第三章习题课

1、定义定义., 2阶阶子子式式的的称称为为矩矩阵阵阶阶行行列列式式的的位位置置次次序序而而得得到到的的中中所所处处不不改改变变它它们们在在个个元元素素行行列列交交叉叉处处的的位位于于这这些些列列行行和和任任取取中中矩矩阵阵在在kAkAkkkAnm 1矩阵的秩定义定义. 0).(, 0)(1,0 并并规规定定零零矩矩阵阵的的秩秩等等于于记记作作的的秩秩称称为为矩矩阵阵数数的的最最高高阶阶非非零零子子式式称称为为矩矩阵阵那那么么全全等等于于如如果果存存在在的的话话阶阶子子式式且且所所有有阶阶子子式式的的中中有有一一个个不不等等于于设设在在矩矩阵阵ARArADrDrA 习习 题题 课课);(),(cc

2、rrjiji记记作作列列对对调调矩矩阵阵的的两两行行);(,)(0 kckrkii 记记作作中中的的所所有有元元素素列列乘乘某某一一行行以以数数).(,)()( ckcrkrkjiji 记记作作对对应应的的元元素素上上去去列列倍倍加加到到另另一一行行所所有有元元素素的的列列把把某某一一行行2初等变换的定义对调对调数乘数乘倍加倍加初等变换 逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换同一类型的初等变换)(ccrrjiji)(ccrrjiji)(kckrii )1(1kckrii )(ckcrkrjiji )()(ckcrkrjiji 或记作等价

3、与称矩阵就矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵BABABA,反身性反身性传递性传递性对称性对称性;AA;,ABBA则若.,CACBBA则若3矩阵的等价BA经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为为0 0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元一个非零元例如例如 000

4、00310000111041211行阶梯形矩阵经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为个非零元为1 1，且这些非零元所在列的其它元素都，且这些非零元所在列的其它元素都为为0 0例如例如 00000310003011040101行最简形矩阵对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为阵，其余元素都为0 0例如例如 000003100030

5、11040101ccccccccc214433215334 00000001000001000001矩阵的等价标准形.,),(,数数梯形矩阵中非零行的行梯形矩阵中非零行的行就是行阶就是行阶其中其中三个数完全确定三个数完全确定此标准形由此标准形由化为标准形化为标准形换和列变换换和列变换行变行变总可以经过初等变换总可以经过初等变换矩阵矩阵任何一个任何一个rrnmOOOErFnmnm ;)rank(,1rrAA则阶子式都为零中所有如果);rank()rank(TAA定理定理);rank()rank(,BABA则若行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数7矩阵秩的性质及定理;)

6、rank(,rrAA则阶子式中有一个非零的如果. )4(; )3(;)(ank )2(;det ) 1 (EAEAAAA的标准形为单位矩阵的最高阶非零子式为nr则则阶可逆矩阵阶可逆矩阵为为若若,nA8线性方程组有解的判别定理定理定理3.5 对齐次线性方程组对齐次线性方程组0 xAnm 1 .2.3.min( , )ranknranknmnrankm nnAAAA有非零解有无穷多组解有非零解有无穷多组解只有零解（注： 未必为方阵）只有零解（注： 未必为方阵）当时有非零解（）当时有非零解（）1.det0 ()2.det0 ()ranknranknAAAAAA有有非非零零解解不不满满秩秩只只有有零零

7、解解满满秩秩，非非奇奇异异，可可逆逆定理定理 3.4,m nrankrankAx = b,AA对对设设秩秩()1.2.rankrankrankrankrankrankranknrankrankranknAAAAAAAAAA必必有有线线性性方方程程组组无无解解线线性性方方程程组组有有解解且且( (1 1) )有有唯唯一一解解( (2 2) )有有无无穷穷多多组组解解(未知数个数未知数个数)(未知数个数未知数个数)齐次线性方程组齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解矩阵，写出通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵

8、，根据有解判别定理判断是否有解，若有形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解通解9线性方程组的解法三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵10初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵为初等矩阵E).(:,)(),(rrjiAAaAjiEmjiijnmm 行行对对调调行行与与第第的的第第把把施施行行第第一一种种初初等等行行变变换换当当于于对对矩矩阵阵相相左左乘乘阶阶初初等等矩矩阵阵用用（）对调：对调两行（列），得初等矩阵（）对调：对调

9、两行（列），得初等矩阵).(:,),(,ccjiAAAjiEnjin列列对对调调列列与与第第第第的的把把施施行行第第一一种种初初等等列列变变换换相相当当于于对对矩矩阵阵右右乘乘矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵用用类类似似地地),(jiE（）数乘：以数非零）乘某行（列），（）数乘：以数非零）乘某行（列），得初等矩阵得初等矩阵);(,)(kriAkAkiEim 行行第第的的乘乘相相当当于于以以数数左左乘乘矩矩阵阵以以).(,)(kciAkAkiEin 列列第第的的乘乘相相当当于于以以数数右右乘乘矩矩阵阵以以k)( kiE（）倍加：以数乘某行（列）加到另（）倍加：以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得

10、初等矩阵一行（列）上去，得初等矩阵);(,)(rkrikjAAkijEjim 行行上上加加到到第第以以行行乘乘的的第第相相当当于于把把左左乘乘矩矩阵阵以以).(,)(ckcjkiAAkijEijn 列列上上加加到到第第以以列列乘乘的的第第相相当当于于把把右右乘乘矩矩阵阵以以k)(kijE定理定理.,;, 阶阶初初等等矩矩阵阵相相应应的的的的右右边边乘乘以以相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等列列变变换换对对阶阶初初等等矩矩阵阵左左边边乘乘以以相相应应的的相相当当于于在在变变换换施施行行一一次次初初等等行行对对矩矩阵阵是是一一个个设设nAAmAAnmA 11初等矩阵与初等变换的关系定理定理.

11、, 2121PPPAPPPAll 使使则则存存在在有有限限个个初初等等矩矩阵阵为为可可逆逆矩矩阵阵设设推论推论.,: BPAQQnPmBAnm 使使得得阶阶可可逆逆矩矩阵阵及及阶阶可可逆逆矩矩阵阵存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是矩矩阵阵一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩二、求解线性方程组二、求解线性方程组三、含参数线性方程组求解三、含参数线性方程组求解典型例题求矩阵的秩有下列基本方法求矩阵的秩有下列基本方法 ( (定义法定义法) ) 计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的 子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一 个子式，

12、则这个子式的阶数就是矩阵的秩个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩 用初等变换即用矩阵的初等行（或列）变换，用初等变换即用矩阵的初等行（或列）变换， 把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的 秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不 改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩（或列）的个数就是原矩阵的秩第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则较为简单实用算

13、量很大，第二种方法则较为简单实用.34147191166311110426010021A解解对对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵A例例1 求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩3514721015639010426010021A,00000000005213010021B. 2rankrank,BA因此注意注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形阶梯形例例 已知已知5阶方阵阶方阵A的秩的秩rankA=3, 则则rankA*=( )0当方程的个数与未知数的个数不相

14、同时，一当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解般用初等行变换求方程的解当方程的个数与未知数的个数相同时，求线当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则法和克莱姆法则二、求解线性方程组二、求解线性方程组对对Ax=b,要研究其增广矩阵要研究其增广矩阵 ；对对Ax=0,只研究其系数矩阵就可以了只研究其系数矩阵就可以了.bAA 例例21997.6 一一(6) 4分分 设设m个方程个方程n个未知数的非齐次线性方程组为个未知数的非齐次线性方程组为Axb，且，且rankAr，则下列结论中正确

15、的是，则下列结论中正确的是(a) r=n时，时，Axb有唯一解；有唯一解；(b) m=n时，时， Axb有唯一解；有唯一解；(c) rn时，时，Axb有无穷多解；有无穷多解；(d) r=m时，时，Axb有解有解.(d)三、含参数线性方程组求解三、含参数线性方程组求解 系数矩阵或右端项含有一个系数矩阵或右端项含有一个(或多个或多个)参数的线参数的线性方程组称为性方程组称为含参数线性方程组含参数线性方程组.求解含参数线性求解含参数线性方程组时常采用一下办法：方程组时常采用一下办法： 对方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵 通过初等行变换化为阶梯通过初等行变换化为阶梯型矩阵，然后根据型矩阵，然后根据

16、是否成立，讨论参数是否成立，讨论参数在什么情况下有解？无解？有解时再求出一般解在什么情况下有解？无解？有解时再求出一般解. .ABArankrank 当方程个数与未知数个数相同的时候，可利用克当方程个数与未知数个数相同的时候，可利用克莱姆法则，即计算系数行列式莱姆法则，即计算系数行列式 . .对使得对使得 的的参数值，方程组有唯一解；而对于使得参数值，方程组有唯一解；而对于使得 的参数的参数值，分别列出增广矩阵求解值，分别列出增广矩阵求解. .Adet0detA0detA注：最好采用方法注：最好采用方法2 2求解求解. .1232)3(122043214324324321axxxxbxxaxx

17、xxxxxx例例2 当当 取何值时，线性方程组取何值时，线性方程组ba,解解系数矩阵的行列式为系数矩阵的行列式为A2) 1(123231022101111detaaaA所以所以 当当 时，方程组有唯一解；时，方程组有唯一解；1a 当当 时，时，1a1112322101221001111bA00000100001221001111b所以当所以当 时，时， ，方程组无解；，方程组无解；1b2rankrankAA而当而当 时，时， ，方程组有无穷，方程组有无穷 多解多解,其同解方程组为其同解方程组为1b32rankrankAA4324312211xxxxxx则其通解为则其通解为102101210011214321kkxxxx令令2413kxkx( ( 为任意常数为任意常数) )21,kk.,)(,1AEEAEAA 变变成成了了就就原原来来的的时时变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换只只需需对对分分块块矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵要要求求可可逆逆矩矩阵阵.,1AEEAEA 就就变变成成了了原原来来的的时时变变成成当当把把施施行行初初等等列列变变换换或或者者对对分分块块矩矩阵阵四、求逆矩阵的初等变换法四、求逆矩阵的初等变换法例例3求矩阵求矩阵 的逆矩阵的逆矩阵.111211120A解解EA10011101021100112021rr 1001110011200102