四年级奥数竞赛班第六讲巧用余数

1、四年级奥数竞赛班第六讲巧用余数n一、学习目标一、学习目标n1 1、 知道被除数、除数、商、余数之间的数量关系，能利用有余数除法来解答一知道被除数、除数、商、余数之间的数量关系，能利用有余数除法来解答一 n些有规律的数列问题些有规律的数列问题. .n 2 2、感受观察、分析、推理的数学思想方法、感受观察、分析、推理的数学思想方法. .二、主要内容二、主要内容n整除：两个整数相除时（除数不为整除：两个整数相除时（除数不为0），它们的商是整数），它们的商是整数.例如：例如：155=3，n我们就称我们就称“5整除整除15”，或，或“15被被5整除整除”.n有余数的除法：两个整数相除时（除数不为有余数的

2、除法：两个整数相除时（除数不为0），它们的商不是整数），它们的商不是整数.例如：例如： n157=，我们就说，我们就说15不能被不能被7整除，可写成整除，可写成157=21，我们称，我们称1为为15除以除以7的余数，我们把这种除法称的余数，我们把这种除法称为有余数除法为有余数除法.n于是，我们可以表示：被除数于是，我们可以表示：被除数除数除数=商商余数余数n整除可看成余数整除可看成余数=0的情况的情况.n性质：被除数性质：被除数=除数除数商商+余数，其中余数，其中0余数除数余数除数n利用余数来解决一些有规律的数列问题利用余数来解决一些有规律的数列问题三、例题选讲三、例题选讲n例例1 右面式子中

3、，被除数最大填几？n（ ）32=9（ ） n分析 被除数最大，必须余数最大.余数必小于除数，所以最大的余数为31.n解解 要使被除数最大，必须余数最大要使被除数最大，必须余数最大.因为余数必小于除数，所以最大的余数为因为余数必小于除数，所以最大的余数为31.此时，被除数此时，被除数=32931=319，所以，被除数最大是，所以，被除数最大是319.n答：被除数最大填答：被除数最大填319.例例2小芳在计算除法时，把除数小芳在计算除法时，把除数32错写成错写成320，结果得到商是，结果得到商是48。正确的商应该是多少？。正确的商应该是多少？ n分析与解答：分析与解答：n根据题意，把除数根据题意，

4、把除数32改成改成320扩大到原来的扩大到原来的10倍，又因为被除数不变，根据商的变化规律，正确的商应该倍，又因为被除数不变，根据商的变化规律，正确的商应该是错误商的是错误商的10倍。所以正确的商应该是倍。所以正确的商应该是4810=480。例例3 一个数除以一个数除以84余余70，这个数除以，这个数除以28余数多少？余数多少？v分析分析 v根据：被除数根据：被除数=除数除数商商+余数这个性质来求解。余数这个性质来求解。v解解 这个数这个数=84商商70，（，（84商商70）28=84商商28+7028=3商商+7028，所以这个数除以，所以这个数除以28的余数的余数相当于相当于70除以除以2

5、8的余数，于是余数是的余数，于是余数是14.v答：余数是答：余数是14.例例4小冬在计算有余数的除法时，把被除数小冬在计算有余数的除法时，把被除数137错写成错写成173，这样商比原来多了，这样商比原来多了3，而余数正好相同。正确的商和余，而余数正好相同。正确的商和余数是多少？数是多少？ v分析与解答：分析与解答：v因为被除数因为被除数137被错写成了被错写成了173，被除数比原来多了，被除数比原来多了173137=36，又因为商比原来多了，又因为商比原来多了3，而且余数相同，所，而且余数相同，所以除数是以除数是363=12。又由。又由13712=115，所以余数是，所以余数是5。例例5 A、

6、B两数相除商为两数相除商为8,余数为余数为16,被除数、除数、商与余数的和为被除数、除数、商与余数的和为769,求被除数求被除数.v分析分析 根据：被除数根据：被除数=除数除数商商+余数这个性质来求解。余数这个性质来求解。v解解 AB=816，所以，所以A=8B+16,因为因为A+B+8+16=769,所以所以8B+16 +B+8+16=769，于是，于是B=81,所以被除数所以被除数A=881+16=664.v答：被除数为答：被除数为664.例例6 小马虎做一道除法题时，把被除数小马虎做一道除法题时，把被除数169看成看成196，结果余数相同，结果余数相同,但商比原来多但商比原来多9.求除数

7、是多少？求除数是多少？n分析分析 两次利用：被除数两次利用：被除数=除数除数商商+余数这个性质来求解。余数这个性质来求解。n解解 因为因为169除数除数=商商+余数，余数，196除数除数=（商（商+9）+余数，余数，n所以所以169=商商除数除数+余数，余数，式式n196=（商（商+9）除数除数+余数余数=商商除数除数+余数余数+9除数，除数，式式n-得，得，27=9除数，所以，除数除数，所以，除数=3.n答：除数是答：除数是3.例例7 哪些数除以哪些数除以7,能使商与余数相同能使商与余数相同? n分析分析 n根据：被除数根据：被除数=除数除数商商+余数余数 这个性质，又因为商这个性质，又因为

8、商=余数，所以被除数余数，所以被除数=除数除数商商+商商=（除数（除数+1）商商n解解 因为，被除数因为，被除数=除数除数商商+余数，而商余数，而商=余数，所以被除数余数，所以被除数=除数除数商商+商商=（除数（除数+1）商商=8商，而商商，而商=余数余数7，所以被除数为，所以被除数为0，8，16，24，32，40，48.n答：这些数有答：这些数有0，8，16，24，32，40，48.例例8 两个整数相除商是两个整数相除商是12，余数是，余数是8，并且被除数与除数的差是，并且被除数与除数的差是822，求这两个整数，求这两个整数.n分析分析 n被除数被除数除数除数=128，被除数，被除数=除数除

9、数12+8，被除数，被除数-除数除数=除数除数12+8-除数除数=11n除数除数+8=822，除数，除数=（822-8）11=74，n被除数被除数=7412+8=896.n解解 除数除数=（822-8）11=74，n被除数被除数=7412+8=896.n答：这两个整数是答：这两个整数是896，74.例例9 甲数除以甲数除以13余余7，乙数除以，乙数除以13余余9，现将甲乙两数相乘，积除以，现将甲乙两数相乘，积除以13应余多少？应余多少？n分析分析 n甲数甲数=13商商+7，乙数，乙数=13商商+9，n甲数甲数乙数乙数=（13商商+7）（13商商+9）=169商商商商+139商商+713商商+7

10、9=169商商商商+208商商+63n所以甲与乙的积除以所以甲与乙的积除以13的余数相当于的余数相当于63除以除以13的余数，于是余数是的余数，于是余数是11.n解解 甲甲乙乙13的余数相当于的余数相当于63除以除以13的余数，所以余数是的余数，所以余数是11.n答：余数是答：余数是11.例例10 某个自然数，被某个自然数，被3除余除余2，被，被5除余除余4，被，被7除余除余6，这个自然数最小是多少？，这个自然数最小是多少？n分析分析 这个数加这个数加1就能被就能被3、5、7整除整除.先求能同时被先求能同时被3，5，7同时整除的自然数同时整除的自然数.n解解 这个数加这个数加1就能被就能被3、

11、5、7整除整除.能被能被3、5、7整除的最小自然数是整除的最小自然数是357=105，所以这个数应该是，所以这个数应该是105-1=104.n答：这个自然数最小是答：这个自然数最小是104.例例11 今天是星期三，从今天算起，第今天是星期三，从今天算起，第100天是星期几？天是星期几？l分析分析 从今天算起第从今天算起第100天，相当于天，相当于99天后，每天后，每7天为一个周期，天为一个周期，997=141，所以第，所以第100天是星期四天是星期四.l解解 每每7天为一个周期，而天为一个周期，而997=141，所以第，所以第100天是星期四天是星期四.l答：第答：第100天是星期四天是星期四

12、.四、练习题四、练习题l1、在下列框内填入适当的数，使得被除数最大、在下列框内填入适当的数，使得被除数最大.l（ ）17=100（ ）l（ ）210=5（ ）解：解：1716171617=1001617=10016；12591259210=5209. 210=5209. l2、一个数除以、一个数除以91余余31,这个数除以这个数除以13余数是几？余数是几？l解：这个数解：这个数=91商商+31，这个数，这个数13=（91商商+31）13=7商商+3113l所以余数相当于所以余数相当于31除以除以13的余数，余数为的余数，余数为5.l3、甲、乙两数相除商为、甲、乙两数相除商为26,余数为余数为9

13、,被除数与除数之和为被除数与除数之和为333,求被除数求被除数.解：甲解：甲乙乙=269，甲，甲=26乙乙+9,甲甲+乙乙=27乙乙+9=333，所以乙，所以乙=12，甲，甲=321. l4、一道除法试题，如果把被除数、一道除法试题，如果把被除数137写成写成731，商比原来多，商比原来多3，而余数相同，而余数相同.求除数是多少？求除数是多少？l解解:137=除数除数商商+余数，余数，l731=除数除数（商（商+3）+余数余数=除数除数商商+3除数除数+余数余数=137+3除数，除数，l3除数除数=731-137=594，除数，除数=5943=198l5 5 、求哪些数除以、求哪些数除以5,5

14、,能使商与余数相同？能使商与余数相同？l解：这些数应该都是解：这些数应该都是6 6的倍数，最大的只能是的倍数，最大的只能是24.24.所以有所以有0 0，6 6，1212，1818，2424这五个数这五个数. .l6、两个数的和是444，较大的数除以较小的数所得的商是4余24，这两个数各是多少？l 解：大数解：大数小数小数=424，l大数大数=4小数小数+24，l大数大数+小数小数=5小数小数+24=444，l小数小数=84，大数，大数=360.l7、两个数分别是、两个数分别是123，349，求第三个三位数，使它尽可能大，且使三个数的平均数是一个整数，求第三个三位数，使它尽可能大，且使三个数的

15、平均数是一个整数.l解：因为（解：因为（123+349）3=1571，要使三个数的平均数是整数，第三个数除以，要使三个数的平均数是整数，第三个数除以3的余数必须为的余数必须为2，而要，而要求三位数中尽可能大，所以第三个数应是求三位数中尽可能大，所以第三个数应是998.8、一个小于、一个小于200的数，它除以的数，它除以11余余8，除以，除以13时余时余10，这个数是多少？，这个数是多少？解：这个数添上解：这个数添上3后就能被后就能被11和和13整除，所以这个数是整除，所以这个数是1113-3=140. 9、 一月份有一月份有31天，如果某年的天，如果某年的1月月1日是星期一，这年的日是星期一，

16、这年的2月月22日是星期几？日是星期几？解：从解：从1月月1日这日算起，到日这日算起，到2月月22日有日有31+22=53天，每七天为一周期，天，每七天为一周期，527=73，所以，所以2月月22日是星期四日是星期四.10、有一本故事书共、有一本故事书共99页，插图和文字的排列顺序是文、图、图、图、文、图、图、图、页，插图和文字的排列顺序是文、图、图、图、文、图、图、图、文文照这样反复，这本书共有多少页插图？照这样反复，这本书共有多少页插图？解：每解：每4页为一周期，每一周期里有页为一周期，每一周期里有3页是图，页是图，994=243，所以插图共有，所以插图共有243+2=74.11、学校一学

17、期共安排、学校一学期共安排86节数学课，逢单周每周一、三、五每天上两节数学课，逢双周每节数学课，逢单周每周一、三、五每天上两节数学课，逢双周每周二、四每天上两节数学课，则最后一节数学课是在星期几上的？周二、四每天上两节数学课，则最后一节数学课是在星期几上的？解：每两周为一个周期，每个周期上解：每两周为一个周期，每个周期上10节数学课，节数学课，8610=86，所以最后一节数学课应该是在，所以最后一节数学课应该是在星期五上的星期五上的.解：解：9+17+24+28+30+31+33+44=216块，设丁拿的糖的块数为块，设丁拿的糖的块数为1份，则乙和丙都各拿了份，则乙和丙都各拿了2份，总共有份，总共有5份，乙、丙、丁拿的糖的总数应该是份，乙、丙、丁拿的糖的总数应该是5的倍数，而的倍数，而2165=431，而，