中考数学——数形结合专题0001

1、实用文案第九讲数形结合思想【中考热点分析】数形结合思想是数学中重要的思想方法，它根据数学问题中的条件和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙的结合起来，并充分利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握。【经典考题讲练】3例1.(2015衢州)如图，已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B,P是抛物线412y=x+2x+5的一个动点，其横坐标为a,过点P且平行于y轴的直线交直线23,y=x+3于点Q则当PQ=BQ时，a的值是4例2.(2014?广州)已知平面

2、直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=©'+旅-2(仃*0)过点AB,顶点为C.点P(mn)(n<0)为抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式与顶点C的坐标.(2)当/APB钝角时，求m的取值范围.35(3)若切)_,当/AP斯直角时，将该抛物线向左或向右平移t(。<一)个单位，点P、C移动后对应的点分别记为P、是否存在t，使得首尾依次连接A、BP、0所构成的多边形的周长最短？若存在，求t值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由.解析：(1)待定系数法求解析式即可，求得解析式后转换成顶点式即可.(2)因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在O

3、C的内部时，满足/APB为钝角，所以-1<m<0,或3Vm<4.(3)左右平移时，使A'D+DB最短即可，那么作出点C'关于x轴对称点的坐标为C,得到直线PC的解析式，然后把A点的坐标代入即可.标准文档实用文案答案:解：依题意把力,g的坐标代入得：dr-2=0;解得：；16厘+4占一4=01a=-2方二21.3抛物线解析式为vX2工一2,22顶点横坐标x=-=-,Wx=-代入抛物线得V-X2a222.一马28103如图，当/ips=90,时，设口和了十厂2),-港)则%+尿=4-为13万/口-工厂222过。作直线川工轴，AEBFU,MED-的FD.AE_DF_

4、法一茄(注意用整体代入法当p在国力4之间时，LAPB90*:-1朋0或3加4时，ZAPB为钝角.(3)依题意加3,且4即=90*P0G设F,C移动1f(才0向右，向左)既3乜-2)1+舄28连接：；标准文档实用文案又的长度不变二四边形周长最小，只需gp+c%最小即可将以沿工轴向右平移5各单位到十处pr沿工轴对称为y当且仅当p、B、c点共线时，即+巴4最小，且最小为FC1f，此时28)二十:,设过的直线为了二女十力，代入(”二十一(3+t)k+b=24128284141(3+0即,.:2828将B(40)代入，得:41X4+281541(3+1)«、八15+2=0,解得：I-2841标

5、准文档实用文案例3.（2012杭州）如图，AE切。O于点E,AT交。O于点M,N,线段OE交AT于点C,OB±AT于点B,已知/EAT=30°,AE=33,.（1）求/COB的度数；（2）求。O的半径R;（3）点F在。O上（京港;是劣弧）,且EF=5,把OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E,F重合.在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在。上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与OBC的周长之比.解：.AE切。O于点E,.OHAE.OBLAT,在CA丽COBL/AEC=/CBO=90°,而/BCO=/

6、ACE/CO屋/A=30.（3分）图（2）在RtACE中，AE=3也,/A=30.EC=AE-tan30°=3.MN2=J22,如图（1）,连接OM在RtAMOlB3,OM=RMB=，OB=飞海一曲=7京一22在RtACOE,/COB30,标准文档实用文案OG=eg30OOEC=R3622+3=R整理得R2+18R115=0,即(R+23)(R-5)=0,.R=-23(不符合题意，舍去)，或R=5,R=5.(8分)(3)在EF的同一侧，满足题意的三角形共有6个，如图(2)(3)(4),每个图有2个满足题意的三角形.能找出另一个顶点也在。O上的三角形，如图(1),延长EO交。于D,连接

7、DF则4DFE为符合条件的三角形.图(2)图(3)图(4)由题意得，DF3AOBC遥加三二DE10由(2)得，DE=2R=10,OC=22=2,CTOBC=OC=2=5.(14分)【解答策略提炼】解题策略，数形结合思想包含“以形助教”和“以数助形”两个方面，即用数形结合思想解题可分两类：一是依形判教，用形解决数的问题，常见于借助数轴、函数图像、几何图形来求解代数问题；二十就数论形，用数解决形的问题，常见于运用恒等变形、建立方程(组)、面积转换等求解几何问题。标准文档实用文案【专项达标训练】一、填空题1 .如图所示，在梯形ABCM,AD/BG/ABC=90,AD=AB=6BC=14,点M是线段B

8、C上一定点，且MC=8动点P从C点出发沿C-AZB的路线运动，运动到点B停止，在点P的运动过程中，使PM等腰三角形的点P有()个。2 .已知抛物线y=ax2-2ax-1+a(a>0)与直线x=2,x=3,y=1围成的正方形有公共点，则a的取值范围是。3 .如图，抛物线y=lx2+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(-1,0)，点M2(m,0)是x轴上的一个动点，当MC+MDJ值最小时，m的值是24/41。4 .抛物线y=ax2+bx+c(aw0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若ABC是直角三角形，则ac=.5 .如图，半径为r1的圆内切于半径为r2的圆，切点为P,

9、过圆心O1的直线与。02交于人、B,与。O1交于C、D,已知AC:CDDB=34:2,则21=.r2一标准文档实用文案、解答题6 .(1)如图，四边形ABCDK/BAD=120,/B=/D=9(J,在BCCD上分别找一点MN,使AAMN长最小时，求/AMN+ANM勺度数。k2、(2)如图，直线y=k1x+b与双曲线y=上父于A、B两点，其横坐标分别为1和x5,求不等式k1x<U+b的解集。x7 .如图，AC为。的直径，B是。外一点，AB交。于E点，过E点作。的切线,交BC于D点，DE=DCEF,AC于F点，交AD于M点。(1)求证：BC是。的切线。(2)EM=FM.标准文档实用文案8 .

10、(2015?鄂州)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴2交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-2且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点2B.(1)直接写出点B的坐标；求抛物线解析式.(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA,PC.求APAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标.(3)抛物线上是否存在点M过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、MN为顶点的三角形与ABCffi似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.标准文档实用文案【基础重点轮动】选择题1 .（-1）-1+（兀-%行）°+，（-2）2的值为（）2A.-1

11、B.-3C.1D.02 .要使分式工有意义，则x的取值范围是（）x-1A.x#1B.x<1C.x>1D.xw-13 .对于函数尸9下列说法错误的是（）A.它的图象分布在一、三象限B.它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C.当x>0时，y的值随x的增大而增大D.当xv0时，y的值随x的增大而减小4 .如图，PAPB是。的切线，切点是A、B,已知/P=60°,OA=3那么/AOB所对弧的长度为（）。A.6兀B.5兀C.3兀D.2兀5 .抛物线y=x2+bx+c（aw0）图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得的图像解析式为=x2-2x-3，则b,c的值为（）。A.

12、b=2,c=2B.b=2,c=0C.b=-2,c=-1D.b=-3,c=26 .如图，ABC中，CD!AB,垂足为D。下列条件中，不能证明ABC是直角三角形的是（）A./A+ZB=90°b.ab2=aC+bCACCDC.,二九2D.CD=AD?BD7 .下列命题是真命题的是（）A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形8 .有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.两条对角线相等的平行四边形是矩形标准文档实用文案D,两边相等的平行四边形是菱形8 .如图所示，正方形网格中，网格线的交点称为格点。已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则C点的个数是（C）A6B.

13、7C.8D.9填空题9 .如图，直线11/12/13，点A、RC分别在在直线11、12、13上，若/1=70°Z2=50°,WJ/ABC=度。第9题图第10题图10 .如图某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1:J3,堤坝高BC=50m则迎水坡面AB的长度是。11.某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示:用电量（度）120140160180200户数23672则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是12.已知菱形ABCD勺边长是8,点E在直线AD上，若DE=3连接BE与对角线AC相交于点M则S>AABIVtSacbmB勺值为标准文

14、档实用文案第10讲综合性解答问题【中考热点分析】代数型综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题，涉及知识：主要包括方程、函数、不等式等内容。解题策略：用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等。几何型综合题是指以几何知识为主或者以几何变换为主的一类综合题。涉及知识：主要包括几何的定义、公理、定理、几何变换等内容。解题策略：解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的。代数和几何型综合题是指以代数知识与几何知识综合运用的一类综合题。涉及知识：代数与几何的重要知识点和

15、多种数学思想方法。【经典考题讲练】例1.如图，已知矩形OAB0，OA2,AB=4,双曲线yJ(k>0)与矩形两x边ARBC分别交于E、Fo(1)若E是AB的中点，求F点的坐标；(2)若将BEFF替直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EGLOC垂足为G证明EGDstDCF并求k的值。标准文档实用文案例2.(2014?十堰)已知抛物线G：y=a(x+1)2-2的顶点为A,且经过点B(-2,-1).(1)求A点的坐标和抛物线C的解析式.(2)如图1,将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2,且抛物线C2与直线AB相交于C,D两点，求SaoaCSaoa出力t.(3)如图2,若过P(-4,0

16、),Q(0,2)的直线为l,点E在(2)中抛物线C对称轴右侧部分(含顶点)运动，直线m过点C和点E.问：是否存在直线m,使直线l,m与x轴围成的三角形和直线l,m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由.分析：(1)由抛物线的顶点式易得顶点A坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题.(2)根据平移法则求出抛物线C2的解析式，用待定系数法求出直线AB的解析式，再通过解方程组求出抛物线C2与直线AB的交点C、D的坐标，就可以求出SAOACS4OAD勺值.(3)设直线m与y轴交于点G直线l,m与x轴围成的三角形和直线l,m与y轴围成的三角形形状、位置随着点G的变

17、化而变化，故需对点G的位置进行讨论，借助于相似三角形的判定与性质、三角函数的增减性等知识求出符合条件的点G的坐标，从而求出相应的直线m的解析式.标准文档实用文案例3.(10分)(2015?桂林)如图，四边形ABCD。的内接正方形，AB=4,PGPD是。O的两条切线，C、D为切点.(1)如图1,求。O的半径；(2)如图1,若点E是BC的中点，连接PE,求PE的长度；(3)如图2,若点M是BC边上任意一点(不含BC),以点M为直角顶点，在BC的上方作/AMN=90,交直线CP于点N,求证：AM=MN却图2分析：(1)利用切线的性质以及正方形的判定与性质得出。O的半径即可；(2)利用垂径定理得出OE

18、LBC,/OCE=45,进而利用勾股定理得出即可；(3)在AB上截取BF=BM利用(1)中所求，得出/ECP=135,再利用全等三角形的判定与性质得出即可.【解答策略提炼】1、代数综合题是以代数知识及代数变形为主的综合题。主要包括方程、函数、不等式等内容。解题策略：用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等。解代数综合题要注意方程、不等式和函数、统计等知识点之间的横向联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而解决问题。2、几何综合题考查的图形种类多、条件隐晦，在观察方法上要注意从三角形、四边形、圆的定义、性质

19、、判定来观察分析图形，通过寻找、分解、构造基本图形以发现图形特征；在思考方法上分析挖掘题目的隐含条件，注意结合代数知识与几何图形的性质思考，不断的由已知想未知，为解决问题创造条件。标准文档实用文案【专项达标训练】、填空题1 .如图，在四边形ABC由,AB=4,BC=7,CD=2AD=x,则x的取值范围是2 .如图，在ABC中，AB=ACD在AB上，BD=AB则/A的取值范围是。第2题图3 .在RtABC中，/C=90°,AC=3BC=4.若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是。4 .如图，矩形ABCD43,E为DC的中点，ADAB聿：2,CRBP=

20、1:2,连接EP并延长，交AB的延长线于点F,ARBE相交于点0.下列结论：EP平分/CEBEBWEFB;ABWECPAO?AP=0B2其中正确的序号是.（把你认为正确的序号都填上）DEC5 .（2015南通）关于X的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0）,则a的取值范围是。二、解答题6 .（2014牡丹江）（2014年黑龙江牡丹江）如图，在RtABC中，/ACB=90,AC=8,BC=6CDLAB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停

21、止.设运动时间为t秒.（1）求线段CD的长；（2）设CPQ勺面积为S,求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得SAcpqSaab（=9:100?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.（3）当t为何值时，CPQ为等腰三角形？备用图1备用图2标准文档xrbp=T-x,根据解答:实用文案分折：设AD=x,A8=2xrtgg®形的艇得出AD二BC二。XfAB=CD=xfzD=zC=zABC=9Q°fDCIABr求出DE=CE=X,tanzCEP=ftan上EBC=,求出上CEP=30"上E8c=301CEB=60"即可判断；证出上F

22、二上EB而上PEB二上PEBfHlRlffiiHAEBP-AEFBF判断即可;iiEAECP-AFBPflAABP=AFBPf即可判断r证出AOBZBOP，得出需二缁,推出。B2=AO,OPr即可判断.解：设AD二X,AB=2x,四边形ABCD是矩形.AD=BC=j3xfAB=CD=xfD=C=ABC=9Q°tDCIIAB,.E为CD中点,1,DE=CE=x,/CP:BP=1：2.lCEP=3(F,上EBC=301ZC=9CT,-CEB=60°,/yBEP=3(T=CEP,即印平分工CEB一.正确；1/DCIIAB,zCEP=d=3OVzEBP=30°r，上F=2

23、EBPf1.-iPEB=zPEB,/-AEBP-AEFBr正确；/DCIIAB,aAECP-AFBPrECCP1：/BF二丽=21，EC/BF,E为CD中点rAB-CDfEC=ICDjABr1'.AB=8F,在ABPffl&BP中(AB=BFJZABP=AFBP=r标准文档BP=BP/.AABPAFBPFvAECP-AFBPrAA口.八匚广口由H雁*实用文案7 .(2013?连云港)如图，已知一次函数y=2x+2的图像与y轴交于点B,与反比例函数y=k1/x的图像的一个交点为A(1,项，过点B作AB的垂线BR与反比例函数y=k2/x交于点D(n,-2).(1)求k1和k2的值；

24、(2)若直线ABBD分别交x轴于点C、E,试问在y轴上是否存在一个点F,使得ABDSAACEE若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.分析：将A坐标代入一次由数解析式中求出m的值，确定出A的坐标f将A坐标代入反比例的数X2中即可求出始的佳；过A作AM垂直于y轴.过D作DN垂直于海r可得出一对x豆角相等，再由AC垂直于BD,利用同角的余角相等得角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ABM与三角形BON®似，由相似得比例.求出DN的长.确定出D的坐标，代入反比例函数y=以中即可求出匕的值:x(2)在海上存在一个点F,使得ABDF-AACE,此时F(0(-8)，理由为：由

25、y=2-2求出C坐标.由0B=0N=2,DN=8,可得出0E为三角形BDN的中位线，求出0E的长,进而利用两点间能距离公式求出AE,CE,ACf8D的长，以及/B0入ACE%EAC,若BDF-AACE,得到比例式,求出BF的长，即可确定出此研的坐标.再利用BD=DF时.进而得出即可.*答；解：(1)榕A(1,e)代入一次函数y=2x，2中，得：m=2+2=4，即A(1,4),将A(1,4)代入反比例解析式y=&得：*4;x过A作AM"由,过N乍DNl渊，上AMB上上DNBm9CT,AzBAM+ABM=90°tvACxBD,即上ABD=90",JABM+上D

26、BN=9(r,AzBAM=rD8N,.'ABMj4BDNiAAfBXf叩12:盖'dx1®4二5Vf,DN=8,/-D(8r-2),将D坐标代入y上得：k2=>6；x标准文档实用文案由V=2x*2,求出C坐标为C-1f0）,vOB=ON=2tDN=8f工OE=4r可得AE=5,CE=5,AC=245,BD=4j5-EBO入ACE=4EAJ若"DFsMCE,贝嘿=券r80二写,解得:BF=10,则F（0,-8）,综上所述：F点坐标为（口.*8）时，ABDF*AACE.点评：此题考查了反比例除育鹿,涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，待定系就去确定函数解

27、析式，坐标与图形性质,熟练掌握特定系数法是解本陋的关键.8.（2015温州）如图，AB是半圆O的直径，CD±AB于点C,交半圆于点E,.DF切半圆于点(21B)F.已知/AEF=135.(1)求证：DF/AB;(2)若OC=CEBF=2五,求DE的长.标准文档实用文案9.(2015?海南)如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A(-3,0)、B(1,0),与y轴相交于点C,点G是二次函数图象白顶点，直线GCx轴于点H(3,0),AD平行GC交y轴于点D.(1)求该二次函数的表达式；(2)求证：四边形ACHD正方形；(3)如图2,点M(t,p)是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N.若四边形ADCM勺面积为S,请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；21若CMN勺面积等于4,请求出此时中S的值.标准文档实用文案【基础重点轮动】选择题2x+21. （2013.山西）解分式方程+2_2=