初中数学竞赛——正方形和梯形

1、精选优质文档-倾情为你奉上第3讲 正方形和梯形知识总结归纳一. 正方形的定义：定义：邻边相等的矩形叫正方形，或者有一个角为直角的菱形叫正方形正方形既是矩形又是菱形 二. 正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质（1）边：四条边都相等，邻边垂直，对边平行 （2）角：四个角都是直角（3）对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角（4）对称性：正方形是轴对称图形，有条对称轴（5）特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的的夹角是；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形三. 正方形的判定：（1）有一组邻边相等的矩

2、形是正方形 （2）有一个角是直角的菱形是正方形四. 梯形的相关定义：（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形 （2）梯形的腰：梯形中不平行的两边叫梯形的腰（3）梯形的高：梯形两底间的距离角梯形的高（4）等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形,（5）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫等腰梯形五. 等腰梯形的性质：（1）等腰梯形是轴对称图形，上下底中点所在的直线是对称轴 （2）等腰梯形同一底边上的两个角相等（3）等腰梯形的两条对角线相等六. 等腰梯形的判定：（1）同一底边上两个角相等的梯形是等腰梯形 （2）对角线相等的梯形是等腰梯形七. 梯形的中位线：（1）定义：连结梯形两腰中点

3、的线段叫做三角形的中位线（2）梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于梯形的上下底，且等于上下底之和的一半典型例题一. 正方形【例1】 如图，正方形ABCD中，是正三角形，求EAD的度数FDCBAPE【例2】 如图，在正方形中，为对角线上的一点，于，于，求证：【例3】 如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，BFCE于G交AD于F，求证：CE=BF 【例4】 如图，正方形中，是的中点，与相交于，求证：GDCBAFE【例5】 如图，在正方形中，为上一点，的延长线交的延长线于，交于，为的中点，求证：。FGHEDCBA【例6】 如图，在正方形中，点在上，点在上，求与和的最小值DCBAPE二. 梯形【例7

4、】 已知，等腰梯形中，平分（1）求证：（2）若，求梯形的周长 CBDA【例8】 如图，已知直角梯形，腰的长为，则该梯形另一腰的长是多少？DCBA【例9】 等腰梯形的一角为，上底为，下底为，则它的腰长是多少？【例10】 如图，在梯形中，对角线、交于，求证：DCAOB【例11】 如图，在等腰梯形中，已知，对角线与互相垂直，且，求等腰梯形的面积ADBCO【例12】 如图，在梯形中，延长至，使，作交的延长线于点，求的长度AEDCBFDCBA【例13】 如图，梯形中，求对角线之长。【例14】 如图，在直角梯形中，的中垂线交边于，交延长线于，求证：。CNBAMDP三. 梯形的中位线【例15】 如图，等腰梯

5、形中，对角线，垂足为，于，是梯形的中位线，求证：EFNMDCBA【例16】 如图，梯形的中位线与对角线、分别交于点、，设梯形的周长为，四边形的周长为若，试求的值AQPNMDCBlFBADEC【例17】 如图，外一条直线，、分别是各边中点、都垂直于、，求证：【例18】 如图，直角梯形中，是的中点若，求的面积BCEDADCBA【例19】 如图，梯形中，对角线，且，求梯形的中位线的长度。四. 综合提高【例20】 如图，等腰直角中，是的中点，于交于，求证：FDCBAE【例21】 如图所示，等腰梯形中，对角线、相交于，点、分别是、的中点（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的面积AQPODCBS【例22

6、】 如图，是正方形边边上任意一点，过作的垂线交正方形的外角的平分线于，求证：NFBECAD【例23】 是正方形的边的中点，作，在上求证：PQDCBA【例24】 如图，在梯形中，两条对角线相交于，且，求证：EDCBA【例25】 如图所示，是正方形，为上的一点，四边形恰好是一个菱形，则求FCEDBAMN【例26】 如图，是的中线，分别以、为边向外作正方形、求证：【例27】 如图，直角梯形中，为边上一点，且求证：MDCBAFECBA【例28】 四边形是正方形，四边形是菱形，、在一直线上求证：、三等分【例29】 如图，在梯形中，求证：DBCAMCBDA【例30】 如图，梯形中，为上一点，且，求【例31

7、】 是正方形的边的中点，点分对角线的比为，证明：LKDCBA【例32】 如图，在正方形中，、分别是、的中点，求证： 【例33】 如图，直角梯形中，是上一点，求EDCBAFEDCBA【例34】 正方形中，为的中点，为上的点，且求证：【例35】 正方形对角线交于，的平分线交于，交于，求证：FGDCBAOMDCBA【例36】 如图，在直角梯形中，为边上一点，且求证：【例37】 在正方形中，已知、分别是边、上的点，满足，、分别与对角线交于、求证：（1）；（2）ACBDNEFM【例38】 已知，向外作正方形和，直线垂直于，反向延长交于，求证：是的中点KCHFEBAMG【例39】 如图（1），在中，点、是

8、线段上两动点，且，垂足为，的延长线交于点，直线与直线相交于点（2）CBAFMEDNMDFCENBA（1）（1）试判断的形状，并加以证明（2）若点、是直线上两动点，其他条件不变，试判断的形状，并说明理由作业1. 判断下列说法正确的是（ ）A四条边相等的四边形是正方形 B两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形D两条对角线互相垂直的矩形是正方形2. 下列哪个图形不是轴对称图形（ ）A等腰梯形 B等腰三角形C矩形D平行四边形3. 等腰梯形四个内角之比可能是（ ）ABCD4. 如图，在四边形中，于求证：AMDCB5. 如图所示，正方形对角线与相交于，且分别与交于试探讨与之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程6. 如图，在正方形中,是的中点，与交于点，求证：FGEDCBA7. 如图，梯形中，点是的中点，且，求证：四边形是等腰梯形 DCAMB8. 如图，设正方形的对角线，在延长线上取一点，使，与交于，求证：正方形的边长9. 如图，在梯形中，求证：ADBCOECBDA10. 如图，在梯形中，是的中点，且求证：到的