概率与数理统计-第06章 - 样本及抽样分布ppt课件

1、第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布第一节第一节 总体和样本总体和样本 第二节第二节 抽样分布抽样分布第三节第三节 正态总体的样本均值与样本方差正态总体的样本均值与样本方差的分布的分布本章知识点小结本章知识点小结习题习题第一节第一节总体和样本总体和样本数理统计是具有广泛运用的一个数学分支，它以概数理统计是具有广泛运用的一个数学分支，它以概率论为实际根底，根据实验或察看得到的数据，来率论为实际根底，根据实验或察看得到的数据，来研讨随机景象，对研讨对象的客观规律性作出合理研讨随机景象，对研讨对象的客观规律性作出合理的估计和判别。的估计和判别。 概率论所研讨的随机变量，其分布都是假设知的，概率

2、论所研讨的随机变量，其分布都是假设知的，在这个前提下研讨其性质、特点和规律性。在这个前提下研讨其性质、特点和规律性。 数理统计所研讨的随机变量，其分布是未知或不数理统计所研讨的随机变量，其分布是未知或不完全知道的。需求经过独立反复的察看并对察看完全知道的。需求经过独立反复的察看并对察看数据进展分析，来推断其分布。数据进展分析，来推断其分布。概率论与数理统计的区别：概率论与数理统计的区别： 在数理统计中，不是对所研讨的对象全体在数理统计中，不是对所研讨的对象全体 ( 称称为总体为总体)进展察看，而是抽取其中的部分进展察看，而是抽取其中的部分(称为样本称为样本)进展察看获得数据抽样，并经过这些数据

3、对总进展察看获得数据抽样，并经过这些数据对总体进展推断体进展推断. 数理统计方法具有数理统计方法具有“部分推断整体的特征部分推断整体的特征 . 数理统计的义务就是研讨有效地搜集、整理、数理统计的义务就是研讨有效地搜集、整理、分析所获得的有限的资料，对所研讨的问题分析所获得的有限的资料，对所研讨的问题, 尽尽能够地作出准确可靠的结论能够地作出准确可靠的结论. 对随机实验的某一数量目的进展实验或对随机实验的某一数量目的进展实验或察看：察看：1.1.总体总体 实验的全部能够的察看值称为总体实验的全部能够的察看值称为总体 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量总体中所包含的个体的个数称为总体的容量 每

4、一个能够察看值称为个体每一个能够察看值称为个体 总体中的每一个个体是随机实验的一个察看值，因总体中的每一个个体是随机实验的一个察看值，因此它是某一随机变量此它是某一随机变量X 的值的值 一个总体对应一个随机变量一个总体对应一个随机变量X 不再区分总体和相应的随机变量，统称为总体不再区分总体和相应的随机变量，统称为总体X X 的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征字特征例如例如: 研讨某批灯泡的寿命时，关怀的数量目的就是研讨某批灯泡的寿命时，关怀的数量目的就是寿命。那么，此总体就可以用随机变量寿命。那么，此总体就可以用随机变量X表示。表示。 总

5、体分布普通是未知，或只知道是包含未知参总体分布普通是未知，或只知道是包含未知参数的分布。数的分布。 为推断总体分布及各种特征，按一定规那么从为推断总体分布及各种特征，按一定规那么从总体中抽取假设干个体进展察看实验，以获得总体中抽取假设干个体进展察看实验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样抽样。 所抽取的部分个体称为样本。所抽取的部分个体称为样本。 样本中所包含的个体数目称为样本容量。样本中所包含的个体数目称为样本容量。2. 样本样本 一旦取定一组样本一旦取定一组样本X1, ,Xn ,得到得到n个详细的数个详细的数 (x1,x2,xn)，称为样本的一次

6、察看值，简称样本，称为样本的一次察看值，简称样本值值 .n称为这个样本的容量称为这个样本的容量.21nXXXnX，观察，其结果依次记为观察，其结果依次记为次重复、独立次重复、独立在相同的条件下，进行在相同的条件下，进行对总体对总体.,21分布分布同的同的与总体随机变量具有相与总体随机变量具有相的一个简单随机样本，的一个简单随机样本，是来自总体是来自总体这样得到的随机变量这样得到的随机变量XXXXn最常用的一种抽样叫作最常用的一种抽样叫作“简单随机抽样，其特点：简单随机抽样，其特点：1. 代表性：代表性： X1,X2,Xn中每一个与所调查的总体有中每一个与所调查的总体有 一样的分布一样的分布.2

7、. 独立性：独立性： X1,X2,Xn是相互独立的随机变是相互独立的随机变量量.例如：调查某大学一年级例如：调查某大学一年级2000名男生的身高名男生的身高总体：总体：2000名男生身高的一切能够值。等价于某个随名男生身高的一切能够值。等价于某个随机变量机变量X。样本：例如抽取样本：例如抽取10名男生，那么这名男生，那么这10名男生的身高能名男生的身高能够值为一个样本。可表示为随机变量够值为一个样本。可表示为随机变量X1, ,X10。样本值：这样本值：这10名男生的身高丈量值名男生的身高丈量值,记为记为x1,x10。留意：现实上我们抽样后得到的资料都是详细的、确留意：现实上我们抽样后得到的资料

8、都是详细的、确定的值。我们只能察看到随机变量取的值而见不到定的值。我们只能察看到随机变量取的值而见不到随机变量。随机变量。3. 总体、样本、样本值的关系总体、样本、样本值的关系总体实际分布总体实际分布 ？ 样本样本 样本值样本值 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料-样本值，去推断总样本值，去推断总体的情况体的情况-总体分布总体分布F(x)的性质的性质. 总体分布决议了样本取值的概率规律，也就是总体分布决议了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因此可以由样本值去推断样本取到样本值的规律，因此可以由样本值去推断总体总体. 样本是联络二者的桥梁样本是联络二者的桥梁 简单随机样本

9、是运用中最常见的情形，简单随机样本是运用中最常见的情形，今后，当说到今后，当说到“X1,X2,Xn是取自某总体的是取自某总体的样本时，假设不特别阐明，就指简单随机样本时，假设不特别阐明，就指简单随机样本样本.=F(x1) F(x2) F(xn) 假设总体的分布函数为假设总体的分布函数为F(x)、概率密度函数、概率密度函数为为f(x),那么其简单随机样本的结合分布函数为那么其简单随机样本的结合分布函数为*12(,)nFxxx其简单随机样本的结合概率密度函数为其简单随机样本的结合概率密度函数为*12(,)nfxxx=f(x1) f(x2) f(xn) 例：例：110-1,nnXXXXX设设总总体体

10、 服服从从分分布布，是是一一个个样样本本，请请写写出出的的联联合合分分布布律律。解解: 1(1),0,1xxP Xxppx 1111111(,.,)(1)(1)nniiiiiinnniiinxnxxxiP XxXxP Xxpppp 所所以以课堂练习：课堂练习：211( ,),nnXNXXXX 设设总总体体 服服从从正正态态分分布布，是是一一个个样样本本， 请请写写出出的的联联合合概概率率密密度度函函数数。解解: 2222122()211()()2211( )2(,.,)()11=22niiixnniixxnnif xef xxf xee ，所所以以第二节第二节抽样分布抽样分布 由样本值去推断总

11、体情况，需求对样本值进由样本值去推断总体情况，需求对样本值进展展“加工，这就要构造一些样本的函数，它把加工，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的某一方面的信息集中起来样本中所含的某一方面的信息集中起来.1. 统计量统计量 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量计量. 它是完全由样本决议的量它是完全由样本决议的量.一、统计量与阅历分布函数一、统计量与阅历分布函数定义定义12121212,(,),(,).nnnnXXXXg XXXXXXgg XXX设设是是来来自自总总体体的的一一个个样样本本，是是的的函函数数，若若中中不不含含未未知知参参数数，则则称

12、称是是一一个个统统计计量量请留意请留意 :121212(1)X ,(2)(3) (,)(X ,)nnnXXg xxxgXX是是样样本本，也也是是随随机机变变量量统统计计量量是是随随机机变变量量的的函函数数，故故也也是是随随机机变变量量是是统统计计量量的的观观察察值值几个常见统计量几个常见统计量样本平均值样本平均值niiXnX11它反映了它反映了总体均值总体均值的信息的信息样本方差样本方差niiXXnS122)(11它反映了总体它反映了总体方差的信息方差的信息 niiXnXn12211样本规范差样本规范差 niiXXnS12)(11nikikXnA11它反映了总体它反映了总体k 阶矩的信息阶矩的

13、信息样本样本k阶原点矩阶原点矩样本样本k阶中心矩阶中心矩nikikXXnB1)(1 k=1,2,它反映了总体它反映了总体k 阶阶中心矩的信息中心矩的信息2212211, nAXBSAAn 注注意意：统计量的察看值统计量的察看值12221111111() ,()111,1,2,1() ,1,2,niinniiiinkkiinkkiixxnsxxsxxnnaxknbxxkn 仍分别称为样本均值、样本方差、样本规范差、仍分别称为样本均值、样本方差、样本规范差、样本样本 k 阶原点矩以及样本阶原点矩以及样本 k 阶中心矩。阶中心矩。212X,nXXX 设设总总体体 的的均均值值为为 ，方方差差为为，是

14、是来来自自总总体体的的一一个个样样本本，则则222(1) ()(),()(2) (),(3) ()()E XE XD XD XnnE SD X 统计量的一些性质：统计量的一些性质：1()1(4)1,2,.kknpkkikiXkE XAXkn 若若总总体体 的的 阶阶矩矩存存在在，则则矩估计法的矩估计法的实际根据实际根据22211(3)()1niiE SEXnXn 证证明明： niiXnEXEn122)()(11 22221211ninnn 1212(,)(,).pkkg A AAgg 再再由由依依概概率率收收敛敛性性质质，可可将将上上述述性性质质推推广广为为 其其中中 为为连连续续函函数数12

15、121,()1nkkkknkiknpkkikiXXXXXXXXE XAXn (4)(4)证证明明：因因为为独独立立且且与与同同分分布布， 所所以以独独立立且且与与同同分分布布, , 故故。 由由辛辛钦钦大大数数定定律律可可得得 例：例：12( ),(),()()nXXE XD XE S 设设总总体体服服从从泊泊松松分分布布，是是一一个个样样本本， 计计算算和和。解：解：2()()()(),()(), ()()E XD XE XE XD XD XnnE SD X 由由于于，则则有有课堂练习：课堂练习：162( ,0.4),(),()()B nXXE XD XE S设设总总体体服服从从二二项项分分

16、布布，是是一一个个样样本本， 计计算算和和。解：解：2()0.40.4()0.4 (10.4)0.24()()0.4 ,()0.24()0.04 , 66()()0.24E XnnD XnnE XE XnD XnD XnE SD Xn，故故 2. 阅历分布函数阅历分布函数.,)(,2121的随机变量的个数的随机变量的个数中不大于中不大于表示表示的一个样本，用的一个样本，用是总体是总体设设xxxxxxsFXXXnn xxsnxFn)(1)(经验分布函数为经验分布函数为定义定义 2, 121,321, 0)()(21133xxxxFxFF若若若若若若的观察值为的观察值为，则经验分布函数，则经验分布

17、函数，具有一个样本值具有一个样本值设总体设总体例例 二、正态总体的三个常用抽样分布二、正态总体的三个常用抽样分布统计量的分布称为抽样分布统计量的分布称为抽样分布总体分布知时，抽样分布虽然是确定的，但总体分布知时，抽样分布虽然是确定的，但普通来说难以求得普通来说难以求得正态总体的三个常用抽样分布：正态总体的三个常用抽样分布：2 2 分布分布t t 分布分布F F 分布分布22( )n记为记为2分布分布1、定义定义: 设设 相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布N(0,1), 那么称随机变量：那么称随机变量： 所服从的分布为自在度为所服从的分布为自在度为 n 的的 分布分布.12,nXX

18、X222212nXXX 22分布是由正态分布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布. .2分布的密度函数为分布的密度函数为122210( ; )2(2)00nxnxexf x nnx 来定义来定义.其中伽玛函数其中伽玛函数 经过积分经过积分10( ),0txxe tdtx )(x注：注：22222211(1),2.(1),21,2 .,2 .22iniiiXnXX 已已知知就就是是分分布布由由定定义义即即再再由由 可可加加性性知知2设设 且且X1,X2相互独立，相互独立， ),(2N1. 设设 相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布12,nXXX那么那么222211()

19、 ( )niiXn ).(21221nnXX 则则221122(),(),XnXn 这个性质叫这个性质叫 分布的可加性分布的可加性.22 分分布布的的性性质质222.( ),n 3 3若若分分布布的的数数学学期期望望与与方方差差2(0,1),()()1iiiXNE XD X 证证明明：由由故故2422()()()312iiiD XE XE X 221221()(),()()2 .niiniiEE XnDD Xn 22(), ()2 .EnDn 2 分分布布的的上上 分分位位点点: : 222( )( )( )nPnf y dy , 10 ，对对于于给给定定的的正正数数称称满满足足条条件件222

20、20.1( )( ).( )(25)34.381.nnn 的的点点为为分分布布的的上上 分分位位点点，如如图图所所示示可可通通过过查查表表( (P P. .2 27 76 6附附表表5 5) )求求得得，例例如如 2n126221234562(0,1)6 ,()().XNXXXYXXXXXXCCY 若若总总体体，从从此此总总体体中中取取一一个个容容量量为为的的样样本本，设设试试决决定定常常数数 ，使使随随机机变变量量服服从从分分布布例例:解解:)1 , 0(3)3 , 0(321321NXXXNXXX 所所以以因因为为)1(322321 XXX从从而而22221234561(2)333XXXX

21、XXY 由由分分布布的的性性质质可可知知.31 C故故)1(322654 XXX同同理理可可知知 tntnnnthn212)1()2(2)1()(定义定义: 设设XN(0,1) , Y , 且且X与与Y相互独立，那么称变量相互独立，那么称变量XTY n 所服从的分布为自在度为所服从的分布为自在度为 n的的 t 分布，记为分布，记为Tt(n)。t 分布又称为学生氏分布，它的概分布又称为学生氏分布，它的概率密度函数为：率密度函数为：2( )n 2、t 分布分布 ( )0.02501,( )( )( )( )( )(15)2.1315.tnP ttnh t dttnt nntttt 对对于于给给定定

22、的的 ，称称满满足足条条件件的的点点为为分分布布的的上上 分分位位点点。如如图图所所示示。分分布布的的上上 分分位位点点可可查查表表(P.274(P.274附附表表4)4)求求得得，例例分分布布的的上上 分分位位点点：ta(n) t分分布布的的性性质质：221.0.,1lim ( ).2tnttnh te 分分布布的的密密度度函函数数关关于于对对称称当当 充充分分大大时时其其图图形形近近似似于于标标准准正正态态分分布布概概率率密密度度的的图图形形，再再由由 函函数数的的性性质质有有(0,1).nTN近近似似即即当当 足足够够大大时时，12.( )( )tntn 3.( )ntnz 较较大大时时

23、，定义定义: 设设 U 与与V 相互相互独立，那么称随机变量独立，那么称随机变量),(),(2212nVnU 服从自在度为服从自在度为n1及及 n2 的的F分布，分布，n1称为第一自称为第一自在度，在度，n2称为第二自在度，记作称为第二自在度，记作FF(n1,n2) 。12UnFVn 3、F分布分布 0001)()()()()()(2222221211211212121yyyyynnnnnnnnnnnn其概率密度为其概率密度为 ),(21nnF F分布的分位点分布的分位点称称满满足足条条件件，对对于于给给定定的的, 10 1212(,)(,)( )Fn nP FFn ny dy 1212(,)

24、(,).Fn nF n n 的的点点为为分分布布的的上上 分分位位点点 如如图图所所示示0.950.0511(12,9)0.357(9,12)2.80FFF 分分布布的的上上 分分位位点点可可查查表表求求得得，例例如如212211112211(,)(,)1(,)(,)V nFF n nF n nFU nFn nFn n 1 1. .若若，则则2 2. .F分布的性质分布的性质第三节第三节正态总体的样本均值与样本正态总体的样本均值与样本方差的分布方差的分布 定理定理 1 (样本均值的分布样本均值的分布) 设设 X1, X2, , Xn 是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本，的样本， 是

25、样本均值，那么有是样本均值，那么有),(2nNX ) 1 , 0( NnX 即即Xn取不同值时样本取不同值时样本均值均值 的分布的分布X 定理定理 2 (样本方差的分布样本方差的分布) 1() 1() 1 (222nSn 设设X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,那么那么有有.)2(2独独立立与与SXn取不同值时取不同值时 的分布见右图的分布见右图22) 1(Sn 定理定理 3 (样本均值方差比的分布样本均值方差比的分布) 设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和

26、分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,那么那么有有) 1(ntnSX 2221 2(1)(0,1),(1)tXnSNnn 证证由由定定理理 、以以及及 分分布布的的定定义义可可得得且且相相互互独独立立22(1) (1)(1)XnSt nnn 则则 定理定理 4 (两总体样本均值差、样本方差比的分布两总体样本均值差、样本方差比的分布) ) 2(112) 1() 1()(221212122221121 nntnnnnSnSnYX、221122(,)(,)XNYN 设设，YX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,1nX是来自是来自X的样本的样本,是取自是

27、取自Y的样本的样本,这两个样本的样本方差这两个样本的样本方差,那么有那么有2221SS 和Y1,Y2,2nY样本均值，样本均值，分别是分别是)1, 1(12122222121 nnFSS、22212 如如果果。例例1：22 (12,),25 ,12.5(1) 2(2) 5.57.XNXS 设设总总体体 服服从从正正态态分分布布抽抽取取容容量量为为的的样样本本 求求样样本本均均值值 大大于于的的概概率率, ,如如果果已已知知；未未知知，但但已已知知样样本本方方差差解解 222(1)(12,) (12,0.4 )251212.512 12.50.40.4XNNXP XP 121.251(1.25)

28、0.10630.4XP 12(2) (1) (24)51212.512 12.555.57 5 (24)1.059XXt ntSSnXP XPSP t ，代代入入得得 0.1524(24)1.059, (24)1.0590.15.12.50.15.TtP tP X 查查自自由由度度为为的的 分分布布表表得得即即故故有有 例例2211010211021( ,0.5 ),.104 ;2()2.85 .iiiiNXXPXPXX 从从正正态态总总体体中中抽抽取取样样本本（ ）已已知知，求求概概率率（ ） 未未知知，求求概概率率解解1022221(1)00.5 (0,1)1(10)0.5iiiXNYX

29、由由， 有有，则则 10102222211144160.50.5iiiiPXPXP Y 10220.101(10)16.40.10.iipX 查查表表得得由由此此可可得得)9()(5 . 015 . 092)2(22101222 iiXXSZ，由由题题设设及及定定理理 10122210125 . 085. 2)(5 . 0185. 2)(iiiiXXpXXp 4 .112 ZP由由此此可可求求得得查查表表得得, 4 .11)9(225. 0 1021()2.850.25.iipXX 本章知识点小结常用的统计量常用的统计量样本平均值样本平均值niiXnX11样本方差样本方差niiXXnS122)

30、(11样本规范差样本规范差 niiXXnS12)(11样本样本k阶原点矩阶原点矩nikikXnA11样本样本k阶中心矩阶中心矩nikikXXnB1)(1阅历分布函数阅历分布函数.,)(,2121的随机变量的个数的随机变量的个数中不大于中不大于表示表示的一个样本，用的一个样本，用是总体是总体设设xxxxxxsFXXXnn xxsnxFn)(1)(经验分布函数为经验分布函数为定义定义样本的结合概率密度函数延续型样本的结合概率密度函数延续型 或结合分布律离散型或结合分布律离散型抽样分布抽样分布分分布布2 ).(,)1 , 0(,2221221nnXNXXniin 记记为为分分布布的的服服从从自自由由

31、度度为为则则称称随随机机变变量量，且且均均服服从从正正态态分分布布相相互互独独立立设设t 分布分布).(),()1 , 0(2ntttnnYXtYXnYNX分分布布，记记为为的的服服从从自自由由度度为为随随机机变变量量相相互互独独立立，则则称称与与且且，设设 F分布分布).,(,),()(2121212212nnFFnnnVnUFVUnVnU记记为为）的的分分布布服服从从自自由由度度为为（随随机机变变量量相相互互独独立立，则则称称与与，设设 ),(2N1. 设设 相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布12,nXXX那么那么222211() ( )niiXn ).(21221nnXX 则则221122(),(),XnXn 这个性质叫这个性质叫 分布的可加性分布的可加性.22 分分布布的的性性质质2设设 且且X1,X2相互独立相互独立， 222.( ),n 3 3若若分分布布的的数数学学期期望望与与方方差差22