第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析

1、第七章一阶电路和二阶电路的时域分析71动态电路的方程及其初始条件一、动态元件与动态电路用积分或导数来表示电压和电流的约束的元件，称为动态元件。动态元件有：电感元件、电容元件含有动态元件的电路，称为动态电路。二、一阶电路和二阶电路仅含一个动态元件的电路，称为一阶（动态）电路含两个动态元件的电路，称为二阶（动态）电路三、过渡过程与换路当动态电路的结构或元件参数发生变化时，电路将从一种状态改变到另一种状态，这个转换过程，称为。电路结构或电路元件参数变化引起的电路变化，称为。换路在时间上的：t=0表示换路的时刻；t=0-表示换路前的最终时刻；t0表示换路后的最初时刻。四、独立初始条件和非独立初始条件初

2、始条件电路中的变量在换路后t=0+时刻的值。独立初始条件换路后的初始值由元件的性质决定。独立初始条件有：电容端电压uc(t)、电容电荷qc(t)、电感电流iL(t)、电感磁链L(t)diCtututtccc0)(1)()(0令 t0=0-,t=0+则00)(1)0()0(diCuuccc由于)(ci不可能无穷大，故后一积分项应为零)0()0(ccuu非独立初始条件例6172一阶电路的零输入响应零输入响应动态电路在没有外施激励时，由电路中动态元件的初始储能引起的响应一、RC电路的零输入响应当S闭合后，由KVL有0cRuudtduCic将uR用uc表示有0ccudtduRC令ptcAeu 并代入上

3、式后有0) 1(ptAeRCp特征方程01RCp这是一个一阶齐次微分方程特征根RCp1tRCcAeu1A可以由初始条件决定。00)0(UAeuc0UA 所以tRCceUu10电路电流dtduCic电阻电压RiuRtRCeRU10)(10tRCeUdtdCtRCeRUR10tRCeU10时间常数的概念由于RC的积决定着电路变量变化的快慢，而且RC乘积的单位是秒，故称其为电路的。时间常数反映电路过渡过程的进展速度。例72RC二、RL电路的零输入响应开关S在t=0时刻从1打向2，在换路前，电路已达到稳定。此时)0(000iRUI换路后，0RLuu由KVL有dtdiLuL变形dtLRidi两边积分ct

4、LRiln)(ctLRei0RidtdiLRiuRtLRceetLRAe这是一个一阶齐次微分方程由初始条件000)0()0(RUIiiAtLReRUi00电阻电压RiuR电感电压RLuutLReIR0tLReRI0电感电路的时间常数RL时间变化曲线例6373一阶电路的零状态响应零状态响应电路在零初始条件下由外施激励引起的响应。一、RC电路的零状态响应就是储能元件在换路前没有储存能量。即在开关S闭合后，由KVL有SCRUuu由于待求量为uc,故将uR用uc来表示?)0(cu?)0(Li00cu由于dtduCic所以sccUudtduRC一阶线性非齐次方程 cccuuu特解对应于电路达到稳定后，储

5、能元件两端的电压即scUu RiuRdtduRCccu方程的解是由两部分组成，即非齐次方程的特解 和对应的齐次方程的通解 组成。cucu 通解是对应的齐次方程的解，即0ccudtduRC其解为tRCcAeu1 所以cccuuu由初始条件，求得sUAtRCsAeU1tsAeU所以cccuuu求得uc后，i、uR都可以求出。几个概念稳态分量、暂态分量、强制分量、自由分量电路能量的转换tsseUU)1 (tseU二、RL一阶电路零状态响应初始条件0)0()0(LLii在开关S断开后，由KCL有sLRIii待求量是iL,故iR需用iL来表示dtdiLuuLLRRuiRRdtdiRLL所以sLLIidt

6、diRL这是一阶线性非齐次方程特解?Li通解tLRLAeiLLLiii方程的解iL特解 通解 LiLi sItAetsAeI代入初始条件0)0(LisIA)1 (tSLLLeIiii74一阶电路的全响应当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为全响应。初始条件0)0()0(Uuucc当开关S闭合后，由KVL有scRUuu待求量是uc，故将uR用uc表示,dtduCicsccUudtduRC是一阶线性非齐次方程特解scUu 通解tRCcAeu1 dtduRCRiucR方程的解是由特解 和通解 组成。cucu 所以tscccAeUuuu代入初始条件sUUA0tsSceUUUu)(0将上

7、式改变)1 (0tstceUeUu即： 全响应零输入响应零状态响应全响应稳态分量暂态分量例74例757.5 7.5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应uC(0+)=U0 i(0+)=002CCCutuRCtuLCdddd已知：已知：1. 1. 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应以电容电压为变量：以电容电压为变量：电路方程：电路方程：0CLuuRitiLutuCiLCdddd 以电感电流为变量：以电感电流为变量：02itiRCtiLCddddRLC+-iuc+-Lu+-Ru012 RCPLCP特征方程：特征方程：电路方程：电路方程：02CCCutuRCtuLCdddd以电容电压为变量

8、时的以电容电压为变量时的初始条件：初始条件：uC(0+)=U0i(0+)=0 00tCtudd以电感电流为变量时的以电感电流为变量时的初始条件：初始条件：i(0+)=0uC(0+)=U0 )0()0(00UtiLuutLCddLUtit 00dd2. 2. 零状态响应的三种情况零状态响应的三种情况二二个个不不等等负负实实根根 2CLR 二二个个相相等等负负实实根根 2CLR 二二个个共共轭轭复复根根 2CLR LCLRRP2/42过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼LCLRLR1)2(22特征根：特征根： 2 ) 1 ( CLR 2121CttppeAeAu0210C)0(UAAUu002

9、211)0(APAPtuCdd)(2112120ttCPPePePPPUu01212UPPPA01221UPPPA（是非振荡放电过程）)(2112120CttPPePePPPUuU0tuctPePPUP11202tPePPUP21201设设 |P2|P1|0电容电压电容电压)()(21120CttcppeePPLUtuCiddt=0+ic0 t = tm 时时ic 最大最大tmic)(2112120CttPPePePPPUutU0uc电容和电感电流电容和电感电流ic=0t= ic=0tm2tmuLic)()(2121120ttLppePePPPUtiLudd0 t 0，t tm i 减小减小,

10、 uL 0t=2 tm时时 uL 最大最大0 , , 00LLutUutU0uct电感电压电感电压)()(21120CttcppeePPLUtuCiddiC=i 为极值时，即为极值时，即 uL=0 时的时的 tm 计算如下计算如下:0)(2121ttppePeP 2112ppppntm由由 duL/dt 可确定可确定 uL 为极小时的为极小时的 t .0)(212221ttppePePmtt2)()(2121120ttLppePePPPUtiLudd21122ppppntmmtPtPeePP2112能量转换关系能量转换关系0 t tm uC减小减小 ，i 减小减小.RLC+-RLC+-tU0u

11、Ctm2tmuLiC0例7-6 2 )2( CLR LCLRLRP1)2(222, 1(谐振角频率)(谐振角频率) 1 0LC（振荡放电过程）特征根是一对共轭复数(衰减系数),(衰减系数), 2LR令： 220(固有振荡角频率)(固有振荡角频率)则： jPuc 的解答形式：的解答形式： )( 21)(2121tjtjttptpCeAeAeeAeAu经常写为：经常写为：)sin( tAeutC则jpjp210cossin)(0)0(sin)0(00AAdtduUAUuCC由初始条件由初始条件arctgUA， sin00)sin( tAeutc0sin00UA，的的关系关系 )sin( 00teU

12、utC)sin( 00teUutC弦函数。弦函数。为包线依指数衰减的正为包线依指数衰减的正是振幅以是振幅以00UuCt=0 时时 uc=U0uC =0：t = -，2- . n- t-2- 20U0uCteU00teU00t-2- 20U0uC iCteLUtuCitCCsin 0dd )sin( 00teUtiLutLdduL=0：t = ，+，2+ . n+ic=0：t =0，2 . n ，为为 uc极值点，极值点，ic 的极值点为的极值点为 uL 零点零点。能量转换关系：能量转换关系：0 t t - t t-2- 20U0uciCRLC+-RLC+-RLC+-特例特例：R=0 时时2 1

13、 00，LCtLUiutUuLCsin)90sin(000等幅振荡等幅振荡tLC+-0 2 ) 3( CLR LRPP221ttCteAeAu 2 10)(0)0()0(21010AAtuUAUuccdd由由初初始始条条件件0201UAUA相等负实根相等负实根(临界情况)ttCteAeAu 2 10201 UAUA非振荡放电非振荡放电) 1 () 1 ( 0 0 0teUtiLuteLUtuCiteUutLtCCtCdddd非振荡放电非振荡放电 过阻尼，过阻尼， 2 CLR ttCppeAeAu2121振荡放电振荡放电 欠阻尼，欠阻尼， 2 CLR )sin( tAeutC非振荡放电非振荡放电

14、 临界阻尼，临界阻尼， 2 CLR ttCteAeAu 2 1定常数定常数)0()0(tuuCCdd由由初初始始条条件件可推可推广应广应用于用于一般一般二阶二阶电路电路小结7.6 7.6 二阶电路的零状态响应和全响应二阶电路的零状态响应和全响应uC(0)=0 , iL(0)=0微分方程为：微分方程为：S2dddd UutuRCtuLCCCCCCCuuu 通解通解特解特解特解特解: : SCUu 特征方程为特征方程为:012 RCPLCPRLC+-uCiLUS (t)+-例例1. 1. 二阶电路的零状态响应二阶电路的零状态响应)( 2121S21ppeAeAUuttCpp) ( 21 2 1SP

15、PteAeAUuttC)( )sin(21 SjPtAeUutC、uC解答形式解答形式为：为：确确定定二二个个常常数数 ) ), ,( (由由初初值值tuud)(0d 0 CtuCUS0求电流求电流 i 的零状态响应。的零状态响应。 i1= i 0.5 u1= i 0.5(2 i)2= 2i 2由由KVL：itidtiii2dd62)2(211整理得：整理得：1212dd8dd22ititi首先写微分方程首先写微分方程解解2-ii1例例二阶非齐次二阶非齐次常微分方程常微分方程+u1-0.5u12W1/6F1HS2W2W2Ai特征根为：特征根为： P1= 2 ，P2 = 6iii 解答形式为：解

16、答形式为：第三步求特解第三步求特解 i由稳态模型有：由稳态模型有：i = 0.5 u1u1=2(20.5u1)i=1AtteAeAi6221 u1=21212dd8dd22ititi第二步求通解第二步求通解i 稳态模型稳态模型+u1-2Wi2A0.5u12W第四步定常数第四步定常数tteAeAi62211由由0+电路模型：电路模型：)0()0(dd0)0()0(LutiLiiV8225 . 0)0(111uuuuL212162810AAAA5 . 15 . 021AAA 5 . 15 . 01 62tteei+u1-0.5u12W1/6F1Hk2W2W2Ai+u1-0.5u12W2W2AuL(

17、0+)2. 2. 二阶电路的全响应二阶电路的全响应已知已知：iL(0-)=2A uC(0-)=0求求：iL(1) 列微分方程列微分方程50ddddL22LLRitiLtiRLC(2)求特解求特解0dddd50 22LtiLCiRtiLLLA1L i解解RiR-50 V50 W100F0.5H+iLiC例例(3)求通解求通解0200002002PP特征根为：特征根为： P= -100 j100)100sin(1100tAeit(4)定常数定常数)0( 0sin100cos100)0( 2sin1LLuAAiA245A)45 100sin(21 100teitL特征方程为：特征方程为：50dddd

18、22LLRitiLtiRLC77一阶电路和二阶电路的阶跃响应单位阶跃响应电路对于单位阶跃函数输入的零状态响应一、单位阶跃函数)(t0t0-1 t0+阶跃函数也称为开关函数对于任意时刻t0起始的阶跃函数)(0tt0tt0-1 tt0+是一个延迟起点的单位阶跃函数。单位阶跃函数是开关函数的意义)()()(0tttftff(t) tt0+0 tt0-用单位阶跃函数来产生矩形脉冲例7117-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应一、单位冲激函数0)(t1)( dtt强度为K的单位冲激函数(当t0)冲激函数的性质1)()(td2)0()()0()()(fdttfdtttf二、冲激电流对电容的作用当把一个单位冲激电流i(t)加到初始电压为零且C=1F的电容时，电容电压为VCdttCui