§6.2-分式线性映射

1、6.2 分式线性映射分式线性映射 一、分式线性映射一、分式线性映射分式线性映射定义为分式线性映射定义为azbczd0abcd、均为常数。、均为常数。abcd其中其中条件是为了使条件是为了使0adbc2d0d()adbczczd因此分式线性映射是保角映射。因此分式线性映射是保角映射。在扩充复平面上补充定义如下：在扩充复平面上补充定义如下：dzc 映射为映射为 当时当时0c z 映射为映射为acz 映射为映射为 当时当时0c 对于分式线性映射对于分式线性映射azbczd容易求出该映射的逆映射容易求出该映射的逆映射dbzca由于由于0dbadbcca因此分式线性映射的逆映射仍是分式线性因此分式线性映

2、射的逆映射仍是分式线性容易验证分式线性映射的复合仍是分式容易验证分式线性映射的复合仍是分式线性映射。线性映射。映射映射, , 且为扩充复平面上的一一映射。且为扩充复平面上的一一映射。二、分式线性映射的分解二、分式线性映射的分解当时，当时，0c azbczd可化为：可化为：21abcaddcczc记记i2bcadrec则上式可分解为以下映射的有限次复合则上式可分解为以下映射的有限次复合,zi,e z,rz1z下面分别讨论这四类映射：下面分别讨论这四类映射：（1）z设设i ,uvi ,zxy12i,bb则映射化为则映射化为12uxbvyb平移公式平移公式（2）ie z由由,zArgArg z则该映

3、射保持的模不变，辐角旋转。则该映射保持的模不变，辐角旋转。z为实数为实数（3）kz(0)k 则则,k zArgArgArgkzz该映射保持的方向不变，模放大倍。该映射保持的方向不变，模放大倍。zk（4）1z（称为反演变换）（称为反演变换）该映射可分解为：该映射可分解为：111,z为了讨论反演变换的几何意义，下面为了讨论反演变换的几何意义，下面先给出关于圆周的对称点的定义：先给出关于圆周的对称点的定义：设为以原点为圆心，为半径的圆周。设为以原点为圆心，为半径的圆周。COr在以圆心为起点的射线上，在以圆心为起点的射线上，COr若有两点与，若有两点与，PPPP2OP OPr则称与关于则称与关于PP圆

4、周对称。圆周对称。C满足满足COrP如图，从作圆周的切线，如图，从作圆周的切线，PCPTT由作的垂线与交于，由作的垂线与交于，TPOPTPOPP则与关于圆周对称。则与关于圆周对称。PPC规定：无穷远点规定：无穷远点关于圆周的对称点关于圆周的对称点为圆心。为圆心。O因此，因此，11zxyOC若设，则，若设，则，izrei111erz则与是关于单位圆周则与是关于单位圆周z1的对称点（如图）。的对称点（如图）。1z z1又，又，1轴的对称点（如图）。轴的对称点（如图）。则与是关于实则与是关于实1xyOCz1这样可得出反演变换的几何意义。这样可得出反演变换的几何意义。1z先求关于单位圆周的对称点，先求

5、关于单位圆周的对称点，z1z 1再求关于实轴的对称点，再求关于实轴的对称点，1即得。即得。三、分式线性映射的性质三、分式线性映射的性质1、保角性、保角性z、对于映射对于映射ie z、kz显然在时导数非零，是保角的。显然在时导数非零，是保角的。z 对于反演映射，对于反演映射，1z显然在，显然在，0z 时，导数非零，是保角的。时，导数非零，是保角的。z 下面定义两条曲线在无穷远点的夹角：下面定义两条曲线在无穷远点的夹角：规定其等于它们在映射下所映成的规定其等于它们在映射下所映成的1z通过原点的两条像曲线的夹角。通过原点的两条像曲线的夹角。0下面以为例说明处的下面以为例说明处的 zz 保角性：保角性

6、： 令令11,z则成为则成为z1该映射在处解析，且导数不为零，该映射在处解析，且导数不为零，0因此，在处，因此，在处，0即在即在z处是保角的。处是保角的。z 同理其它几个映射在处也是保角的。同理其它几个映射在处也是保角的。z 类似地可以证明反演变换在处是保类似地可以证明反演变换在处是保0z 角的。角的。综上可得下面定理。综上可得下面定理。定理定理6.6分式线性映射在扩充复平面上是分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的保角映射。一一对应的保角映射。2、保圆性、保圆性在扩充复平面上直线可看作是半径无穷在扩充复平面上直线可看作是半径无穷大的圆周，大的圆周，以下提到圆周时均包括直线。以下提到圆周时均包

7、括直线。z为平移变换为平移变换ie z为旋转变换为旋转变换kz为将模放大倍为将模放大倍k这三个映射在扩充复平面将圆周映成圆周，这三个映射在扩充复平面将圆周映成圆周，该性质称为保圆性。该性质称为保圆性。下面讨论反演变换是否具有保圆性。下面讨论反演变换是否具有保圆性。1z22()0A xyBxCyD平面上的圆方程为：平面上的圆方程为：z令令izxy、iuv则变形为：则变形为：1z1iiuvxy整理得：整理得：22uxuv22vyuv、时为直线时为直线0A 代入圆方程为：代入圆方程为：2222220ABuCvDuvuvuv即：即：22()0D uvBuCvA时为直线时为直线0D 说明反演变换将复平面上的圆周映成圆周。说明反演变换将复平面上的圆周映成圆周。定理定理6.7分式线性映射将扩充平面上的分式线性映射将扩充平面上的z圆周映射成扩充平面上的圆周。圆周映射成扩充平面上的圆周。( (保圆性保圆性) )3、保对称性、保对称性引理引理6.1必要条件是，必要条件是，点与关于圆周对称的充分点与关于圆周对称的充分1z2zC经过与的所有圆周都与经过与的所有圆周都与1z2z圆周正交。圆周正交