线性代数行列式计算方法总结

1、1线代学习小组第线代学习小组第4 4组组2例例1 计算四阶行列式 D=453253012152532534例例2 2 计算下列行列式解：将第i+1（i=1,2,n）列的 倍加到第1列，得 = 0121112000000000niiniinnb cabbbaaDaaiica1201()niiniibca aa aa012111220000 ,0,1,2,00nninnabbbcaDcaainca 上三角行列式箭形5例例3 计算计算n阶行列式阶行列式 解：这个行列式的特点是各列（行）的元素之和相等，故可将各行加到第解：这个行列式的特点是各列（行）的元素之和相等，故可将各行加到第一行，提出公因子，再

2、化为上三角行列式一行，提出公因子，再化为上三角行列式。 nirri,.,2 , 11加 法xaaaxaaaxxaaaxaaax(1)(1)(1)xnaxnaxnaaxaaax6 小提示小提示: 在求矩阵特征值时若特征多项式满足上述行列式 特征，亦可以使用以简化运算。niarri,.,21 111(1)axaxnaaax111100(1)(1)()00nx axnaxna x ax a7例例4 4 计算n阶行列式 , ,其中 解：由题意得 将第n-1行的（-1）倍加至第n行，第n-2行的（-1）倍加至第n-1行，第1行的（-1）倍加至第2行，有 将第n列分别加到前边的第 1,2，n-1列.012

3、2110132210432340112310nnnnnnnDnnnnnn012n-2111111111111111111111nnDnijDa( ,1,2, )ijaij i jn逐行相减法8 =12(1)2nnn(-1)112310222100221=0002100001nnnnn9例例5 5 计算计算n阶行列式阶行列式 解： 用加边法，即构造n+1阶行列式，使其按第一列（行）展开后，等于原行列式 123,1,.ninabbbbabbDbbabainbbbba121000nnbbbabbDbabbbba1122,111100100100irrinnnbbbababab加 边 法10 = 11

4、112110001000000niiiinnbbbbababccababab121()()()(1)nniibab ababab11行列式展开定理行列式展开定理 定义2.5 在n阶行列式 中划掉元素 所在的第 行与第 列,剩下的元素按原来的相对位置排列，形成的n-1阶行列式称为元素 的余子式，记作 ，称 为元素 的代数余子式。定理定理2.4 2.4 设n阶矩阵A= ， 则A的行列式等于它的任一行（列）的个元素与其代数余子式的乘积之和，即 或 111212122212A =nnnnnnaaaaaaaaaijaijaijM( 1)ijijijAM ijaji()ijn na1122iiiiinin

5、Aa Aa Aa A1122,1,2,.jjjjnjnjAaAaAa Ai jn12例例6 6 计算计算n n阶行列式阶行列式 解：按第一行展开，得 等号两端减 ，得这是一个关于 的递推公式，反复使用递推公式，得， 因为所以 = =n100000110000011000000011000001aaaaaaDaaa12(1),nnnDaDaD1nD111212(1)(1)()nnnnnnnDDaDDaDaDD1nnDD2212321(1) ()(1)()nnnnnDDaDDaDD22212111,(1)1aaDaaDa DDaa1nnDD(1)na221(1)()naDD递推法13即从而总结：当行列式元素排列很有规律且维数与n有关是可以考虑递推法 1(1)nnnDDa1221(1)(1)(1)(1)(1)nnnnnDaaaaaa 1(1)nnnDDa211(1)(1)2nnaaaa 2a =2a14例7 求下列行列式的值 D= 解：不妨令 所以，原行列式可化为 14486520143512210004300021分块三角形法1448501512432121DD，123456C1122DD= D= 12ODCD15规律总结：当遇到如下形式的行列式时，简记为 ， 这里的A,B必须为方阵。而tt1tt111