一阶微分方程习题课.ppt课件

1、一阶微分方程一阶微分方程 习题课习题课基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.可化为齐次可化为齐次方程方程5.5.线性方程线性方程7.7.伯努利方程伯努利方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;定理定理2定理定理3;定理定理4二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式二阶方程二阶方程待定系数法待定系数法特征方程法特征方程法一、主要内容一、主要内容1 1、四种标准类型的一阶

2、微分方程的解法、四种标准类型的一阶微分方程的解法(1) 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()( 形形如如解法解法 dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法(2) 齐次型方程齐次型方程)(xyfdxdy 形如形如解法解法作变量代换作变量代换xyu 一、主要内容一、主要内容(3) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy 形形如如, 0)( xQ当当齐次齐次, 0)( xQ当当非齐次非齐次.解法解法齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey（使用分离变量法）（使用分离变量法） 非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为 dxxPdxxP

3、eCdxexQy)()()(（常数变易法）（常数变易法）解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程,1 nyz 令令. )1)()()1()()1(1 cdxenxQezydxxPndxxPnn(4) 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程nyxQyxPdxdy)()( 形如形如)1 , 0( n时时，当当1 , 0 n时时，当当1 , 0 n方程为线性微分方程方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程为非线性微分方程方程.)()(yNxMdxdy NMxydxdy )( xyu )()(xQyxPdxdy dxxPexcy)()(nyxQyxPy)()( ny

4、z 1齐次方程可分离变量的方程一阶线性非齐次伯努利方程两种基本类型两种基本类型变量可分离变量可分离一阶线性一阶线性其余类型的方程可借助于变量代换或可其余类型的方程可借助于变量代换或可转化成基本类型的方法转化成基本类型的方法 两种基本类型代表两种典型解法两种基本类型代表两种典型解法分离变量法分离变量法常数变易法常数变易法 变量代换是解微分方程的重要思想变量代换是解微分方程的重要思想和重要方法和重要方法微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法非变量可分离非变量可分离降降阶阶作作变变换换作变换作变

5、换 3 3、一阶方程解题程序、一阶方程解题程序0 QdyPdx分离变量分离变量解方程解方程解方程解方程),(yxfy 齐次型齐次型 一阶线性一阶线性 Bernoulli二、典型例题二、典型例题.32343yxyyx 求求通通解解解解原式可化为原式可化为,32342yxyxy 伯努利方程伯努利方程,3223134xyxyy 即即,31 yz令令 例例1 1 原式变为原式变为,3232xzxz ,322xzxz 即即一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程 对应齐方通解为对应齐方通解为,32Cxz 利用常数变易法利用常数变易法,)(32xxCz 设设代入非齐方程得代入非齐方程得,)(232xxxC ,73

6、)(37CxxC 原方程的通解为原方程的通解为.73323731xCxy 例例2 解方程解方程yxyxdxdy22经过整理，分离变量后积分，求得上式的通解为 解解 此方程是齐次方程，通过作变换此方程是齐次方程，通过作变换 y= ux ，将它化为可分离变，将它化为可分离变量方程量方程Cxuuln)1ln(21arctan212将 代入原方程，得到xyu uuudxdux212Cxxyxyln)(1ln21arctan212 解解 设在设在 t 时刻物体的温度为时刻物体的温度为 u，则由题意建立微分方程，则由题意建立微分方程 例例3 假定加热后的物体在空气中的冷却速度与问物体和空气的温假定加热后的物体在空气中的冷却速度与问物体和空气的温度差成正比，设比例系数为度差成正比，设比例系数为k，物体加热后的温度是，物体加热后的温度是100，空气温度，空气温度是是20，试求物体温度关于时间的函数。，试求物体温度关于时间的函数。)20(uk