波函数和薛定谔方程学习教案

1、会计学1波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程第一页，编辑于星期日：十六点 五十五分。说明：1，用p(r,t)可以表示出粒子的和特征。这是一个猜想，其有效性需要后面的推论来验证。2，p(r,t)的物理意义，下一节介绍。3，相关公式4，将由p(r,t)得到量子力学的基本公式，建立量子力学的基础，进而确定粒子的全部微观性质。问题：自由粒子的波函数p(r,t)如何得到力学量？波函数p(r,t)对x求偏导，再乘以 -i ，则：类似的方法，可得到py和pz。第1页/共33页第二页，编辑于星期日：十六点 五十五分。波函数p(r,t)对t求偏导，再乘以 i ，则：以上计算的共同点：计算过程这些计算过程，称为算

2、符，在数学中，也习惯称为算子，表示对函数的操作过程。由于这些算符作用在波函数上，等于对应的力学量乘以波函数，则：对应力学量的算符。第2页/共33页第三页，编辑于星期日：十六点 五十五分。其他算符：利用经典的力学量公式，把其中的动量换成动量算符，即可获得所有的力学量算符。例：动能的定义式：动能算符：则有：说明：1，通过算符来表示力学量，是波函数假设的必然推论。2，任一算符与其对应力学量的关系为：第3页/共33页第四页，编辑于星期日：十六点 五十五分。因为粒子具有波粒二象性引入波函数。波恩对波函数做出如下解释：根据波函数的强度分布，可以确定粒子出现的几率。解释：粒子的波函数p(r,t)，通常为复数

3、，其强度为|p(r,t)|2=p*(r,t)p(r,t)，为非负实数。在空间体积元d=dxdydz中，找到粒子的概率与|p(r,t)|2成正比，与体积元d成正比：取比例系数k=1单位体积内找到粒子的几率为：w(r,t)几率密度函数。第4页/共33页第五页，编辑于星期日：十六点 五十五分。态的迭加原理：如果1和2是体系的可能状态，那么它们的线性迭加=c11+c22也是体系的一个可能状态。说明：1，波函数的迭加，是状态的迭加，不是强度的迭加。2，线性迭加，要求对于波函数运算的方程是齐次方程。第5页/共33页第六页，编辑于星期日：十六点 五十五分。在全空间任一粒子出现几率为1，则：归一化条件d为空间

4、体积元，3维情况下d=dxdydz（与相体积元区别）。满足此条件的波函数，称为归一化波函数。有些波函数，不能用上式归一化，例如前面介绍的例：对于波函数(r,t)，如果有则其归一化波函数为：归一化常数第6页/共33页第七页，编辑于星期日：十六点 五十五分。1：描述同一状态，可有多个波函数，包括归一化和未归一化波函数；2：如(r,t)为描述某一状态的波函数，则(r,t)ei（其中为实常数）描述同一状态。因为：其中 ei 称为相因子。3：判断多个波函数是否描述同一状态，需要看他们相对几率是否相同。波函数都归一化后，判断是否练习：1，判断波函数(r,t)和 - i(r,t)是否描述同一状态？第7页/共

5、33页第八页，编辑于星期日：十六点 五十五分。2：设波函数为(x,y,z,t)，求在(x,x+dx)的范围内找到粒子的几率。解：如(x,y,z,t)已归一化，则几率为：dxdzdyP2如未归一化，则几率为：dxdydzPP23:已知t=0时自由粒子的波函数为：p0为已知动量矢量，求(r,t)。解：p0对应能量为mpE2200则设tErpiAetr00),(代入t=0时的波函数，确定232A第8页/共33页第九页，编辑于星期日：十六点 五十五分。问题：如何确定任意一个系统的波函数？要找到一个作用在(r,t)上的普遍方程薛定谔方程。考虑粒子在势场中运动，势能为V(r,t)，则能量表示为：对应的算符

6、为：薛定谔方程第9页/共33页第十页，编辑于星期日：十六点 五十五分。1，1926年最早由薛定谔提出；3，上面只是凑出形式，并不是严格的推导得出；2，是量子力学的另一个基本假设；4，是量子力学的基础，相当于经典力学的基础定律F=ma。5，多粒子情形：描述由N个粒子组成的系统。多粒子系统的波函数多粒子系统的薛定谔方程第10页/共33页第十一页，编辑于星期日：十六点 五十五分。例：若已知p(x,t)满足试证明任意波函数也满足证明：第11页/共33页第十二页，编辑于星期日：十六点 五十五分。波函数为(r,t)，则粒子在dr出现的几率为：则几率随时间的变化率为：和*分别满足薛定谔方程：其中令：第12页

7、/共33页第十三页，编辑于星期日：十六点 五十五分。说明：1，w(r,t)为物质在r处的密度，J(r,t)则是该处物质的流。2，物质在空间任一处的粒子数守恒律对比：质量守恒律电荷守恒律考虑到w的物理意义（w为物质在r处的密度）,则波函数必须满足（波函数的标准条件）：1，连续性：不能有跃变，否则会导致w不连续；2，有限性：w=|2才能为有限，满足几率密度的物理意义；3，单值性：空间任一点r，只有一个w。则要求使w为单值。第13页/共33页第十四页，编辑于星期日：十六点 五十五分。考虑定态的情形，即：势能V(r,t)与时间t无关，可以写成V(r)的形式，可以使用分离变量法简化薛定谔方程。设波函数(

8、r,t)= (r)f(t)，分为分别只和r，t有关的部分，则：把只含r，t的部分分别放在等式两边，则：只含有t的部分：只含有r的部分：定态薛定谔方程第14页/共33页第十五页，编辑于星期日：十六点 五十五分。说明：1，该方程中的(r)表示粒子能量为E的态。能量E不变的态，称为定态。2，定态时粒子的宏观状态（几率密度w，几率流密度J）不随时间改变。定义：哈密顿算符则定态薛定谔方程可以写成：称为本征值或特征值，称为本征函数或特征函数。由此：定态薛定谔方程归结为一个本征值问题。数学上，如果算符作用在函数上，等于某常数乘以该函数，即：本征方程，或特征方程，或固有方程。第15页/共33页第十六页，编辑于

9、星期日：十六点 五十五分。本节目标：1，解最简单的定态薛定谔方程；2，理解系统能量不连续化，即量子化现象；3，进一步理解波函数概念。考虑一维空间中运动的粒子，质量为，其势能满足：一维无限深势阱写出薛定谔方程：阱内：阱外：经分析知，在阱外，只有=0，薛定谔方程才成立，则只需求解阱内方程。第16页/共33页第十七页，编辑于星期日：十六点 五十五分。引入符号：阱内薛定谔方程可简写为：二阶常系数常微分方程，其形式解为：考虑到波函数的连续性，在x= a 处，=0，即：两式相加，得：两式相减，得：A,B不能同时等于0，否则得到平庸解=0（无物理意义）则：第17页/共33页第十八页，编辑于星期日：十六点 五

10、十五分。从而得到：代入2122E阱中的粒子，并不能取任意能量，只能取分立的En值；而波函数：对应于 B=0：对应于 A=0：axax为奇数naxax合并为同一个式子：axax第18页/共33页第十九页，编辑于星期日：十六点 五十五分。说明：1，其中 A 称为归一化常数。2，束缚态：当x时，n(x)0，这种波函数描写的状态称为束缚态。一般来说，束缚态所属的能级是分立的。3，基态：当n=1，给出能量En最低的态称为基态（对于谐振子，n=0给出基态，详见下一节。）4，考虑波函数中含有t的部分，则一维无限深势阱的波函数为：相当于相对传播的平面波（普通物理知识，可迭加成驻波）。第19页/共33页第二十页

11、，编辑于星期日：十六点 五十五分。一维无限深势阱的能量本征函数（左）和粒子位置几率密度分布（右）。第20页/共33页第二十一页，编辑于星期日：十六点 五十五分。一维定态的另一个典型例子：1，在研究固体热容量问题中有重要的作用；2，许多实际体系可以简化成谐振子的运动。势能：圆频率：用半经典的方法，求得能级为：量子力学的结果：下面推导此公式根据势能，写出薛定谔方程：方便起见，引入：原方程可以改写成：为二阶变系数常微分方程，不易直接求解。第21页/共33页第二十二页，编辑于星期日：十六点 五十五分。先看看特殊情况：当时，则：此方程的形式解为：则原方程的解形式上可试探性设为：则现在的任务是确定未知函数

12、H()，把形式解代入原方程，得：仍然为二阶变系数常微分方程，可用幂级数法求解。令：第22页/共33页第二十三页，编辑于星期日：十六点 五十五分。则：代入原方程，为：由于的任意性，则对应各项的系数应为0，即：则：如已知a0，a1，则可求出任意一个av，由此确定函数H()，进而求出()。在未考虑归一化的情况下，可以设a0，a1为两个任意常数。第23页/共33页第二十四页，编辑于星期日：十六点 五十五分。另外，（可以证明，此处略）当时（即x），如果H()为无穷级数，必然有()，为发散的，与波函数的有限性条件相矛盾。则要求H()为有限项的多项式，即：考虑递推公式aa12122只有当 2 - + 1 =

13、 0 时，才能满足H()为有限项的条件。从而得到符合波函数有限性条件的解。设对于H()，在 an 0，an+2=0 ( n 0)的条件下，必然有：则谐振子的能量为：对应每个能级En的束缚态的解为：第24页/共33页第二十五页，编辑于星期日：十六点 五十五分。说明：1，上面的Nn是归一化常数。2，求解了定态薛定谔方程满足波函数为有限性条件的解。对应每个波函数（量子态），具有确定的能量。3，对于本征值问题：EH本征值：21nEn本征函数：4，H()称为厄米多项式，为有限项的幂级数，习惯取：更一般地：第25页/共33页第二十六页，编辑于星期日：十六点 五十五分。线性谐振子的前六个本征函数第26页/共

14、33页第二十七页，编辑于星期日：十六点 五十五分。线性谐振子的几率密度第27页/共33页第二十八页，编辑于星期日：十六点 五十五分。n=10时线性谐振子的几率密度第28页/共33页第二十九页，编辑于星期日：十六点 五十五分。1，证明在定态中，几率密度与时间无关。22* EtiEtieew证明：与时间无关，证毕。2，微观粒子在大小、方向都不变的力场 F 中运动。分别列出其薛定谔方程和定态薛定谔方程。解：设微观粒子的位置矢量为 r，设在 r = 0 时粒子势能为0，则在任意位置时其势能为：U(r) = - F r则哈密顿算符为： rUmH222rF222m薛定谔方程为：Hti定态薛定谔方程为：EH第29页/共33页第三十页，编辑于星期日：十六点 五十五分。3，证明在一维定态情形几率流密度J(x)等于常数，即有：证明：由于0Jtw一维情况下0 xJtw而定态时，几率密度与时间无关（参考第1题），即：0tw4，一维谐振子带电荷e，放在均匀电场中，求在电场作用下，谐振子的能级与波函数。第30页/共33页第三十一页，编辑于星期日：十六点 五十五分。解：无电荷时解得：21nEnxHeNxnxnn2221)(加电场后: xexmxU2221薛定谔方程：Exex