对加法是可分配的。 第11页/共126页第十二页，共126页。则称。运算和则称。运算和*满足满足(mnz)吸收律吸收律 例例5.6 设集合设集合N为自然数全体，在为自然数全体，在N上定义上定义两个二元运算两个二元运算(yn sun)*和，对于任和，对于任意意 x，yN，有，有x*ymax(x，y)， xymin(x，y)， 验证运算验证运算(yn sun)*和满足吸收律。和满足吸收律。第12页/共126页第十三页，共126页。解：对于解：对于(duy)任意任意a，bNa*(ab)max(a，min(a

7、，b)a a(a*b)min(a，max(a，b)a 因此，因此，*和满足和满足(mnz)吸收律。吸收律。第13页/共126页第十四页，共126页。5.25.2节节 二元运算二元运算(yn sun)(yn sun)中的特殊元素中的特殊元素1. 1. 幺元幺元第14页/共126页第十五页，共126页。 对于给定的集合和运算(yn sun)有的存在幺 元，有的不存在幺元。第15页/共126页第十六页，共126页。第16页/共126页第十七页，共126页。所以(suy)幺元是唯一的。第17页/共126页第十八页，共126页。lere第18页/共126页第十九页，共126页。2. 2. 零元零元第19

8、页/共126页第二十页，共126页。第20页/共126页第二十一页，共126页。所以(suy)零元是唯一的。第21页/共126页第二十二页，共126页。lr第22页/共126页第二十三页，共126页。2. 2. 逆元逆元 第23页/共126页第二十四页，共126页。例例5.8 整数集整数集Z上关于上关于(guny)加法的幺元是加法的幺元是0，对任意的整数对任意的整数m，它关于，它关于(guny)加法的逆加法的逆元是元是-m,因为因为第24页/共126页第二十五页，共126页。则必是惟一(wiy)的。 所以对于可结合(jih)的二元运算，逆元是惟一的。第25页/共126页第二十六页，共126页。

9、lyry第26页/共126页第二十七页，共126页。解：解：*运算适合交换律、结合律和消去律，不适运算适合交换律、结合律和消去律，不适合幂等律。单位合幂等律。单位(dnwi)元是元是a，没有零元，没有零元，且且 运算适合交换律、结合律和幂等律，不适合消去律。单位(dnwi)元是a，零元是b.只有a有逆元， 运算不适合交换律，适合结合律和幂等律，不适合消去律。没有(mi yu)单位元，没有(mi yu)零元，没有(mi yu)可逆元素。 第27页/共126页第二十八页，共126页。5.35.3节节 代数代数(dish)(dish)系统系统 代数系统(xtng)也简称为代数。 例如，R是实数集，对

10、于普通的加法和剩法运算， M是n阶方阵构成的集合，对于矩阵的加法和剩法运算， 第28页/共126页第二十九页，共126页。都是封闭(fngb)的，且B和S含有相同的代数常数，则称 第29页/共126页第三十页，共126页。第30页/共126页第三十一页，共126页。例例5.11 设第31页/共126页第三十二页，共126页。 定义定义(dngy)5.14 设设第32页/共126页第三十三页，共126页。第33页/共126页第三十四页，共126页。例例5.14 表示求两个表示求两个(lin )数的最小公倍数的运算。则数的最小公倍数的运算。则 解：解： 零元是不存在零元是不存在(cnzi)的，的，

11、 只有惟一的逆元。只有惟一的逆元。第34页/共126页第三十五页，共126页。例5.15 在有理数集Q上定义(dngy)二元运算*解解：第35页/共126页第三十六页，共126页。第36页/共126页第三十七页，共126页。例5.16 设有集合(jh) 解解：讨论这5个集合(jh)对普通的乘法和加法运算是否封闭。第37页/共126页第三十八页，共126页。例5.17 设 解解：第38页/共126页第三十九页，共126页。第六章第六章 几个典型的代数几个典型的代数(dish)(dish)系统系统 本章讨论几类重要的代数结构本章讨论几类重要的代数结构(jigu)： 半群、群、环、域、格与布尔代数半

12、群、群、环、域、格与布尔代数 第39页/共126页第四十页，共126页。6.16.1节节 半群与群半群与群是可结合(jih)的即： 第40页/共126页第四十一页，共126页。例6.1（1）普通(ptng)加法是 （2）普通(ptng)乘法是N,Z,Q和R上的二元运算，满足 结合律且有幺元1 第41页/共126页第四十二页，共126页。第42页/共126页第四十三页，共126页。例例6.2定义定义(dngy)6.3 设设 第43页/共126页第四十四页，共126页。定义定义(dngy)6.5 设设 第44页/共126页第四十五页，共126页。例例6.3 设设 证明G关于矩阵乘法(chngf)构

13、成一个群故G关于(guny)矩阵乘法是Z上的代数运算，矩阵乘法满足结合律，故G关于(guny)矩阵乘法构成半群， 在G中每个矩阵的逆元都是自己， 所以 G关于(guny)矩阵乘法构成一个群。第45页/共126页第四十六页，共126页。例例6.4 （1）在）在 中除中除0之外都没有之外都没有(mi yu)逆逆元，所以它仅是含幺半群而不是群。元，所以它仅是含幺半群而不是群。 中每个元素都有逆元即它的相反数，且运算满足交换律，所以(suy)它们是交换群。 0没有逆元，所以它们仅是有么半群而不是群。 第46页/共126页第四十七页，共126页。第47页/共126页第四十八页，共126页。例例6.5设设

14、G=e,a,b,c,。为。为G上的二元运算上的二元运算(yn sun)，它由以下运算，它由以下运算(yn sun)表给出。不难证明表给出。不难证明G是一个群，称该群为是一个群，称该群为Klein四元群。四元群。第48页/共126页第四十九页，共126页。第49页/共126页第五十页，共126页。例例6.6 在群解：解：第50页/共126页第五十一页，共126页。证明(zhngmng)：略。第51页/共126页第五十二页，共126页。第52页/共126页第五十三页，共126页。第53页/共126页第五十四页，共126页。例例6.7 对于对于(duy)集合集合 列出其运算表如下(rxi)表从表中可

15、以看出(kn ch)，运算满足封闭性，满足结合律和交换律，0是单位元，每个元都有逆元 ， 这个群的阶数是6，元素0，1，2，3，4，5的次数分别为1，6，3，2，3，6。 第54页/共126页第五十五页，共126页。定理定理(dngl)6.2 设设 下面(xi mian)证明唯一性从而(cng r)唯一性得证。第55页/共126页第五十六页，共126页。例例6.8 设设第56页/共126页第五十七页，共126页。第57页/共126页第五十八页，共126页。第58页/共126页第五十九页，共126页。第59页/共126页第六十页，共126页。定义定义(dngy)6.10 设设 第60页/共126

16、页第六十一页，共126页。例例6.9 例例6.10 群群 第61页/共126页第六十二页，共126页。证明(zhngmng)：必要性是显然的。第62页/共126页第六十三页，共126页。证明(zhngmng)：必要性充分性证明(zhngmng)： 第63页/共126页第六十四页，共126页。证明(zhngmng)：必要性是显然的。第64页/共126页第六十五页，共126页。例例6.11 设设 第65页/共126页第六十六页，共126页。6.26.2节节 陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理(dngl) (dngl) 例例6.12 设 解： H的右陪集为 第66页/共126页第六十七页，共126

17、页。第67页/共126页第六十八页，共126页。第68页/共126页第六十九页，共126页。第69页/共126页第七十页，共126页。证明(zhngmng)： 略。推论(tuln)6.1第70页/共126页第七十一页，共126页。第71页/共126页第七十二页，共126页。第72页/共126页第七十三页，共126页。定理定理(dngl)6.14（拉格朗日定理（拉格朗日定理(dngl)）设）设 即子群的阶数一定(ydng)是群的阶数的因子。根据定理6.11的推论有第73页/共126页第七十四页，共126页。推论推论(tuln)6.3 设设 根据定理(dngl)6.11的推论有第74页/共126页

18、第七十五页，共126页。任何群G都有正规子群，因为(yn wi)G的两个平凡子群 第75页/共126页第七十六页，共126页。证明(zhngmng)：略。第76页/共126页第七十七页，共126页。例例6.13 设设 第77页/共126页第七十八页，共126页。例例6.14 设设 第78页/共126页第七十九页，共126页。第79页/共126页第八十页，共126页。6.3 6.3 群的同态与同构群的同态与同构 第80页/共126页第八十一页，共126页。例例6.13 设设 第81页/共126页第八十二页，共126页。第82页/共126页第八十三页，共126页。证明(zhngmng)：略。第83

19、页/共126页第八十四页，共126页。第84页/共126页第八十五页，共126页。第85页/共126页第八十六页，共126页。6.4 6.4 循环群与置换群循环群与置换群 第86页/共126页第八十七页，共126页。第87页/共126页第八十八页，共126页。第88页/共126页第八十九页，共126页。例例6.16例例6.17 设 第89页/共126页第九十页，共126页。例例6.18 设 第90页/共126页第九十一页，共126页。第91页/共126页第九十二页，共126页。例例6.19 4元置换元置换(zhhun)第92页/共126页第九十三页，共126页。第93页/共126页第九十四页，

20、共126页。第94页/共126页第九十五页，共126页。例例6.20 如图如图进行旋转，也可以围绕它的对称轴进行翻转，但进行旋转，也可以围绕它的对称轴进行翻转，但经过旋转或翻转后仍要与原来的方格重合（方格经过旋转或翻转后仍要与原来的方格重合（方格中的数字可以改变）。如果中的数字可以改变）。如果(rgu)把每种旋转或翻转看把每种旋转或翻转看作是作用在作是作用在 第95页/共126页第九十六页，共126页。第96页/共126页第九十七页，共126页。第97页/共126页第九十八页，共126页。第98页/共126页第九十九页，共126页。6.5 6.5 环和域环和域第99页/共126页第一百页，共126页。第100页/共126页第一百零一页，共126页。2,3证明(zhngmng)略。第101页/共126页第一百零二页，共126页。第102页/共126页第一百零三页，共126页。第103页/共126页第一百零四页，共126页。第104页/共126页第一百零五页，