第二章 误差与不确定度

1、第二章第二章 误差与不确定度误差与不确定度 本章要点：本章要点： u误差的概念与表示方法误差的概念与表示方法 u随机误差、系统误差和粗大误差的特性和处理方法随机误差、系统误差和粗大误差的特性和处理方法 u测量不确定度的概念和评定方法测量不确定度的概念和评定方法 u 测量数据处理的方法测量数据处理的方法 本章是测量技术中的基本理论。本章是测量技术中的基本理论。 2.1 2.1 误差的概念与表示方法误差的概念与表示方法 误差误差= =测量值测量值- -真值真值 例如，在电压测量中，真实电压例如，在电压测量中，真实电压5V5V，测得的电压为，测得的电压为5.3V5.3V，则，则 误差误差= 5.3V

2、 - 5V = +0.3V = 5.3V - 5V = +0.3V 真值真值为为“表征某量在所处的条件下完善地确定的量值表征某量在所处的条件下完善地确定的量值”。真值真值是一个理想的概念。真值客观存在，却难以获得。是一个理想的概念。真值客观存在，却难以获得。 2.1.1 2.1.1 测量误差测量误差 例如：现在是什么时间？例如：现在是什么时间？ 能准确地报出北京时间吗？能准确地报出北京时间吗？1.误差的概念误差的概念和在和在JJF1001-2011JJF1001-2011通用计量学术及定义通用计量学术及定义技术规范技术规范中，将中，将“测量误差测量误差”定义为：定义为：在在国际计量学词汇国际计

3、量学词汇-通用基本概念及相通用基本概念及相关术语关术语（VIMVIM）20062006第第3 3版中：版中：测量误差测量误差=测得量值测得量值- -参考量值参考量值巧妙地采用巧妙地采用“参考量值参考量值”这个词，准确这个词，准确合理地摆脱合理地摆脱“真值真值”的困惑！的困惑！实际上对实际上对“参考量值参考量值”的应用通常是用以下三种办法的应用通常是用以下三种办法 “参考量值参考量值”可由理论（或定义）给出可由理论（或定义）给出例例1 1：三角形内角和为三角形内角和为180180度度 由国际计量统一定义给出（例如秒的定义为铯原由国际计量统一定义给出（例如秒的定义为铯原子能级跃迁子能级跃迁9192

4、6317709192631770个周期的持续时间为个周期的持续时间为1 1秒）。秒）。 1s=91926317701s=9192631770周期周期=31+121+121+29+29+=181用量角器分别量得三内角为：用量角器分别量得三内角为：+ +误差误差=181-180=1=181-180=1例例2 2：秒的定义秒的定义 用用“约定真值约定真值” 作为作为“参考量值参考量值” 用用“不确定度不确定度” 评定测量结果评定测量结果实际测量中常把高一等级的计量标准测得的实际实际测量中常把高一等级的计量标准测得的实际值作为真值使用。值作为真值使用。“实际值实际值”“”“约定真值约定真值”。 在本章

5、第在本章第2 2、3 3 、 4 4 、 5 5节中讨论误差时是节中讨论误差时是基于基于“约定真值约定真值”己知的条件下进行的。己知的条件下进行的。 在本章第在本章第6 6节中详细讨论。逆向思维，回避真值，节中详细讨论。逆向思维，回避真值，研究不能确定的程度。例如用卷皮尺量长度，不研究不能确定的程度。例如用卷皮尺量长度，不能确定的范围在毫米量级，而用游标卡尺测量，能确定的范围在毫米量级，而用游标卡尺测量，不能确定的范围在微米量级。不能确定的范围在微米量级。2.2.基本术语基本术语测量仪器的测量仪器的示值示值-测量仪器所给出的量的值。测量仪器所给出的量的值。 也称测量值、测得值。也称测量值、测得

6、值。尽量不要用具体数量来说准确度。例如：准确度尽量不要用具体数量来说准确度。例如：准确度10 mV10 mV只能用某一等级或范围来描述，例如：某电流表为只能用某一等级或范围来描述，例如：某电流表为1 1级表级表（准确度（准确度1%x x , x , 故常用故常用x x方便方便测量值相对误差测量值相对误差 x x与满度相对误差与满度相对误差S%S%的关系：的关系： xxxxxxx xxxxm mm mm mx xm mm m= = 1 10 00 0% %= = 1 10 00 0% %= = 1 10 00 0% %= = S S% %xxm mx x= =S S% %测量值测量值x x靠近满

7、量程值靠近满量程值x xmm相对误差小相对误差小电工仪表将满度相对误差分为七个等级：电工仪表将满度相对误差分为七个等级： 等级等级0.10.10.20.20.50.51.01.01.51.52.52.55.05.0S%S%0.1%0.1%0.2%0.2%0.5%0.5%1.0%1.0%1.5%1.5%2.5%2.5%5.0%5.0%例：检定量程为例：检定量程为1000A1000A的的0.20.2级电流表，在级电流表，在500A500A刻度刻度上标准表读数为上标准表读数为499A499A，问此电流表是否合格？，问此电流表是否合格？ 解：解： x x0 0=499A =499A x x=500A

8、=500A x xmm=1000A=1000A%2 . 0%1 . 0%1001000499500%1000mmxxx故在此刻度处合格故在此刻度处合格2.1.3 2.1.3 误差按性质分类误差按性质分类随机误差随机误差 系统误差系统误差 粗大误差粗大误差 随机误差随机误差-不可预定方式变化的误差（同不可预定方式变化的误差（同随机变量随机变量）系统误差系统误差-按一定规律变化的误差按一定规律变化的误差粗大误差粗大误差-显著偏离实际值的误差显著偏离实际值的误差在国家计量技术规范在国家计量技术规范通用计量术语及定义通用计量术语及定义（JF1001-1998）中，系统误差定义为：）中，系统误差定义为：

9、“在重复性条在重复性条件下，对同一被测量无限多次测量所得的结果件下，对同一被测量无限多次测量所得的结果的平均值与被测量的真值之差的平均值与被测量的真值之差。”用用表示系统误表示系统误差，即差，即 1. 系统误差系统误差0Ax （2.112.11）1211()nniix xxxxnnn （2.122.12） 为无限多次测量结果的平均值（概率论中的数学期为无限多次测量结果的平均值（概率论中的数学期望），这里简称为望），这里简称为总体均值总体均值。 x在国家计量技术规范在国家计量技术规范通用计量术语及定义通用计量术语及定义（JG10011998）中，随机误差定义为：）中，随机误差定义为：“测量结果与

10、测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差所得结果的平均值之差。”用用表示随机误差，即表示随机误差，即 2. 随机误差随机误差xxii随机误差定义表示：在重复性条件下（指在测量环境、测量随机误差定义表示：在重复性条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器相同的条件下），每次测量误差人员、测量技术和测量仪器相同的条件下），每次测量误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化的误差，简称随差。的绝对值和符号以不可预知的方式变化的误差，简称随差。（2.132.13）3. 粗大误差粗大误差在一定条件下，在一定条件下，测量值显

11、著偏离其真值（或约定测量值显著偏离其真值（或约定真值）所对应的误差，称为粗大误差真值）所对应的误差，称为粗大误差。 粗大误差产生原因：主要是粗大误差产生原因：主要是 读数错误读数错误 测量方法不对测量方法不对 瞬间干扰瞬间干扰 仪器工作不正常等。仪器工作不正常等。对粗大误差的处理通常是对粗大误差的处理通常是按一定的法则进行剔除。按一定的法则进行剔除。 4. 4. 三种误差的关系三种误差的关系 系统误差系统误差 小，准确度高小，准确度高 A A或或A AX Xi iX Xi i随机误差随机误差 小小 ，精密度高，精密度高 A AA A或或X Xi i系统误差和随机误差都较小，称精确度高系统误差和

12、随机误差都较小，称精确度高 A A或或X Xi iX Xi i x= x= + + + ( + (粗大误差粗大误差) )首先剔除去首先剔除去定性的概念：定性的概念：定量的概念：定量的概念： 000iiiixxAxxxAxxxA 上式表示误差等于随机误差和系统误差相加的关系。图上式表示误差等于随机误差和系统误差相加的关系。图2.2给给出了这些误差之间关系的示意图。出了这些误差之间关系的示意图。由（由（2.1）式误差的定义：）式误差的定义：定量的概念：定量的概念：2.2 2.2 随机误差随机误差 2.2.1 2.2.1 定义与性质定义与性质 随机误差随机误差定义定义：在等精度测量下，误差的绝对值在

13、等精度测量下，误差的绝对值和符号都是不定值，称为随机误差，也称偶然误差、和符号都是不定值，称为随机误差，也称偶然误差、或然误差，简称随差。或然误差，简称随差。 随机误差概念随机误差概念-不可预定方式变化的误差（同随机不可预定方式变化的误差（同随机变量）变量）xxii举例：举例：对一电阻进行对一电阻进行n n=100=100次等精度测量次等精度测量表表 2.22.2 按大小排列的等精度测量结果按大小排列的等精度测量结果 测量值测量值x xi i（ ）相同测值出现次数相同测值出现次数mmi i相同测值相同测值出现的概率出现的概率P Pi i=m=mi i/n/n9.959.952 20.020.0

14、29.969.964 40.040.049.979.976 60.060.069.989.9814140.140.149.999.9918180.180.1810.0010.0022220.220.2210.0110.0116160.160.1610.0210.0210100.100.1010.0310.035 50.050.0510.0410.042 20.020.0210.0510.051 10.010.01将表将表2.22.2中数据画成直方图中数据画成直方图P P( (x x) ) x x0 0 随机误差性质：服从随机误差性质：服从正态分布正态分布，具有以下，具有以下4 4个特性个特性：

15、 对称性对称性绝对值相等的正误差与负绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等；误差出现的次数相等； 单峰性单峰性绝对值小的误差比绝对值绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多；大的误差出现次数多； 有界性有界性绝对值很大的误差出现的绝对值很大的误差出现的机会极少，不会超出一定的界限；机会极少，不会超出一定的界限； 抵偿性抵偿性当测量次数趋于无穷大，当测量次数趋于无穷大，随机误差的平均值将趋于零。随机误差的平均值将趋于零。 2.2.2 2.2.2 随机误差的统计处理随机误差的统计处理 随机误差与随机变量的类同关系随机误差与随机变量的类同关系 1.1.数学期望数学期望 设设x x1 1，x x2

16、2，x xi i，为离散型随机变量为离散型随机变量X X的可能取值，相应的可能取值，相应概率为概率为p p1 1，p p2 2，p pi i，其级数和为其级数和为 若若 绝对收敛，则称其和数为数学期望，记为绝对收敛，则称其和数为数学期望，记为E E( (X X) ) iipxiiipxXE1)(1iipx x1 1p p1 1+ +x x2 2p p2 2+x xi ip pi i+= += iiipx1在统计学中，在统计学中， 期望与均值是同一概念期望与均值是同一概念1211nniixxxxxnn算术平均值算术平均值与被测量的真值最为接近，由概率论的大数定律与被测量的真值最为接近，由概率论的

17、大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值可知，若测量次数无限增加，则算术平均值 x必然趋于必然趋于实际值实际值。 2.2.方差、标准差方差、标准差方差是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值。方差是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值。 随机变量随机变量X X的方差为的方差为X X与其期望与其期望E E（X X）之差的平方的期望，）之差的平方的期望，记为记为D D（X X），即），即 2D( )=E -E(X) XX例：两批电池的测量数据例：两批电池的测量数据 n nX X0 0X Xx xi in nX X0 0X Xx xi i误差离散性小误差离散性小误差离散性大误差离散性

18、大测量中的随机误差也用方差测量中的随机误差也用方差 )(2x来定量表征：来定量表征： n22ii=11 (x)=(x -x)n式中式中 i( - )x x是某项测值与均值之差，称为是某项测值与均值之差，称为剩余误差剩余误差或或残差残差，记作记作 ii=( - )v x x。将剩余误差平方后求和平均，扩大了。将剩余误差平方后求和平均，扩大了离散性，故用方差来表征随机误差的离散程度。离散性，故用方差来表征随机误差的离散程度。标准差标准差方差的量纲是随机误差量纲的平方，使用不方便。为了与随机方差的量纲是随机误差量纲的平方，使用不方便。为了与随机误差的量纲统一，常将其开平方，用标准差或均方差表示，记误

19、差的量纲统一，常将其开平方，用标准差或均方差表示，记作作n2ii=11=(x -x)n（2.162.16） 应当指出，剩余误差应当指出，剩余误差 i i应包含系统误差应包含系统误差 和随机误差和随机误差 i i，因这里，因这里只讨论随机误差，故认为系统误差已消除，即只讨论随机误差，故认为系统误差已消除，即 Vx xiiii=+ = = -正态分布正态分布 在概率论和误差理论的研究中，已充分论证了绝大多数随机误差在概率论和误差理论的研究中，已充分论证了绝大多数随机误差的分布规律都可以用正态分布来描述，正态分布的概率密度函数的分布规律都可以用正态分布来描述，正态分布的概率密度函数为正态分布为正态分

20、布 221-(x-)p(x)=exp22当知道正态分布的两个基本参数：算术平均值当知道正态分布的两个基本参数：算术平均值 x和标准差和标准差 ，该，该正态分布的曲线形状则基本确定。正态分布的曲线形状则基本确定。 P P( (x x) ) x x0 0给出了给出了 x = 0时，三条不同标准差的正态分布曲线：时，三条不同标准差的正态分布曲线： 123 。标准差小，曲线尖锐，说明测量误差小的数据。标准差小，曲线尖锐，说明测量误差小的数据占优势大，即测量精度高。占优势大，即测量精度高。x x( ( ) )0 0 1 1 2 2 3 3 1 12 23 3本书附录本书附录A A给出了正态分布在对称区间

21、的积分表。其中给出了正态分布在对称区间的积分表。其中xx xxxx-E( )-Z=( )( )ak=（2.182.18）式中式中k k为为置信因子置信因子，a a为所设的区间宽度的一半。为所设的区间宽度的一半。 K=1K=1时，时， K=2K=2时，时， K=3K=3时，时， P P( (x x ) ) 0 0. .6 68 82 27 7图图2.7 2.7 正态分布下不同区间出现的概率正态分布下不同区间出现的概率P(|x|2)P(|x|2)0.9545P(|x|3)P(|x|3)0.9973 2.2.3 2.2.3 有限次测值的算术平均值和标准差有限次测值的算术平均值和标准差 上述正态分布是

22、（上述正态分布是（n n）下求得的，但在实际测量中只能进行）下求得的，但在实际测量中只能进行有限次测量有限次测量1.1.有限次测量的算术平均值有限次测量的算术平均值 对同一量值作一系列等精度独立测量，其测量列中的全部测量对同一量值作一系列等精度独立测量，其测量列中的全部测量值的算术平均值与被测量的真值最为接近。值的算术平均值与被测量的真值最为接近。 设被测量的真值为设被测量的真值为 ，其等精度测量值为，其等精度测量值为x x1 1，x x2 2，x xn n，则，则其算术平均值为其算术平均值为 n12nii=111x= (x +x +.+x )=xnn由于由于 x的数学期望为的数学期望为 ，故

23、算术平均值就是真值，故算术平均值就是真值 的无偏估计值。的无偏估计值。实际测量中，通常以算术平均值代替真值。实际测量中，通常以算术平均值代替真值。2.2.有限次测量数据的标准差有限次测量数据的标准差贝塞尔公式贝塞尔公式 上述的标准差是在上述的标准差是在n n的条件下导出的，而实际测量的条件下导出的，而实际测量只能做到有限次。当只能做到有限次。当n n为有限次时，可以导出这时为有限次时，可以导出这时标准差为标准差为 xx xn2ii=11s( )=( - )n-1这就是贝塞尔公式。由于推导中不够严密，故这就是贝塞尔公式。由于推导中不够严密，故 )(xs被称为被称为标标准差的估值，也称实验标准差。

24、准差的估值，也称实验标准差。3.3.平均值的标准差平均值的标准差 在有限次等精度测量中，如果在相同条件下对同一量值分在有限次等精度测量中，如果在相同条件下对同一量值分mm组组进行测量，每组重复进行测量，每组重复n n次测量，则每组数列都会有一个平均值，次测量，则每组数列都会有一个平均值，由于随机误差的存在，这些平均值并不相同，围绕真值有一定由于随机误差的存在，这些平均值并不相同，围绕真值有一定分散性。这说明有限次测量的分散性。这说明有限次测量的算术平均值还存在着误差算术平均值还存在着误差。当需。当需要更精密时，应该用算术平均值的标准差要更精密时，应该用算术平均值的标准差 x来评价。来评价。 已

25、知算术平均值已知算术平均值 x为为 n m 1 2 m n m 1 2 m 1 1 x x11 11 x x21 21 x xm1m1 2 2 x x1212 x x22 22 x xm2m2 . . . . n n x x1n1n x x2n2n x xmnmn 1( )s x1x2( )s x( )ms x2xs( )s( )=nxxmxmiixmx1_1在概率论中有在概率论中有“几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量方差之和随机变量方差之和”的定理，可进行下面推导的定理，可进行下面推导)()()()(222212xxxxn )(1)(1)

26、(2222xnxnnxnxx)()(因因 故有故有 所以所以 )(.)()(1)(1)1()(222122122122nniiniixxxnxnxnx当当n n为有限次时，用标准差的估值即可，则为有限次时，用标准差的估值即可，则 nxsxs)()(（2.212.21） 结论结论：（：（2.212.21）式说明，算术平均值的标准差是任意一组）式说明，算术平均值的标准差是任意一组n n次次测量样本标准差的测量样本标准差的 n分之一。即算术平均值的标准差估值分之一。即算术平均值的标准差估值 )(xs比样本标准差的估值比样本标准差的估值 )(xs小小 n倍，倍， 表明了各组平均值再平均以后数值更集中了

27、。这是由于随机误表明了各组平均值再平均以后数值更集中了。这是由于随机误差的抵偿性，测量次数越多，抵消程度越大，平均值离散程度差的抵偿性，测量次数越多，抵消程度越大，平均值离散程度越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据。所越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据。所以，用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差。以，用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差。意义意义：（：（2.212.21）式给实际测量带来了方便，人们只要测量一组）式给实际测量带来了方便，人们只要测量一组数据，求得标准差，将其除以数据，求得标准差，将其除以 ，则相当于得到了多组数据，则相当于得到了多组数据n的

28、算术平均值的标准差。的算术平均值的标准差。归纳归纳：有限次测值的算术平均值和标准差有限次测值的算术平均值和标准差计算步骤：计算步骤：(1)(1)列出测量值的数据表列出测量值的数据表 (2)(2)计算算术平均值计算算术平均值 1211nniix xxxxnn ()iivxx221111( )()11nniiiis xxxnn(3)(3)残差残差 (4)(4)标准差的估计值标准差的估计值（实验标准差）（实验标准差） ( )( )s xs xn(5)(5)算术平均值标准差的估计值算术平均值标准差的估计值 例例2.62.6 对某信号源的输出频率进行了对某信号源的输出频率进行了8 8次测量，得测量值次测

29、量，得测量值 ix的序列的序列( (见表见表2.3) 2.3) 。求测量值的平均值及标准偏差。求测量值的平均值及标准偏差。 表表2.3 2.3 例例2.62.6所用数据所用数据iv序号序号1 12 23 34 45 56 67 78 8x xi i (kHz)(kHz)1000.1000.82821000.1000.79791000.1000.85851001000.340.341001000.780.781001000.90.91 11001000.760.761001000.80.82 20.060.060.030.030.090.09- -0.420.420.020.020.10.15

30、50.000.000.00.06 6解解: (1): (1)平均值（注意平均值（注意, ,这里采用的运算技巧）这里采用的运算技巧） nii=110.01x=x =1000+(82+79+85+34+78+91+76+82)=1000.76kHzn82110.2155( )0.17517inis xvn(2)(2)用公式用公式 xxvii计算各测量值残差列于表计算各测量值残差列于表2-32-3中中(3)(3)标准差估值标准差估值 (4)(4) x的标准偏差的标准偏差 因整数位不变因整数位不变kHzkHznxsxs062. 08175. 0)()(_例例2.152.15 对某直流稳压电源的输出电压

31、Ux进行了10次测量，测量结果如下：求输出电压Ux的算术平均值及其标准偏差估值005. 50054. 5)7110941526113(101001. 0000. 5101iU解：解：U Ux x的算术平均值的算术平均值 残差残差 次数次数12345678910电压电压/V5.0035.0115.0064.9985.0154.9965.0095.0104.9995.007 残差残差(103V)-2.45.60.6-7.49.6-9.43.64.6-6.41.6V1012)(91)(iUUiUs101232222222222)10(6 . 1)4 . 6(6 . 46 . 3)4 . 9(6 .

32、9)4 . 7(6 . 06 . 5)4 . 2(91i10123)10(56. 296.4016.2196.1236.8816.9276.5736. 036.3176. 591iV006. 00062. 0104 .353916标准偏差估值标准偏差估值 2.2.4 2.2.4 测量结果的置信度测量结果的置信度 1.1.置信置信度度与置信与置信区间区间 ( (百分比百分比) ) ( (范围范围) ) 置信度置信度（置信概率）就是用来描述测量结果处于某一（置信概率）就是用来描述测量结果处于某一范围范围内可内可靠程度的量，一般用百分数表示。靠程度的量，一般用百分数表示。 置信区间置信区间，即所选择

33、的这个范围，一般用标准差的倍数表示，即所选择的这个范围，一般用标准差的倍数表示，)(xk如如 给定给定2 2个标准差个标准差 )(2x范围内数据的可信度是百分之几？范围内数据的可信度是百分之几？条件：必须先知道测值的分布，才能讨论置信问题。条件：必须先知道测值的分布，才能讨论置信问题。 P(x)E(x)x0k(x)k(x)置信度置信度？%区间区间2.2.正态分布下的置信度正态分布下的置信度K=1K=1时，时， K=2K=2时，时， K=3K=3时，时， k k=3=3时，即在以时，即在以3 3倍标准差倍标准差3 3 区间内，随机误差出现的概率为区间内，随机误差出现的概率为99.73%99.73

34、%，而在这个区间外的概率非常小。，而在这个区间外的概率非常小。 图图2.7 2.7 正态分布下不同区间出现的概率正态分布下不同区间出现的概率68.3%68.3%95.4%95.4%99.7%99.7%P P( (x x ) ) 0 0. .6 68 82 27 7P(|x|2)P(|x|2)0.9545P(|x|3)P(|x|3)0.9973 3. t3. t分布下的置信度分布下的置信度 （n20n200n200） i3 3s s（x x） 2 2 格拉布斯检验法格拉布斯检验法（理论与实验证（理论与实验证明较好）明较好） 3 3 中位数检验法中位数检验法x xP P( (x x) )E E(

35、(x x) )0 0-3s-3s3s3s中位数中位数平均值平均值 大量统计表明，当数据列中没有粗大误差时大量统计表明，当数据列中没有粗大误差时 991991、996996、999999、10011001、10041004、10081008、10111011、10141014、1019 1019 8 .10049101910141011100810041001999996991maxGs G G查查p34p34表表2.62.6中位数中位数例例GSGSGSGS2.3.4 2.3.4 应用举例应用举例 例例 2.12 2.12 对某温度进行多次等精度测量，所得结果列于表对某温度进行多次等精度测量，所

36、得结果列于表2.72.7中，中，试检查数据中有无异常。试检查数据中有无异常。表表2.7 2.7 例例 2.122.12所用数据所用数据序号序号测得值测得值x xi i残差残差v vi i序号序号测得值测得值x xi i残差残差v vi i序号序号测得值测得值x xi i残差残差v vi i1 120.4220.42+0.016+0.0166 620.4320.43-0.026-0.026111120.4220.42+0.016+0.0162 220.4320.43+0.026+0.0267 720.3920.39-0.014-0.014121220.4120.41+0.006+0.0063 3

37、20.4020.40-0.004-0.0048 820.3020.30-0.104-0.104131320.3920.39-0.014-0.0144 420.4320.43+0.026+0.0269 920.4020.40-0.004-0.004141420.3920.39-0.014-0.0145 520.4220.42+0.016+0.016101020.4320.43+0.026+0.026151520.4020.40-0.004-0.004(1(1）莱特检验法莱特检验法 ： 从表中可以看出从表中可以看出x x8 8=20.30=20.30残差较大，残差较大，是个可疑数据，是个可疑数据，

38、 83 ( )s x80.104 故可判断故可判断x x8 8是异常数据，应予剔除。再对剔除后数据计算得是异常数据，应予剔除。再对剔除后数据计算得 其余的其余的1414个数据的个数据的 i均小于均小于 3 ( )s x ，故为正常数据。，故为正常数据。 404.20 x033. 0)(xs411.20 x016. 0)(xs3 ( )0.016 30.048s x 3 ( )0.033 30.0991s x （2 2）按）按格拉布斯检验法格拉布斯检验法 取置信概率取置信概率 P Pc c=0.99=0.99，以，以 n n=15=15查表查表2.62.6得得 GG=2.70=2.70G Gs=

39、2.7s=2.70.033=0.090.033=0.09 8，剔除，剔除x x8 8后重新计算判别，后重新计算判别，得得n n=14=14，p pc c=0.99=0.99下下GG值为值为 2 26666G GSS 2.66 2.66 0.016 0.016 0.040.04 可见余下数据中无异常值。可见余下数据中无异常值。 （3）按中位数法）按中位数法将表中数据进行排序得将表中数据进行排序得20.30, 20.39, 20.39, 20.40, 20.40, 20.40, 20.41, 20.42, 20.42, 20.43, 20.43, 20.43, 20.43该数列的中位数为：该数列的

40、中位数为：20.41算数平均值为：算数平均值为：20.404假设怀疑偏离中位数较大的假设怀疑偏离中位数较大的20.30为异常数据，将它剔除后，为异常数据，将它剔除后，剩下数据的中位数为：剩下数据的中位数为：20.415剩余数据的算数平均值为：剩余数据的算数平均值为：20.411中位数接近算数平均值，为正常数据。中位数接近算数平均值，为正常数据。 x(1)所有的检验法都是人为主观拟定的，所有的检验法都是人为主观拟定的，至今尚未有统至今尚未有统一的规定一的规定。这些检验法又都是以正态分布为前提的，当。这些检验法又都是以正态分布为前提的，当偏离正态分布时，检验可靠性将受影响，特别是测量次偏离正态分布

41、时，检验可靠性将受影响，特别是测量次数较少时更不可靠。数较少时更不可靠。(2)若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应逐个剔除，然后重新计算逐个剔除，然后重新计算(3)在一组测量数据中，在一组测量数据中，可疑数据应极少可疑数据应极少。否则，说明系统。否则，说明系统工作不正常。要对异常数据的出现进行分析，找出原因，不工作不正常。要对异常数据的出现进行分析，找出原因，不要轻易舍去异常数据而放过发现问题的机会。要轻易舍去异常数据而放过发现问题的机会。(4)上述三种检验法中，莱特检验法是以正态分布为依据的上述三种检验法中，莱特检验法是以正态分布为依据的，

42、测值数据最好，测值数据最好n200，若，若nABX BA 被测电池电压被测电池电压x x= =B B+ +A A=9+0.1=9.1V=9+0.1=9.1V测量误差为：测量误差为： =0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%=0.2%+0.05%0.2%0.2%采用微差法测量，测量误差主要决定于标准量的误差，采用微差法测量，测量误差主要决定于标准量的误差，测试仪表误差的影响被大大削弱。本例说明，用误差为测试仪表误差的影响被大大削弱。本例说明，用误差为5 5的电压表进行测量，可得的电压表进行测量，可得0.2%0.2%的测量精确度。的测量精确度。待测待测标准

43、标准（固定）（固定）A AB Bx x9V9V0.1V0.1VV V图图2.17 2.17 微差法测量微差法测量BAAABBBABXABXXABX2.4.4 2.4.4 等精度测量结果的数据处理（等精度测量结果的数据处理（重点重点） 当对某被测量进行等精度测量时，测量值中可能含有当对某被测量进行等精度测量时，测量值中可能含有系统误差、随机误差和粗大误差，应按下述基本步骤对系统误差、随机误差和粗大误差，应按下述基本步骤对测得的数据进行处理。测得的数据进行处理。1)1)对测量值进行修正，列出测量值对测量值进行修正，列出测量值x xi i 的数据表的数据表2)2)计算算术平均值计算算术平均值 3)3

44、)列出残差列出残差 4)4)按贝塞尔公式计算标准差的估值按贝塞尔公式计算标准差的估值 11niixxn()iivx x211( )1niis xn()()s xs xn5)5)按莱特准则按莱特准则 3 ( )is xmaxGs，或格拉布斯准则，或格拉布斯准则 ，检查和剔除，检查和剔除粗大误差；若有粗大误差，应逐一剔除粗大误差；若有粗大误差，应逐一剔除后，重新计算后，重新计算 和和s s，再判别直到无粗大误差；，再判别直到无粗大误差； x6)6)判断有无系统误差，如有应查明原因，修正或消除系判断有无系统误差，如有应查明原因，修正或消除系 统误差后重新测量；统误差后重新测量； 7)7)算术平均值标

45、准差的估计值算术平均值标准差的估计值8)8)写出最后结果的表达式，即写出最后结果的表达式，即 式中式中k k为置信因子。为置信因子。 )(xksxA例例2.142.14 对某电压进行对某电压进行1616次等精度测量，测量数据次等精度测量，测量数据x xi i中中已记入修正值，列于表已记入修正值，列于表2.82.8中。要求给出包括误差在内中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。的测量结果表达式。序号序号测量值测量值x xi i(V)(V) 残差残差v vi i残差残差v vi i序号序号测量值测量值x xi i(V)(V)残差残差v vi i残差残差v vi i1 1205.30205.300

46、.000.00+0.09+0.099 9205.71205.71+0.41+0.41+0.50+0.502 2204.94204.94-0.36-0.36-0.27-0.271010204.70204.70-0.60-0.60-0.51-0.513 3205.63205.63+0.33+0.33+0.42+0.421111204.86204.86-0.44-0.44-0.35-0.354 4205.24205.24-0.06-0.06+0.03+0.031212205.35205.35+0.05+0.05+0.14+0.145 5206.65206.65+1.35+1.35-1313205.2

47、1205.21-0.09-0.090.000.006 6204.97204.97-0.33-0.33-0.24-0.241414205.19205.19-0.11-0.11-0.02-0.027 7205.36205.36+0.06+0.06+0.15+0.151515205.21205.21-0.09-0.090.000.008 8205.16205.16-0.14-0.14-0.05-0.051616205.32205.32+0.02+0.02+0.11+0.11解：解：(1)(1)求出算术平均值求出算术平均值 30.205161161iixx(2)(2)计算计算 xxvii列于表中列于表

48、中, ,并验证并验证 01niiv(3)(3)计算标准偏差估值计算标准偏差估值: : 4434. 011611612iivs(4)(4)按莱特准则判断有无按莱特准则判断有无 3302. 13 svi查表中第查表中第5 5个数据个数据 sv335. 1565.2065x，视，视 为为粗大误差粗大误差, ,加以剔除，现剩下加以剔除，现剩下1515个数据。个数据。(5)(5)重新计算剩余重新计算剩余1515个数据的平均值个数据的平均值: : 21.205x重新计算重新计算 xxvii列于表列于表2.82.8中中, ,并验证并验证 10niiv。(6)(6)重新计算标准偏差重新计算标准偏差 27. 0

49、11511512iivs(7)(7)按莱特准则再判断按莱特准则再判断 81. 03 svi, ,现各现各 iv均小于均小于 3s则认为剩余则认为剩余1515个数据中不再含有粗大误差。个数据中不再含有粗大误差。 , ,(8)(8)对对 iv作图作图, ,判断有无变值系统误差，从图中可见判断有无变值系统误差，从图中可见无明显累进性或周期性系统误差。无明显累进性或周期性系统误差。残差图残差图(9)(9)计算算术平均值的标准偏差计算算术平均值的标准偏差: : (10)(10)写出写出测量结果表达式测量结果表达式: : 07. 015/27. 015/ ssx(205.2 0.2)xx x ksv (

50、(取置信系数取置信系数k=3) k=3) V2.5 2.5 误差的合成与分配误差的合成与分配 合成合成： 例：例： P PIU IU U U和和 I I如何影响如何影响 P P ？ I=U/R I=U/R U U和和 R R如何影响如何影响 I I ？ 方法：推导一个普遍适用的公式。方法：推导一个普遍适用的公式。 分项误差分项误差合成合成分配分配总合误差总合误差2.5.1 2.5.1 测量误差的合成测量误差的合成 1 1 误差传递公式误差传递公式 设设 )(21xxfy，若在若在 )(20100 xxfy，附近各阶偏导数存在，则可把附近各阶偏导数存在，则可把y y展为展为泰勒级数泰勒级数 )(

51、21xxfy，1020110220110110220220122222222212() ()()1()2() ()() 2fff xxx xxxxxfffx xx xxxxxxx xx ，！)()(20221011xxxxxx及分别表示分别表示x x1 1及及x x2 2分项的误差，由于分项的误差，由于 1122xxxx及的中高阶小量，则总合的误差为的中高阶小量，则总合的误差为 ，略去泰勒级数，略去泰勒级数221120100)(xxfxxfxxfyyyy，同理，当总合同理，当总合y y由由mm个分项合成时，可得个分项合成时，可得mmxxfxxfxxfy2211jmjjxxfy1 绝对误差的传递

52、公式绝对误差的传递公式 例例方案方案1 1方案方案2 2 方案方案3 3解：解：方案方案1 1：用公式：用公式P PI IU UUIIUUUPIIPP则算得功率的相对误差为则算得功率的相对误差为VIpUIUIUIIUPPP P= =IUIU=U=U2 2/R/R=I=I2 2R R方案方案2 2：用公式：用公式 P P= =U U2 2R R 222RRURUURRPUVPP则则 RURRURURUUPPp2222222VRURUR=求导求导方案方案3 3：用公式：用公式 P PI I2 2R R RIIIRRRPIIPP22RIpRRIIRIRIRIIIRPP222222则则 相对误差相对误

53、差方法方法1 1jmjjyxxffyy11方法方法2：用对数求导数用对数求导数 1ln yyyjjdxfdfdxdfln/jmjjyxxf1ln 相对误差传递公式相对误差传递公式方案方案2 2： 2UpR用用相对误差传递公式相对误差传递公式 lnP=2lnU-lnRlnP=2lnU-lnR(2lnln )(2lnln )22pVRURURURURURUR 若若 ),(21mxxxfy 的函数关系为和、差关系时，的函数关系为和、差关系时，常先求总合的绝对误差，若函数关系为积、商或乘常先求总合的绝对误差，若函数关系为积、商或乘方、开方方、开方关系时，常先求总合的相对误差比较方便。关系时，常先求总合

54、的相对误差比较方便。 y=xy=x1 1+x+x2 2-x-x3 3321xxxy 12mnyxx xLCf210用哪种方法求相对误差方便？用哪种方法求相对误差方便？2 2 系统误差的合成系统误差的合成： 由误差传递公式，易求得确定性系统误差的合成值。由误差传递公式，易求得确定性系统误差的合成值。mmxxfxxfxxfy 2211一般地，各分项误差一般地，各分项误差 x x由系统误差由系统误差 及随机误差及随机误差 构成，构成，)()()(222111mmmxfxfxfy 若随机误差可以忽略，总的系统误差若随机误差可以忽略，总的系统误差 y y可由各分项系统可由各分项系统误差合成误差合成 jm

55、jjyxf13.3.随机误差的合成随机误差的合成 )(1jjmjjyyxfy若各分项的系统误差为零，则总的随机误差为若各分项的系统误差为零，则总的随机误差为 jmjjyxf1随机误差应由方差或随机误差应由方差或 标准差表征：标准差表征：2221()mjjfyxxj（ ）（ ）确定性误差是按代数形式合成：确定性误差是按代数形式合成：随机误差的方差是按几何形式随机误差的方差是按几何形式合成：合成：22212yxx12yxx2.5.2 2.5.2 测量误差的分配测量误差的分配分项误差分项误差 总合误差总合误差 合成合成 分配分配 1.1.等准确度分配等准确度分配设设 =0 =0 1 1= = 2 2

56、副边总电压副边总电压U=880V U=880V 则，测量允许的最大总误差为则，测量允许的最大总误差为 U= = U U （2 2）= =17. 6 V 17. 6 V 3 31 12 250H50HZ Z220V220VU U4 45 5误差的分配误差的分配U U1 1U U2 2440v440v440v440v880v880v例例：用量程为：用量程为500V500V交流电压交流电压表测副边总电压，要求相对表测副边总电压，要求相对误差小于误差小于2%2%，问，问应选几级应选几级电压表电压表？用引用相对误差为用引用相对误差为 n的电压表测量时，电表的满刻度值为的电压表测量时，电表的满刻度值为U

57、Umm，可能产生的最大绝对误差为可能产生的最大绝对误差为 mnUUmax，这个值不应大于每，这个值不应大于每个个副圈分配到的测量误差副圈分配到的测量误差 U Ui i，即要求，即要求%66.15008.8minUU可见选用可见选用1.51.5级（级（1.5%1.5%）的电压表能满足测量要求。的电压表能满足测量要求。 VUUUi8 . 826 .17221可以认为测量误差主要是由电压表误差造成的，而且由于两次可以认为测量误差主要是由电压表误差造成的，而且由于两次测量的电压值基本相同，根据测量的电压值基本相同，根据等准确度分配原则分配误差等准确度分配原则分配误差，则，则2. 2. 等作用分配等作用

58、分配等作用分配是指各分项的误差它们对测量误差总合的作用或等作用分配是指各分项的误差它们对测量误差总合的作用或者说对总合的影响是相同的，即者说对总合的影响是相同的，即 mmxfxfxf 2211)()()()()()(2222221221mmxxfxxfxxf 可求出应分配各分项的误差为可求出应分配各分项的误差为jyjxfmjjxfmyx)()(例例2.18 2.18 通过测电阻上的电压、电流值间接测电阻上消耗的功率，已测出通过测电阻上的电压、电流值间接测电阻上消耗的功率，已测出电流为电流为100mA100mA，电压为，电压为3V3V，算出功率为，算出功率为300mW300mW。若要求功率测量的

59、系。若要求功率测量的系统误差不大于统误差不大于5%5%，随机误差的标准偏差不大于，随机误差的标准偏差不大于5mW5mW，问电压和电流的，问电压和电流的测量误差多大时才能保证上述功率误差的要求。测量误差多大时才能保证上述功率误差的要求。 P = U I P = U I300mw 3v 100mA 300mw 3v 100mA 5%5% ？ ？5mW 5mW ？ ？在按等作用分配原则进行误差分配以后，可根据实际测量时各分项误差达在按等作用分配原则进行误差分配以后，可根据实际测量时各分项误差达到给定要求的困难程度适当进行到给定要求的困难程度适当进行调节调节，在满足总误差要求的前提下，对，在满足总误差

60、要求的前提下，对不不容易达到要求的分项适当放宽容易达到要求的分项适当放宽分配的误差，而对容易达到要求的分项，则分配的误差，而对容易达到要求的分项，则可适当把分给的误差再改小些，以使各分项测量的要求不致难易不均。可适当把分给的误差再改小些，以使各分项测量的要求不致难易不均。 3. 3. 抓住主要误差项进行分配抓住主要误差项进行分配 当各分项误差中第当各分项误差中第k k项误差特别大时，按照微小误差准则，若其他项对总合项误差特别大时，按照微小误差准则，若其他项对总合的影响可以忽略，这时就可以不考虑次要分项的误差分配问题，只要保证的影响可以忽略，这时就可以不考虑次要分项的误差分配问题，只要保证主要项