小学奥数数论专题知识总结

1、数论基础知识小学数论问题，起因于除法算式：被除数赫数=商余数1 .能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等；2 .不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。一、因数与倍数1、因数与倍数（1） 定义：定义1 ：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在axb=c,或者c+a=b,那么称a、b是c的因数，c是a、b的倍数。注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（ a、b是因数，c是倍数）一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1,最大的因数是它本身。一个数的倍数个

2、数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。（2） 一个数的因数的特点： 最小的因数是1,第二小的因数一定是质数； 最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数+第二小的因数（3） 完全平方数的因数特征： 完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。 完全平方数的质因数出现次数都是偶数次；1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是 44个，3000以内的完全平方数的个数是 54 个。（ 312=961, 442=1936, 542=2916）2、数的整除（数的倍数）（1） 定义：定义1 ： 一般地，三个整数 a、b、c,且bw0,如有a+ b=c,

3、则我们就说，a能被b整除，或b能整除a, 或a能整除以bo定义2：如果一个整数a,除以一个整数b （bw0）,得到一个整数商 c,而且没有余数，那么叫做 a能被 b整除或b能整除a,记作b|a。（a'b）（2）整除的性质：如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b ）也能被c整除。如果a能被b整除，c是整数,那么axc也能被b整除。如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。（3） 一些常见数的整除特征（倍数特征）：末位判别法2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25

4、的倍数。8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。截断求和法（从右开始截）9 （及其因数3）的倍数特征：一位截断求和99 （及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和999 （及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和截断求差法（从右开始截）11的倍数特征：一位截断求差101的倍数特征：两位截断求差1001 （及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差公倍数法6的倍数特征：2和3的公倍数。先判断是否 2的倍数，再判断是否 3的倍数。12的倍数特征：4和3的公倍数。先判断是否 4的倍数，再判断是否 3的倍数。3、奇数与偶

5、数(自然数按是否能被 2整除分类)(1) 定义：奇数：不是2的倍数的数。在自然数中，最小的奇数是1。偶数：是2的倍数的数。在自然数中，最小的偶数是0。(2)数的奇偶性质： 奇偶相连，奇偶相间，偶数个连续自然数中，奇偶各半。 奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数; 两个奇(偶)数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数； 若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇偶性;n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2 n的倍数；算式中有一个是偶数， 则乘积必是偶数。连续的奇数或偶数差为奇偶分析：奇+奇=偶 奇+偶=奇 偶+偶=偶2。如，与奇数 m相邻的两个奇数分别是(m-2

6、)和(m+2)。奇奇=偶奇 ><奇=奇偶偶=偶奇*偶=偶奇一偶=奇偶*偶=偶4、质数与合数(非0自然数按因数个数分类)(1) 定义：质数：只有1和它本身两个因数的数。(因数个数：2个)合数：除了 1和它本身还有其它因数的数。(因数个数：3个或3个以上)(2) 常见质数特征：1既不是质数，也不是合数(1只有1个因数)；2是最小的质数；4是最小的合数；2是质数中唯一的偶数，也是偶数中唯一的质数(除 2外，其它质数都是奇数)。(3) 100 以内质数表(25 个)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、 59、 61、 67、 71、 7

7、3、 79、 83、 89、 97(4)分解质因数 唯一分解定理：任何一个大于 1的自然数N,如果N不是，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积。 质因数：如果某个质数是某个数的因数，那么这个质数叫做这个数的质因数。 分解质因数：把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式。如：28=2X2X 7= 22X7 通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 要求出乘积中末尾 0的个数，只需要知道这些乘数分解质因数后2和5的个数，不用考虑其它质因数。(5)互质数：公因数只有1的两个数为互质数。常见的互质数：相邻自然数：8和9相邻奇数：21和23 2与任意奇数：2和15不同的两个质数：11

8、和171与任意非零自然数：1和4当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质：3和14公因数只有1的两个合数：6和25 如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质：3、5、7 5、最大公因数与最小公倍数(1) 定义：最大公因数：几个数公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数，用(a, b)表示。最小公倍数：几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数，用a, b表示。(2)最大公因数的性质： 几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。 几个数的最大公因数都是这几个数的因数。 几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数。 几个数都乘一个

9、自然数 m所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘傕(3)最小公倍数的性质：两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 两个数最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。即 (a , b) xa , b =ax b(4)求最大公因数的方法：列举法短除法 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数。(5)求最小公倍数基本方法：列举法短除法分解质因数法(6)分类求最大公因数和最小公倍数： 倍数关系：a是b的倍数，(a, b)=b, a, b = a 互质关系：a与b互质，(a, b)=1, a,

10、 b=axb 一般关系：a与b不互质也不倍数，用短除法。 (a , b)=左侧除数连乘积，a , b=除数和商连乘积 6、分解质因数的运用：(1)求一个数因数的个数列举法：2个一组列举 分解质因数法：分解质因数所有不同质数出现次数+1连乘积(指数加1再相乘)如：360=23X 32X 5, 360 的因数个数：(3+1) X (2+1) X (1+1) =4X3X2=24 (个)(2)求一个数的所有因数的和步骤：分解质因数所有不同质因数的各种取法之和的连乘积。如：180=22X 32X 5, 180 的所有因数之和：(2 ° +21 + 22) X (3 °+3432)(5

11、 °+51) = 7X 13 X 6= 546二、余数性质与同余问题1、余数的性质(1)余数小于除数。(2)若a、b除以c的余数相同，则(a-b)或(b-a)可以被c整除。(3) a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加b除以c的余数的和除以 c的余数。(和的余数=余数的和)(4) a与b的差除以c的余数等于a除以c的余数减b除以c的余数的差除以c的余数。(差的余数=余数的差)(5) a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以 c的余数。(积的余数=余数的积)2、余数的计算(求余数)(1)末位判断法：2, 5, 4, 25, 8, 125(2)数字求和法：3,

12、 9各个数位上数字之和除以3或9的余数=某数除以3或9的余数。如：234569。2+3+4+5+6+9= 29,因为 29 + 9=3 -2,所以 234569+9= - 2,即 234569三29(mod 9) (3)截断求和法：99, 999及其因数99 (3、9、11、33):两位截断求和，得到的和除以99余数，即原数除以 99的余数。999 (3、9、27、37、111、333):三位截断求和，得到的和除以 999余数，即原数除以 999的余数。如：12345。345+12=357,357 <999,所以 12345+ 999 余 357。(4)截断求差法：从右开始截断，奇段和偶

13、段和。11, 101 , 1001及其因数7、11、13、77、91、143。11: 一位截断作差。从右开始，1位截断，(奇数位数字之和)-(偶数位数字之和)+11的余数，即为原数+11的余数；如不够减，求出的负数 +11。如：234569。奇数位数字之和 3+5+9=17,偶数位数字之和 2+4+6=12, 17-12=5,所以234569+11 余 5,即 234569三5(mod 11)如：98,(奇数位 8偶数位 9) 8-9 = -1 , -1+11=10,则 98+11 = 810,即 98三 10(mod 11)101:两位截断作差。从右开始，2位截断，(奇位和)-(偶位和)+

14、101的余数，即为原数+ 101的余数；如不够减，求出的负数 +101。1001 (7、11、13、77、91、143):三位截断作差。 从右开始，3位截断，(奇位和)-(偶位和)+ 1001 的余数，即为原数+ 1001的余数；如不够减，求出的负数 +1001。3、费马小定理如果p是质数，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1三1(mod p)。即：假如a是自然数，p是，且a,p,那么a的(p-1)次方除以p的于1。如：a是自然数2, p是5, 2和5互质，25-1)+5余1。a 是自然数10, p是3, 10和3互质，10(3-1)+3余1。4同同余问题(求除数)同余的定义：(1)若两个

15、整数a、b除以m的余数相同，则称 a、b对于模m同余。(2)已知三个整数a、b、m,如果m能被(a-b)整除，就称a、b对于模m同余，记作a=b(mod m),读作a 同余于b模5、中国剩余定理(物不知数问题：求被除数)在一千多年前的孙子算经中有着名算题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何物不知数问题，又叫孙子问题、韩信点兵问题。方法： 最小公倍数法：和同加和，余同加余，差同减差(缺同减缺)。列举法(逐步满足条件法) 口诀法(仅适应于3、5、7):三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知。口诀法解释(只看数字即可)：将除以3的余数乘70,将

16、除以5的余数乘21,将除以7的余数乘15,全部 加起来后除以105,得到的余数就是答案。步骤：2X 70+3X 21+2X 15=140+63+30=233, 233+ 105=223三、完全平方数完全平方数：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484完全平方数特征：(1)末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;(个位数字是 2、3、7、8的一定不是完全平方数)(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数，如 25,49,81 。(个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数)

17、(3)如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6;反之，如果完全平方数的个位数字是6,它的十位数字一定是奇数。如 16,36,196 , 256。(个位数是6,十位数是偶数的一定不是平方数)(4)偶数的平方是4的倍数，奇数的平方是 4的倍数加1。 奇数的平方是 8n+1型，偶数的平方是 8n或8n+4型。(形如 8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6, 8n+7型的一定不是完全平方数)(6)完全平方数的形式一定是3k或3k+1,即除以3余0或1。(形如3k+2的一定不是完全平方数)(7)完全平方数的形式一定是4k或4k+1,即除以4余0或1。(形如4k+2和4k+3的一定不是平方数)(8)能被5整除的数的平方是 5k型，不能被5整除的数的平方是 5k±1型。(9) 完全平方数对的形式具有：16ml 16m+