现代控制理论(22-24讲：第6章知识点)

1、1第第6章章 控制系统的综合控制系统的综合 6-1 状态反馈的一般概念状态反馈的一般概念 控制系统的两大问题：系统分析与系控制系统的两大问题：系统分析与系统综合；统综合； 构成反馈控制系统的两种方式：输出构成反馈控制系统的两种方式：输出反馈与状态反馈；反馈与状态反馈； 输出反馈：不能任意配置极点，物理输出反馈：不能任意配置极点，物理实现也有困难，校正装置往往使用实现也有困难，校正装置往往使用PID动态动态环节构成；环节构成；2 状态反馈：在一定条件下，就可使极状态反馈：在一定条件下，就可使极点任意配置，物理实现也非常容易，一般点任意配置，物理实现也非常容易，一般仅用比例环节就可实现校正。仅用比

2、例环节就可实现校正。一、状态反馈的一般形式：一、状态反馈的一般形式：x = Ax+Buy = CxDuuvKx( )tuBADC( )tv() tx( ) tyK()()x = ABK x+Bvy = CDK xDv3讨论：讨论：（1）如果）如果D=0，则，则()x = ABK x+Bvy = Cx（2）比较状态反馈前后的状态方程：）比较状态反馈前后的状态方程：00()ttA恒定不会变控制性能不变；0()()KttA-BK可变可变控制性能可以改变；故状态反馈可以改变系统的控制特性；故状态反馈可以改变系统的控制特性；4（3）此时，系统的传递函数阵为：）此时，系统的传递函数阵为：)(, ,)KKs

3、s -1G (C( I-ABK) BABK B C（4）如果今）如果今K=HC，则，则KxHCxHy这相当于将输出反馈回来。说明输出反这相当于将输出反馈回来。说明输出反馈是状态反馈的一个特例。馈是状态反馈的一个特例。二、状态反馈对系统性能的影响：二、状态反馈对系统性能的影响：5（1）状态反馈保持系统的可控性）状态反馈保持系统的可控性 设原系统为：设原系统为：0 0=(A,B,C),=(A,B,C),其能控性其能控性判别矩阵即为：判别矩阵即为：2-1.ncQ = BABA BAB 被控系统采用状态反馈后的系统为：被控系统采用状态反馈后的系统为： K= (A-BK, B, C), 其能控性判别矩阵

4、即为：其能控性判别矩阵即为：2-1()(). ()ncfQ = BA BKBA BK BA BKB Qcf 所有列向量都能由所有列向量都能由Qc的列向量的的列向量的线性组合来表示。而初等变换不改变矩线性组合来表示。而初等变换不改变矩阵的秩，故阵的秩，故6cfcrankrankQQ即状态反馈不会改变原系统的能控性；即状态反馈不会改变原系统的能控性；（2）状态反馈可能破坏系统的能观性）状态反馈可能破坏系统的能观性系统的输出方程为：系统的输出方程为：( )tuBAdC( )tv() tx( ) tyK()ddy = CK xv71()ddddy = CC xvv故说明系统的能观性被破坏了。故说明系统

5、的能观性被破坏了。如果选择如果选择 ，则，则1dkC6-2 极点配置问题极点配置问题 所谓极点配置所谓极点配置(pole assignment)问题，就问题，就是给出一组希望极点，通过调节、校正使系是给出一组希望极点，通过调节、校正使系统的闭环极点等于希望极点。统的闭环极点等于希望极点。8一、极点配置定理一、极点配置定理 系统系统= =(A,B,C)(A,B,C)，采用状态反馈可以，采用状态反馈可以任意配置闭环系统极点的充分必要条件为：任意配置闭环系统极点的充分必要条件为：系统系统=(A,B,C)=(A,B,C)完全能控。完全能控。证证(SISO) ：（1）如果）如果=(A,B,C)=(A,B

6、,C)是能控的，可以将是能控的，可以将其变换为能控标准形，即其变换为能控标准形，即(, A B C2cxTx222(, A B C9其中其中:2220101.01.ccnaa-10ATAT0220.01-1cBTB22011.nbbbcCCT（2）在能控标准实现的基础上，引入状态）在能控标准实现的基础上，引入状态反馈，其状态方程为：反馈，其状态方程为：_ _()vyx= A BK x+B=Cx10其中其中:12.nkkkK01101.01.nnakak0A BK0则闭环系统的系统矩阵为：则闭环系统的系统矩阵为：此时，闭环系统的特征多项式为：此时，闭环系统的特征多项式为：11_121110( )

7、det()()()()(1)nnnnfakakakI- A BK（3）设闭环系统的期望极点为）设闭环系统的期望极点为1 1, ,2 2, , n n ， 则期望特征多项式则期望特征多项式110121( )()().()(2)nnnnfaaa欲使闭环极点取期望值，只需比较欲使闭环极点取期望值，只需比较(1),(2)式式即可得到：即可得到：12_12001111nnnkaakaakaa由此可以确定状态反馈增益矩阵由此可以确定状态反馈增益矩阵:12.nkkkK从而实现了闭环极点的任意配置。从而实现了闭环极点的任意配置。（1）若给定系统不是标准形，则可令）若给定系统不是标准形，则可令( )det()(

8、 )ffI- ABK说明：说明：13（2）引入状态反馈后，闭环系统的零点）引入状态反馈后，闭环系统的零点保持不变。保持不变。_( , ,) A B C能控标准2型1_1101110.).mmmmnnnb sbsbsbsssasa sa-1G(C( I-A) B而引入状态反馈后，系统为：而引入状态反馈后，系统为：然后比较系数，即可求出增益矩阵然后比较系数，即可求出增益矩阵K；14_(, ,)k A BK B C能控标准2型_1110111201)().().()()kmmmmnnnnssb sbsbsbsaksak sak-1G (C( I- A BK)B 显然显然C阵不变，传递函数的分子不变。

9、阵不变，传递函数的分子不变。即系统的零点保持不变。即系统的零点保持不变。例：给定系统的状态方程和输出方程为：例：给定系统的状态方程和输出方程为：0100011010000021 x =x +uyx15解解：（：（1）首先验证系统的能控性：）首先验证系统的能控性：试设计状态反馈阵试设计状态反馈阵K，使闭环系统的极点，使闭环系统的极点为为-2、-1 j。并画出配置后的闭环系统状。并画出配置后的闭环系统状态变量图。态变量图。20010133137crankrankrank Q =BABA B故系统的状态完全能控，极点可以任意配置。故系统的状态完全能控，极点可以任意配置。（2）引入状态反馈后，闭环系统

10、的特征多项）引入状态反馈后，闭环系统的特征多项 式为：式为： 16323321( )det()(3)(2)fkkkkI- ABK（3）期望特征多项式为：）期望特征多项式为：32( )(2)(1)(1)464fjj （4）比较上两式的系数，即得到：）比较上两式的系数，即得到：K=4 3 1（5）画出闭环系统的状态变量图如下所示：）画出闭环系统的状态变量图如下所示：173x2x1x23k2kyv101k1u注意：注意：（1）绘制闭环系统状态变量图最好使用）绘制闭环系统状态变量图最好使用:x = Ax+Buy = CxDuuvKx18 习题习题: 4-13, 5-319这三个方程绘出，则原系统与状态

11、反馈的关这三个方程绘出，则原系统与状态反馈的关系非常清楚明了；系非常清楚明了；（2）使用能控标准形或者直接求取）使用能控标准形或者直接求取K阵的方阵的方法各有干秋，一般说来，系统阶次较低时，法各有干秋，一般说来，系统阶次较低时，宜使用直接法；在系统阶次较高时，应使用宜使用直接法；在系统阶次较高时，应使用能控标准形求取能控标准形求取K值。值。二、闭环系统期望极点的选取：二、闭环系统期望极点的选取：即利用主导极点的概念即利用主导极点的概念:系统的性能主要由主系统的性能主要由主导极点所决定导极点所决定,其余极点远离虚轴其余极点远离虚轴,衰减很快衰减很快,对对系统的影响很小系统的影响很小,可忽略不计可

12、忽略不计.201、由要求的超调量和调整时间决定期望、由要求的超调量和调整时间决定期望闭环极点闭环极点:给定的品质指标为：给定的品质指标为：；ts 。 故故21%100%e4(2%)sntn从而，期望主导极点即为从而，期望主导极点即为:21,21nnj dj 212、由要求的稳态误差确定、由要求的稳态误差确定L：此时系统应该具有如下结构形式：此时系统应该具有如下结构形式：_(,) A B CLvKyu而其余极点离虚轴的距离应远大于主导极而其余极点离虚轴的距离应远大于主导极点离虚轴的距离，即点离虚轴的距离，即1,2(5 1 0 )i设系统为能控标准设系统为能控标准型，故有型，故有221212101

13、11201(.)().()()nnnnnnnnL bsbsbsbssaksaksak(当当u(t)=1(t)时，系统的稳态误差（位置误差）时，系统的稳态误差（位置误差）为为0000111lim1( )( )lim )1 lim)1ssptssety tssssLbsak (若欲使系统的位置误差为零，则若欲使系统的位置误差为零，则010akLb236-3 系统的镇定问题系统的镇定问题 在系统综合中在系统综合中,有时仅要求改变不稳有时仅要求改变不稳定的闭环极点为稳定极点定的闭环极点为稳定极点,这就是系统镇这就是系统镇定定(stabilization)。 镇定问题是极点配置问题的一个特殊镇定问题是极

14、点配置问题的一个特殊情况，其目的是使系统的所有极点位于根情况，其目的是使系统的所有极点位于根平面的左半平面，而不要求它们的确切位平面的左半平面，而不要求它们的确切位置；置； 清楚地：一个完全能控的系统一定是清楚地：一个完全能控的系统一定是能镇定的；但是一个能镇定的系统未必是能镇定的；但是一个能镇定的系统未必是能控的。能控的。24定理：线性定常系统定理：线性定常系统=(A,B,C)=(A,B,C)是系统能镇是系统能镇定的充分必要条件为：系统不能控子系统是定的充分必要条件为：系统不能控子系统是渐近稳定的。渐近稳定的。例：已知系统的状态方程，判断系统是否为例：已知系统的状态方程，判断系统是否为可镇定

15、的，若是可镇定的，试用状态反馈使可镇定的，若是可镇定的，试用状态反馈使闭环系统为渐近稳定。闭环系统为渐近稳定。101002001021 x =x +u25解解: （1）判定系统的能控性，有）判定系统的能控性，有01300023125crankrankQ =故系统状态不完全可控；故系统状态不完全可控；（2）按能控性进行结构分解，构造）按能控性进行结构分解，构造Rc :1010201001 ,100120010ccR=R= 26_010113000020 x =x+u其中不能控子空间为：其中不能控子空间为：_332xx = 是渐近稳定的，所以系统是能镇定的。是渐近稳定的，所以系统是能镇定的。（3）

16、对能控子系统进行状态反馈，使之）对能控子系统进行状态反馈，使之成为渐近稳定的。故设成为渐近稳定的。故设_12kkK =27能控子空间的闭环特征多项式即为：能控子空间的闭环特征多项式即为：_212_111_0211133308kkskskksb 由由Routh判据，有判据，有_2121( )det()(3)(13)ccfkkkI-AB K（4）求对应分解前的）求对应分解前的K：kkkkkKKR=286-4 输出反馈输出反馈一、从输出到一、从输出到 处的反馈处的反馈x此时，系统结构图如下：此时，系统结构图如下：( ) tuBAC() tx() tyHx原系统

17、的状态空间表达式为原系统的状态空间表达式为:x = Ax+Buy = Cx29而输出反馈后的闭环系统为而输出反馈后的闭环系统为():hx = AHC x+Buy = Cx定理定理1：x对受控系统对受控系统=(A,B,C)=(A,B,C)采用从输出到采用从输出到 的线的线性反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是性反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是原受控系统原受控系统=(A,B,C)状态完全能观测。状态完全能观测。说明：说明：1. 反馈前后系统的能观性保持不变，而系反馈前后系统的能观性保持不变，而系统的能控性可能发生改变；统的能控性可能发生改变；302. 输出反馈阵输出反馈阵H的算法与状态反馈阵的

18、算法与状态反馈阵K的的算法相似。算法相似。二、从输出反馈至参考输入二、从输出反馈至参考输入此时，系统结构图如下：此时，系统结构图如下：( ) tuBAC() tx() tyHx( ) tvuvHy()x = ABHC x+Bvy = Cx31定理定理2：对完全能控的对完全能控的SISO系统系统=(A,B,C)=(A,B,C)，不能，不能采用输出线性反馈来实现闭环系统的极点采用输出线性反馈来实现闭环系统的极点任意配置。任意配置。6-5 状态观测器状态观测器状态观测器状态观测器(state observer)又称为状态估计器、又称为状态估计器、状态重构器。由于实际系统的状态并非实际状态重构器。由于

19、实际系统的状态并非实际可测，因而状态反馈难于实现，通过状态观可测，因而状态反馈难于实现，通过状态观测器重构状态，使状态反馈成为可能。测器重构状态，使状态反馈成为可能。32 习题习题: 5-7 33一、全维状态观测器一、全维状态观测器1、模型的建立、模型的建立设有完全能观测的定常系统设有完全能观测的定常系统(1)x = Ax + Buy = Cx 又取观测器的动态方程为又取观测器的动态方程为x = A x+ Buy = C x( ) tuBAC() t x() tyx( ) tuBAC( ) tx( ) tyx34由于初始状态的不同、模型的差异和噪音的由于初始状态的不同、模型的差异和噪音的存在，

20、重构状态与原状态肯定存在差异，因存在，重构状态与原状态肯定存在差异，因而输出也必然存在差异。故可利用输出的差而输出也必然存在差异。故可利用输出的差异对观测器进行校正，强迫异对观测器进行校正，强迫 ， 故故xx( ) tuBAC() t x() t yxBAC() tx() tyxeK观测器模型：观测器模型：()().(2)()eeeex = A x+ BuKyyA x+ BuK C xxAK C xBuK y若经过一段时间的校正，使得若经过一段时间的校正，使得35lim ( )( )tttxx0则上述模型就可作为系统的状态观测器。则上述模型就可作为系统的状态观测器。2、Ke存在的条件存在的条件

21、条件条件1：选取选取Ke，使，使(A-KeC)具有负的或负具有负的或负实部的特征值；实部的特征值；36条件条件2：由极点配置定理知：由极点配置定理知,欲使欲使(A-BK)任意任意配置的充要条件是系统能控配置的充要条件是系统能控;利用对偶原理利用对偶原理,欲使欲使(A-KeC)任意配置的充要条件是系统完任意配置的充要条件是系统完全能观。全能观。即原受控系统必须是状态可观的。即原受控系统必须是状态可观的。3、Ke的计算的计算Ke的求法与极点配置完全一样，只是注的求法与极点配置完全一样，只是注意意 的模型是不同的。的模型是不同的。x37配置配置Ke常用的观测器模型是：常用的观测器模型是：()eex

22、= AK C xBuK y( ) tuBAC() t x() tyxBeAK C( ) txxeK其结构图如下所示：其结构图如下所示：38例：已知某系统的传递函数为：例：已知某系统的传递函数为：2G( )(1)(2)sss若其状态不能直接测量，试设计一状态观若其状态不能直接测量，试设计一状态观测器使测器使(A-KeC)的极点为：的极点为：-10,-10。解：解： （1）判断系统的能观性）判断系统的能观性 因为因为G(s)没有零、极点对消，所以原系没有零、极点对消，所以原系统是能观的，观测器极点可以任意配置；统是能观的，观测器极点可以任意配置；（2）列写系统的状态空间表达式）列写系统的状态空间表

23、达式3901020231 x =x +uyx（3）设）设Ke=ke1 ke2 T，故观测器的特征多，故观测器的特征多项式为项式为:2112( )det()(23)(622)eeeefkkkI- AK C（4）期望特征多项式为：）期望特征多项式为：22( )(10)20100f比较上两式，可得比较上两式，可得40128.523.5eekk （5）由观测器的状态方程，故有）由观测器的状态方程，故有12()108.5223123.508.5123.5eeeekuykuy x = AK C x BuK yxx从而可得系统结构图如下所示：从而可得系统结构图如下所示：4122x1x3223.5y8.5u2

24、x1x34917u状态观测器的另一种结构形式可由下式状态观测器的另一种结构形式可由下式绘出：绘出：()ex = A x+ BuKyy42二、降维状态观测器二、降维状态观测器因为一方面观测器的输出可直接提供一部因为一方面观测器的输出可直接提供一部分状态；另一方面原系统的某些状态也能分状态；另一方面原系统的某些状态也能够直接测量。因而观测器的阶数是可以降够直接测量。因而观测器的阶数是可以降价的，即降维状态观测器。价的，即降维状态观测器。三、带观测器的闭环控制系统三、带观测器的闭环控制系统有了观测器，重构了系统的状态，就可有了观测器，重构了系统的状态，就可应用状态反馈实现系统的闭环控制。应用状态反馈

25、实现系统的闭环控制。此时，系统结构图如下所示：此时，系统结构图如下所示：43(,) AB CobservervKyux1、系统的设计、系统的设计如图所示带有全维状态观测器的状态反馈系统如图所示带有全维状态观测器的状态反馈系统:uBACxyxBeAK CxxeKKv设给定系统是能观、能设给定系统是能观、能控的，其动态方程为控的，其动态方程为x = Ax+Buy = Cx44观测器的状态方程为观测器的状态方程为()eex =AK C xBuK y而而uvKx将上三式合并在一起，构成一个将上三式合并在一起，构成一个2n阶系统。阶系统。说明：说明：45c. 使用状态观测器闭环后，系统的传使用状态观测器

26、闭环后，系统的传递函数阵不变。递函数阵不变。b. 如果如果=(A,B,C)=(A,B,C)是完全能控、能观是完全能控、能观的的,则则K、Ke存在存在,可按以前介绍的方法可按以前介绍的方法分别求取分别求取;a. 带观测器的闭环系统的特征值带观测器的闭环系统的特征值,由状由状态反馈的极点和观测器的极点构成态反馈的极点和观测器的极点构成,两两者之间互不相干者之间互不相干,可独立选取可独立选取,分别配置分别配置,这就是这就是分离原理分离原理;46e. 为了让重构状态迅速跟踪原状态，故选为了让重构状态迅速跟踪原状态，故选取观测器极点时，应该比配置的闭环极点取观测器极点时，应该比配置的闭环极点更远离虚轴些

27、，这样就可使重构状态更快更远离虚轴些，这样就可使重构状态更快地跟踪原状态地跟踪原状态x。d. 观测器对系统动特性的影响观测器对系统动特性的影响,主要表现在主要表现在系统工作的初始阶段系统工作的初始阶段,此时重构状态还未完此时重构状态还未完全跟踪全跟踪x,经过一段时间之后经过一段时间之后,观测器对系统观测器对系统的特性就无影响了的特性就无影响了,因而采用重构状态反馈因而采用重构状态反馈对系统的动、稳态特性均无影响对系统的动、稳态特性均无影响;47例：给定系统的状态方程和输出方程为：例：给定系统的状态方程和输出方程为：21010011 x =x +uyx采用状态观测器实现状态反馈，使其闭环系统采用

28、状态观测器实现状态反馈，使其闭环系统的极点为的极点为:-3, -3, -1-j,-1+j。解：解：（1）系统完全能控、能观，故）系统完全能控、能观，故K、Ke存在。存在。由于采用状态观测器反馈，因而系统阶数由于采用状态观测器反馈，因而系统阶数为为2n；（2）利用分离原理，分别配置状态反馈极点）利用分离原理，分别配置状态反馈极点和观测器极点：和观测器极点：48a、配置状态反馈极点、配置状态反馈极点2221( )det()(3)(22)fkkkI- ABK 而而2( )(1)(1)22fjj 1221kk K =故故1200210011vvkk x = AxBKx Bxx49b、配置观测器极点、配

29、置观测器极点2112( )det()(3)(2)eeeefkkkI- AK C 而而22( )(3)69f1234eeekkK=故观测器模型即为：故观测器模型即为：()0314eeuy x =AK C xBuK yx50可绘出闭环系统结构图为：可绘出闭环系统结构图为：22x1xy11k43u2x1x145u2kv（3）闭环系统的传递函数为：）闭环系统的传递函数为：5112( )()2101102122ssssss -1GC( I - ABK )B6-6 系统解耦系统解耦一、解耦一、解耦(decoupling)的定义的定义若一个若一个m维输入，维输入，m维输出的线性定常系统：维输出的线性定常系统：x = Ax+Buy = Cx52其传递函数阵其传递函数阵:1122( )().mmGGssG-10GC( I - ABK )B0是一对角线有理多项式矩阵，则称该多变量是一对角线有理多项式矩阵，则称该多变量系统是解耦的。系统是解耦的。二、串联解耦二、串联解耦( )cG s0( )G syu系统结构如图所示