二项式定理十大典型例题纯版

1、1 .二项式定理:(a十b)n=C：an十C：anb中|十C：an-br+|+C：bn(nwN冲)，2 .基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式。二项式系数：展开式中各项的系数Cnr(r=0,1,2,n).项数：共(r+1)项，是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第r十1项C；anbr叫做二项式展开式的通项。用TT=C；anbr表示。3 .注意关键点：项数：展开式中总共有(n+1)项。顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a+b)n与(b+a)n是不同的。指数：a的指数从n逐项减到0,是降哥排列。b的指数从0逐项减到n,是升哥排列。各项的次数和等于n.系数：

2、注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C0,Cn,C2,.jC；,C：.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。4 .常用的结论：令a=1,b=x,(1+x)n=C：+C:x+Cjx2+IH+C：x十川+C：xn(nwN*)令a=1,b=x,(1-x)n=C；C：x+C：x2IH+C：x+|11+(-1)nC；xn(n=N*)5 .性质:二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即c0_cnk_ckCn-Cn?Cn-Cn二项式系数和：令a=b=1,则二项式系数的和为C0+C：+C：+C；+III+C；=2n,变形式C：+C；+IH+C：+|ll+C：=2n-1

3、o奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a=1,b=-1,则C0C：+C：C；+IH+(-1)nC；=(11)n=0,从而得到,C0C2C4C2r=C1C3C2r1-=-2n=2n,nnnnnnn2奇数项的系数和与偶数项的系数和:n0n01nJ2n_22n0n12n(ax)=CnaxCna_xCna_x|Cnax=a0alxa2x|anxn00n1nle22n2nn0n21(xa)=CnaxCnax-Cnax一|Cnax=anx|a2xa1xa0令x=1,贝1Ja0+a+a2+a3“|+an=(a+1)n令x=1，贝1Ja0-a1+a2-a3+|l+an=(a1)n+得

4、，a。+a2+a/|+an=（a上支士二11（奇数项的系数和）2得，a1+a3+a51H+an=包口二1月二!上（偶数项的系数和）2n二项式系数的最大项：如果二项式的哥指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数Cn2取得最大值。nJ如果二项式的哥指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数Cn2,n1Cn同时取得最大值。系数的最大项：求（a+bx）n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别一一，入一村一为A，A2，A书，设第r+1项系数最大，应有，从而解出r来。A.1.A.2题型一：二项式定理的逆用；例：C：+C：6+C；62+|+26n=.解：(1+6)n=C；+C：6+C；62+

5、C363+IH+C：6n与已知的有一些差距，c1.c2公.c32nn_l、_1,122nnCnCn6Cn6Cn6-一(Cn6Cn6Cn6)6=1(C：C；6C：62C：6n-1)=:(1-6)n-1=(7n-1)666练：C3C290；I卜3n，C；=.解：设Sn=C：+3C；+9C；+111+3n/C：,则QQ01&.02&23Q3nQn01Q.C2Q23Q3nQnn3s=Cn3Cn3Cn3Cn3=CnCn3Cn3Cn3Cn3-1=(13)-1.Sn(13)n-14n-1题型二：利用通项公式求xn的系数;例：在二项式（，1+夕）n的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有x3的项的系数？解：由

6、条件知C；n=45,即C；=45,工n2n90=0,解得n=9（舍去）或n=10,由12工2r10-r2T1=C；0（x4）10（x3）r=Cir0x43,由题意-_+*r=3,解得r=6,43则含有x3的项是第7项T6+=6/=210x3,系数为210。2219.9.一练：求（x2L）9展开式中x9的系数？2x解：Tt=C；（x2）9,（工）r=C；x182（）rx=C9（）rx,令183r=9,则2x22r=3拓9,一，31321故x的系数为C9（-）=一一。22一.2求二项式（x-10一一的展开式中的常数项?题型三：利用通项公式求常数项;解:Tr120“520-5rr=0(2)2例:，5

7、八c令20r=0,得r=8,所以2T9士拈8噎练:求二项式（2x-2x）6的展开式中的常数项?解:T4=(-1)3C；=一20练：若(x2+1)n的二项展开式中第5项为常数项，则n=.x5_4.2.n4.1.442n12解：T5=Cn(x)-(一)=CnX-，令2n12=0,得n=6.X题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式(JX-次)9展开式中的有理项？1。 -四27-r解：噂=C9r(x2)(x3)r=(1)C；x6，令wz,(04r9)得r=3或r=9,6一27-r所以当r=3时，=4,T4=(1)3C；x4=84x4,6当r=9时，27=3,%=(1)3C；x3=x3

8、。6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若(W2-L)n展开式中偶数项系数和为-256,求n.、32/x解：设(JJ-3了展开式中各项系数依次设为a0,a1,an,3x2令x=-1,则有a0+a+an=0,，令x=1,则有a。-a1+a2-+(-1)3=2“将-得：2(a1+a3+a5+)=-2n,二a+a3+a5+=-2na,有题意得，2n=-256=28,二n=9。练:的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。解：CC：+Cn2+C：七2r+.=&+C；+,，,+*+=2n，二2n=1024,解得n=11所以中间两个项分别为n=6,n=7,丁5噂=C；(

9、产)6(5p2)5=462，61T61=462x75题型六：最大系数，最大项；例：已知(+2x)n,若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展2开式中二项式系数最大项的系数是多少?解：；C：+C；=2C；,二n221n+98=0，解出n=7或n=14,当n=7时，展开式中二314335项式系数最大的项是T4和T5T4的系数=1）423=35,22T5的系数=C；（2）324=70,当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8,二丁8的系数=C；4（2）727=3432。练：在（a+b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的哥指数是偶数2n,则中间一项的二项式

10、系数最大，即t2n=Tn书，也就是第12n+1项。.X1n_练：在（一-币=）的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？23x解：只有第5项的二项式最大，则-+1=5,即n=8,所以展开式中常数项为第七项等于2C；（1）2=72练：写出在（a-b）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的哥指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4=-C；a4b3的系数最小，T5=C；a3b4系数最大。1n练：若展开式前三项的二项式系数和等于79,求（+2x）的展开式中系数最大的项？2.n11一一一一.I*1仆1dOdo解：由Cn

11、+Cn+Cn=79，解出n=12.假a一项最大，%+2x）=（衣（1+4x）A,1一AAr1一Ar2Cr4r_Cr,4=1212.，化简得到9.4ErE10.4,又；0Mr12,C；24rdr1:r=10,展开式中系数最大的项为T11，有T11=(1)12Ci1；410x10=16896x102练：在（1+2x）10的展开式中系数最大的项是多少?解：假设Tr4项最大，；Tt=C；02rxr解得J.2(11-r)-r，4,化简得到r1-2(10-r)Ar.1-Ar=C；02r-C；042TAr.1.Ar2C；02r_C1012rI6.3k22C0(-1)0=-6.练：求(1+皈)6(1+十)10

12、展开式中的常数项.mn4m_3n解：(1+次)6(1+3)10展开式的通项为CxG0xF=C：G0，xF.xm=0,工m=3,工m=6其中m=0,1,2,6,n=0,1,2,10，当且仅当4m=3即或或n=0,n=4,n=8,时得展开式中的常数项为C：C100-C：C10C：C80=4246.练：21已知(1+x+x)(x+3)的展开式中没有吊数项，nwN且2MnM8MJn=.x解：院十工厂展开式的通项为C：，xn.xnCn，xnA,通项分别与前面的三项相乘可得xCn父卬。；/卬*。；，x2r也；展开式中不含常数项,2n8:.n#4r且n44r+1且n#4r+2,即n=4,8且n3,7JLn2

13、,6,，n=5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在(x-J5)2006的二项展开式中，含x勺奇次幕的项之和为s,当x=V2时,s=.解：设（乂一物2006=%+a1x1+a2x2+a3x3+|+a2006x200620061232006（x2）=a0-a1xa?x-a3xa2006x-得2(a1x+%x3+a5x5+|+ax2005)=(x-扬2006-(x+扬2006，(x-J2)2006展开式的奇次曷项之和为S(x)(x-扬2006-(x+扬2006232006当x=.2时,S(、5)(.5-2)2006-卜2-.2)2006=-2二=-2300822题型十：赋值法；1例：设二

14、项式(3我+一)的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的和为s,若xp+s=272,则n等于多少?Q1解：右（3衣+）=a0+ax+a2x+anx，有P=a0+a1+an,x令x=1得P=4n,又p+s=272，即4n+2n=272=(2n+17)(2n16)=0解得2n=12n=17(舍去)，,n=4.练：若13x-的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为多少？x(_1T解：令x=1,则3，x-的展开式中各项系数之和为2n=64,所以n=6,则展开x式的常数项为c3(3G)3(-1)3-540.练：若(1-2x)2009=a0+ax1+a2x2+a3x3+|(+a2009x200

15、9(xwR),则2+a|+学需的值为222解.令x=1可得an+电+也+%=0.亘+a2+如=_anx2，a。22222009122222009a0在令x=0可彳#a=1，因而a|f-|=-1.练：若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x1+a0,贝S1+a2+a3+a4+a5=.解：令x=03a0=32，令x=1得%十a1+a2+徭+a4+a=-1,a1a2a3a4a5=31.题型十一：整除性；例：证明：32nd2-8n-9(n=N*)能被64整除证：32n2-8n-9=9n1-8n-9=(81)nd-8n-9=C；+8+C：*8n+-+第登2+C：由81+Cn；-8n

16、-9=C：+8n+C：*8n+Cnn；82+8(n+1)+1-8n-9=*6+*8-+2；82由于各项均能被64整除二32ne-8n-9(nwN*)能被64整除1、(x1)11展开式中x的偶次项系数之和是1、设f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是f(1)+f(1)=(2)11/2=-102422、C：+3C；+32C2+十3nC：=2、2、4n3、(3/5+1=)2的展开式中的有理项是展开式的第项.53、3,9,15,2154、(2x-1)展开式中各项系数绝对值之和是4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1,则5所求和为3.5、求(1+

17、x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数*5、(1+x+x2)(1-x)10=(1-x3)(1-x)9,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项C；(x)4作积，第一个因式中的一x3与(1-x)9展开式中的项C；(x)作积，故x4的系数是C9+C：=135.6、求(1+x)+(1+x)2+-+(1+x)10展开式中x3的系数.6、(1+x)+(1十x)2十(1十x)10J1+x)1-(1+x)10=(x+1)11-(x+1),原式中1-(1x)x实为这分子中的x4,则所求系数为C；17、若f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m.nWN)展开式中，x的系数为21,问m

18、n为何值时，2.x的系数最小？22222222123997、由条件得m+n=21,x的项为Cmx+C：x，则Cm+Cn=(n)+.因nCN,242.故当n=10或11时上式有取小值，也就是m=11和n=10,或m=10和n=11时，x的系数取小8、自然数n为偶数时，求证：1+2C；+C；+2C；+C：十.一十2C：,+Cn=3,2n工012n4n135n1nn4n48、原式=(Cn+Cn+Cn+Cn+Cn)+(Cn+Cn+Cn+Cn)=2+2=3.2_r、11.9、求80被9除的余数9、8011=(81_1)11=C1018T1.C111811c0081_1=81k1(kZ),11一一-kZ,9k-1CZ,81被9除余&10、在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系