牛顿插值多项式学习教案

1、会计学1牛顿插值多项式牛顿插值多项式第一页，编辑于星期二：三点 四十四分。第二节牛顿插值多项式第二节牛顿插值多项式本节主要内容本节主要内容: :一一. . 均差及其性质均差及其性质二二. Newton均差插值公式均差插值公式三三. . 小结小结第1页/共15页第二页，编辑于星期二：三点 四十四分。一一. . 均差及其性质均差及其性质对于对于n+1个节点个节点的插值的插值(,() (0,1, )iixf xin 问题问题, 将将n 次插值多项式写成如下形式次插值多项式写成如下形式 010201011( )()()()()()()nnnNxaaxxaxxxxaxxxxxx (0,1, )kakn

2、为待定系数为待定系数. 由插值条件由插值条件()() (0,1, ),njjNxf xjn 多项式称为多项式称为牛顿牛顿(Newton)插值多项式插值多项式. 形如上式的插值形如上式的插值 第2页/共15页第三页，编辑于星期二：三点 四十四分。当当1xx 时时,101101()()()nNxaa xxf x 10110()()f xf xaxx 当当2xx 时时,20120220212()()()()()nNxaa xxaxxxxf x2012022021()()()()f xaaxxaxxxx 202021()()()f xf xxxxx 1010()()f xf xxx 1a000()()

3、naNxf x 当当0 xx 时时,第3页/共15页第四页，编辑于星期二：三点 四十四分。依次递推可得依次递推可得 34,.na aa定义定义 1 记记 (),iif xf x 称称if x为为( )f x关于关于xi 的的零阶均差零阶均差.称称 111,iiiiiif xf xf xxxx 为为( )f x关于关于xi , xi+1的的一阶均差一阶均差.121122,iiiiiiiiif xxf x xf x xxxx 称为称为二阶均差二阶均差.1021211020()()()()()f xf xf xf xxxxxxx 第4页/共15页第五页，编辑于星期二：三点 四十四分。一般地一般地,

4、k 阶均差阶均差为为 12111,iii kiii kiii ki kif xxxf x xxf x xxxx 均差有如下基本性质：均差有如下基本性质： 定理定理 1: (1) 均差与函数值的关系为均差与函数值的关系为010011(),()()()()njnjjjjjjjnf xf xxxxxxxxxxx (2) 均差与节点的排列顺序有关均差与节点的排列顺序有关, 即即 01,nf xxx 102,nf xxxx110,nnf xxxx 第5页/共15页第六页，编辑于星期二：三点 四十四分。012011011,(3),kkkkkkf x xxxf x xxf x xxxx (4) 若函数若函数

5、 ( )f x在在 , a b上存在上存在n 阶导数阶导数,且节点且节点 01, , ,nxxxa b 则则 , ,a b 使得使得 ( )01( ),!nnff xxxn 第6页/共15页第七页，编辑于星期二：三点 四十四分。ixif x0 x1x2x3xnx0f x1f x2f x3f xnf x01,f xx12,f xx23,f xx1,nnf xx 012,f xxx123,f xxx21,nnnf xxx03,f xx3,nnf xx 01,nf xxx一阶均差二阶均差三阶均差n阶均差计算均差可按下表逐行进行计算均差可按下表逐行进行 第7页/共15页第八页，编辑于星期二：三点 四十

6、四分。二二. . Newton均差插值公式均差插值公式定理定理2 设设 ( )nNx是满足插值条件是满足插值条件 ()()niiiNxf xy (0,1, )in 的插值多项式的插值多项式, 而且余项而且余项 010( )( )( ),()nnnniiRxf xNxf xxxxx (2)001001201( ),(),()()nNxf xf x xxxf x x xxxxx 01011,()()()nnf xxxxxxxxx (1)则则第8页/共15页第九页，编辑于星期二：三点 四十四分。证证 明明 将将x 看成看成 , a b上一点上一点, 可得可得000( ) ,(),f xf xf xf

7、 x xxx 001011 , ,(),f x xf xxf x xxxx 010120122 , ,(),f x xxf xxxf x xxxxx 010101 , ,(),nnnnf x xxf xxxf x xxxxx 依次将后一式代入前一式依次将后一式代入前一式, 得得 001001201( ),(),()()f xf xf xxxxf xxxxxxx01011,()()()nnf xxxxxxxxx 011( ,)( ),( )nnnnf x xxxNxRxx 第9页/共15页第十页，编辑于星期二：三点 四十四分。上式中上式中( )nNx是是(1)式式, ( )nRx就是就是(2)式

8、式. 由由(2)式有式有 ()() (0,1, )niiNxf xin 因此由因此由(1) 定义的定义的 ( )nNx是满足插值条件是满足插值条件 ()()(0,1, )niiiNxf xy in的插值多项式的插值多项式. 证毕证毕. .第10页/共15页第十一页，编辑于星期二：三点 四十四分。例例 1 已知已知 ( )f xshx 的离散数据如下表：的离散数据如下表： ix()if x0.000.200.300.500.000000.201340.304520.52110用用Newton插值多项式插值多项式, 计算计算 (0.23)f估计误差估计误差. 的近似值并的近似值并 解解 均差计算的

9、结果如下表均差计算的结果如下表 第11页/共15页第十二页，编辑于星期二：三点 四十四分。ixif x一阶均差二阶均差三阶均差0.000.200.300.500.000000.201340.304520.521101.00671.03181.08290.083670.170330.17332则则Newton插值多项式为插值多项式为 3( )1.00670.08367 (0.20) 0.17332 (0.20)(0.30)N xxx xx xx 由此算出由此算出 3(0.23)(0.23)0.23203fN (4)( ),fxshx 因因余项为余项为 31( )(0.20)(0.30)(0.50

10、),00.54!R xx xxxshx 第12页/共15页第十三页，编辑于星期二：三点 四十四分。估计误差估计误差 336|(0.23)|(0.23)(0.23)|10.23 0.03 0.07 0.27 0.533 1024RfN 若增加一个节点若增加一个节点 0.60,x 只需再增加如下一行：只需再增加如下一行： ixif x一阶均差二阶均差三阶均差0.000.200.300.500.600.000000.201340.304520.521100.636651.00671.03181.08291.15550.083670.170330.242000.173320.17918四阶均差0.00976 插值多项式为插值多项式为 43( )( ) 0.00976 (0.20)(0.30)(0.50)N xN xx xxx 第13页/共15页第十四页，编辑于星期二：三点 四十四分。三三. . 小