安徽省合肥市行知中学2025-2026学年12月月考九年级数学试卷

2025—2026学年度第一学期九年级第二次阶段检测数学试卷2025.12温馨提示：1.注意你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟；2.试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分，“试题卷”共6页，“答题卡”共4页；3.请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.抛物线的顶点是（）A. B. C. D.2.已知线段，，是线段，比例中项，则线段的长为（）A.或 B.C. D.3.在中，，则的值为（）A B. C. D.4.如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点．若，则的长是（）A.4 B.4.5 C.5 D.65.已知，且．若的周长是6，则的周长是（）A.3 B.6 C.12 D.186.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.7.已知，下列等式中，一定正确的是（）A. B. C. D.8.如图，在中，的平分线为，交于点E，若，，则的值为（）A. B. C. D.9.如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．则以下结论中正确的有（）①；②；③；④若t为任意实数，则．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝；④△AMN∽△CAB．正确的有（）A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.将抛物线的图象向下平移2个单位后，所得新的函数表达式为______．12.二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图，一把二胡的弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长为__________（保留根号）．13.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点C的坐标为，反比例函数经过点D，若的延长线交y轴于点E，连接，则的面积为______．14.已知抛物线经过．（1）抛物线的对称轴______，（2）若将抛物线向上平移m（）个单位，平移过后的图象在内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是______．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：．16.已知抛物线的顶点坐标为，求此抛物线的函数表达式．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．（1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为2，其中，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F；（2）在（1）的条件下，若是线段上一点，则点M的对应点的坐标为______．18.已知：如图，平行四边形中，点C在上，点B是延长线上一点，连接和，．（1）求证：；（2）若，，，求的长．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，一次函数图像与反比例函数的图像交于、两点．（1）求反比例函数解析式；（2）根据图像直接写出满足时x的取值范围．（3）连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积．20.如图，中，，于，为的中点，、的延长线交于点，求证：（1）；（2）．六、（本题满分12分）21.清风阁是合肥市区标志性建筑物之一，也是全国廉政教育基地，通过展示包拯及其他廉吏的事迹，传承和弘扬了包公的清正廉洁、刚正不阿的精神．合肥市行知学校某数学兴趣小组开展实践活动，采用如下方案测量清风阁的高度，下面是他们实践报告的部分内容：活动主题测量清风阁的高度测量工具卷尺、测角仪方案设计第一步：在A处使用测角仪测得清风阁顶部点C的仰角的度数；第二步：沿着方向走到E处，用度尺测得的长；第三步：在E处使用相同高度的测角仪测得清风阁顶部点C的仰角的度数．说明：地面上的点A，E，D在同一水平直线上，，表示测角仪，表示清风阁的高，、、均与垂直．测量数据，，，参考数据，，，，，．备注测量过程中注意安全及保护文物不被破坏请根据该小组的报告计算清风阁的高度（结果保留整数）．七、（本题满分12分）22.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C．（1）若点C的坐标为．①求抛物线函数表达式；②点P为该抛物线上一动点，过点P且与x轴垂直的直线交线段于D，交x轴于E．若，求点P的横坐标；（2）设，经过B，C两点的直线为，当x为何值时，函数取最小值？八、（本题满分14分）23.在中，，，D是边上不与A，B重合的一个定点．于点O，交于点E．，，和的延长线相交于点M．与交于点I．（1）如图1，求证：；（2）如图1，求的度数；（3）如图2，连接，若N是的中点，连接，，求证：．2025—2026学年度第一学期九年级第二次阶段检测数学试卷2025.12温馨提示：1.注意你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟；2.试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分，“试题卷”共6页，“答题卡”共4页；3.请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；4.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.抛物线的顶点是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．已知抛物线解析式为顶点式，可直接求出顶点坐标．【详解】解：∵顶点坐标为，故选：D．2.已知线段，，是线段，的比例中项，则线段的长为（）A.或 B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据比例中项的性质可得，即可求解．【详解】解：由题意可得且，即，解得故选B【点睛】此题考查了比例中项的性质，比例中项的平方等于两个数的乘积，掌握比例中项的概念是解题的关键，易错点为线段．3.在中，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键．根据勾股定理求出，根据余弦的定义计算即可．【详解】如图所示，∵在中，，∴由勾股定理得，，则，故选：A．4.如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点．若，则的长是（）A.4 B.4.5 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理，结合已知的线段比例和总长度，求出的长．本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键．【详解】解：∵∴∵，∴∵∴∴，故选：A．5.已知，且．若的周长是6，则的周长是（）A.3 B.6 C.12 D.18【答案】C【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握两个相似三角形的对应角相等、周长的比等于相似比成为解题的关键．直接根据相似三角形的周长比等于相似比进行计算即可．【详解】解：∵，且∴的周长的周长，∵的周长为6，∴的周长为12．故选：C．6.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数中k＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．∵-3＜0，-1＜0，∴点A（-3，y1），B（-1，y2）位于第二象限，∴y1＞0，y2＞0，∵-3＜-1＜0，∴0＜y1＜y2．∵2＞0，∴点C（2，y3）位于第四象限，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2．故选：A．【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．7.已知，下列等式中，一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了分式的性质，解题关键在于需要掌握分式的性质．由已知比例关系，可设参数表示变量，代入各选项验证是否恒成立即可判断．【详解】解：∵，∴设，，A、（当），但时分母为零，故不一定成立，不符合题意；B、，需且特定值才相等，故不一定成立，不符合题意；C、，恒成立，符合题意；D、，不成立，不符合题意．故选C．8.如图，在中，的平分线为，交于点E，若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的性质与证明，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．通过，的平分线，可得，证明，从而得到进而即可求解．【详解】解：∵是的平分线，∴；又∵，∴；∴，∴为等腰三角形，∴，∵，∴，∴，∴，设，则，∴四边形ABED的面积为，∴，故选B．9.如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．则以下结论中正确的有（）①；②；③；④若t为任意实数，则．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像与其系数之间的关系，根据开口方向可得，根据对称轴计算公式可得，根据与y轴的交点位置可得，据此可判断①；可求出当时，，据此可判断②；把点A的坐标代入解析式，可推出，据此可判断③；求出函数的最大值即可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∵对称轴为直线，∴，∴；∵抛物线与y轴的交点在与之间（不包括这两点），∴，∴，故①正确；∵抛物线的图像与x轴交于点，对称轴为直线，∴抛物线的图像与x轴的另一个交点坐标为，∴当时，，∴，故②正确；∵抛物线的图像与x轴交于点，∴，∴，∴，∴，故③正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线，∴函数的最大值为∴，∴，故④错误；故选：C．10.如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝；④△AMN∽△CAB．正确的有（）A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④【答案】C【解析】【分析】通过证明△AMN∽△CBN，可得，可证CN=2AN；过D作DH∥BM交AC于G，可证四边形BMDH是平行四边形，可得BH=MD=BC，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得DN=DC；通过证明△ABM∽△BCA，可得，可求AB=BC，即可得tan∠DAC=；由平行线性质可得∠DAC=∠ACB，∠ABC=∠ANM=90°，可证△AMN∽△CAB，则可求解．【详解】∵AD//BC，∴△AMN∽△CBN，∴，∵M是AD边的中点，∴AM＝MD＝AD＝BC，∴，∴CN＝2AN，故①正确；如图，过D作DH//BM交AC于G，∵DH//BM，BM⊥AC，∴DH⊥AC，∵DH//BM，AD//BC，∴四边形BMDH是平行四边形，∴BH＝MD＝AD＝BC，∴BH＝CH，∵∠BNC＝90°，∴NH＝HC，∵DH⊥AC，∴DH是NC的垂直平分线，∴DN＝CD，故②正确；∵AD//BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠AMB＝90°，∴∠BAC＝∠AMB，∵∠BAM＝∠ABC，∴△ABM∽△BCA，∴，∴AB2＝BC2，∴AB＝BC，∵tan∠DAC＝tan∠ACB＝，∴tan∠DAC＝，故③错误，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠ABC＝∠ANM＝90°，∴△AMN∽△CAB，故④正确；故选：C．【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.将抛物线的图象向下平移2个单位后，所得新的函数表达式为______．【答案】【解析】【分析】本题考查二次函数图象的平移，解决本题的关键是掌握二次函数图象的平移规则．根据平移规则“上加下减”，向下平移是减，直接应用规则即可求解．【详解】解：∵将抛物线向下平移2个单位，∴新函数表达式为．故答案为：．12.二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图，一把二胡的弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长为__________（保留根号）．【答案】【解析】【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题．熟知黄金分割的定义是解题的关键．【详解】解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，则令“千斤”下面一截琴弦长为，所以，解得，所以“千斤”下面一截琴弦长为．故答案为：．13.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点C的坐标为，反比例函数经过点D，若的延长线交y轴于点E，连接，则的面积为______．【答案】6【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想方法．先求出点D的坐标为，再根据矩形的性质可得，即可得出，，进而得到，再根据可得，则，可得，进而得到的面积．【详解】解：由题意得，当时，，∴点D的坐标为，∵四边形是矩形，∴，，，，，∴，，即，的面积．故答案为：6．14.已知抛物线经过．（1）抛物线的对称轴______，（2）若将抛物线向上平移m（）个单位，平移过后的图象在内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是______．【答案】①.②.或【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，函数图象平移，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．（1）利用对称轴公式直接写出对称轴；（2）先求出原抛物线的解析式，再写出平移后的解析式，根据平移后图象在与x轴只有一个交点，结合二次函数图象的开口方向和顶点位置，分类讨论顶点在内、外两种情况求出m的取值范围．【详解】解：的对称轴为：直线，故答案为：；（2）解：抛物线经过，代入得：，解得，∴抛物线解析式，向上平移m个单位后得到，令得∶，即，，平移过后的图象在内与x轴只有一个交点，分两种情况：第一种情况：方程在内有两个相等的实数根，即，解得；当时，代入平移后的抛物线解析式得,令得，解得,即抛物线与轴有唯一交点,满足平移后抛物线的图象在与x轴只有一个交点；第二种情况：当时，，当时，，方程在内有一个实数根，另一根不在内，二次函数函数对称轴为直线，且开口向下，则解得：，综上所述，m的取值范围为或．故答案为：或三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题的关键熟记特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值代入求值即可．【详解】解：．16.已知抛物线的顶点坐标为，求此抛物线的函数表达式．【答案】【解析】【分析】本题考查了求解二次函数解析式，掌握二次函数的顶点式是解决本题的关键．利用顶点坐标代入顶点形式，再展开为标准形式即可求解．【详解】解：∵抛物线中，顶点坐标为，∴由顶点式可得．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．（1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为2，其中，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F；（2）在（1）的条件下，若是线段上一点，则点M的对应点的坐标为______．【答案】（1）见详解；（2）．【解析】【分析】本题考查了作图—位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解此题的关键．（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A，B，C的横纵坐标都乘以得到点D，E，F，再顺次连接即可得出答案；（2）利用（1）中可得把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标．【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】解：点是线段上一点，则点对应点的坐标为，故答案为：．18.已知：如图，平行四边形中，点C在上，点B是延长线上一点，连接和，．（1）求证：；（2）若，，，求的长．【答案】（1）见详解；（2）．【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．（1）根据三角形中两组对应角相等证明即可；（2）根据，得，求解即可．【小问1详解】证明：在中，，，，，，；【小问2详解】解：由（1)知，,，，，，解得：．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，一次函数图像与反比例函数的图像交于、两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）根据图像直接写出满足时x的取值范围．（3）连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积．【答案】（1）反比例函数的解析式为（2）x的取值范围为（3）的面积为15【解析】【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查数形结合思想的运用．（1）由反比例函数的性质可得，求解即可求出函数的解析式；（2）根据函数的图像和、的坐标即可得出答案；（3）过点作轴，交直线于，求出的坐标，即可求得，然后根据即可求出答案．【小问1详解】解：由题意得，解得，∴点A的坐标为，点B的坐标为，∴，∴反比例函数的解析式为；【小问2详解】解：由题意可得，，由图像和两函数交点坐标，可知，x的取值范围为：；【小问3详解】解：如图，过点C作x轴的平行线交直线于点D，如图，由反比例函数图像的中心对称性质可知，，在一次函数的图像上，得，解得，直线解析式为：，当时，，，解得，点D的坐标为，∴，，，．20.如图，中，，于，为的中点，、的延长线交于点，求证：（1）；（2）．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由余角的性质可得，由相似三角形的判定可得结论；（2）由相似三角形的性质可得，通过证明，可得，可得结论．【小问1详解】证明：，，，，又，；【小问2详解】证明：，，，点是的中点，，，，，，，又，，，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．六、（本题满分12分）21.清风阁是合肥市区标志性建筑物之一，也是全国廉政教育基地，通过展示包拯及其他廉吏的事迹，传承和弘扬了包公的清正廉洁、刚正不阿的精神．合肥市行知学校某数学兴趣小组开展实践活动，采用如下方案测量清风阁的高度，下面是他们实践报告的部分内容：活动主题测量清风阁的高度测量工具卷尺、测角仪方案设计第一步：在A处使用测角仪测得清风阁顶部点C的仰角的度数；第二步：沿着方向走到E处，用度尺测得的长；第三步：在E处使用相同高度的测角仪测得清风阁顶部点C的仰角的度数．说明：地面上的点A，E，D在同一水平直线上，，表示测角仪，表示清风阁的高，、、均与垂直．测量数据，，，参考数据，，，，，．备注测量过程中注意安全及保护文物不被破坏请根据该小组的报告计算清风阁的高度（结果保留整数）．【答案】清风阁的高度为42米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．延长交于H，设，则米，然后在和中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．【详解】解：延长交于H，如图，设米，∵米，∴，∵米，∴米，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴解得，∴米，∴米．七、（本题满分12分）22.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C．（1）若点C坐标为．①求抛物线的函数表达式；②点P为该抛物线上一动点，过点P且与x轴垂直的直线交线段于D，交x轴于E．若，求点P的横坐标；（2）设，经过B，C两点的直线为，当x为何值时，函数取最小值？【答案】（1）