矩阵论标准形

1、矩阵论标准形第1页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.3 Jordan标准形标准形 一、一、 - 矩阵矩阵二、二、Jordan标准形标准形 三、三、Jordan标准形标准形简单应用简单应用第2页，共97页。设设 P 是一个数域，是一个数域， 是一个文字，作多项式环是一个文字，作多项式环P .一个矩阵，如果它的元素是一个矩阵，如果它的元素是 的多项式，即的多项式，即P 的元素的元素, ,就称为就称为 - - 矩阵矩阵. .讨论讨论 - 矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上关于若尔当标准形的主要定理关于若尔当标准形的主要定理. .因为数域因为数域

2、 P 中的数也是中的数也是 P 的元素，所以在的元素，所以在 - 矩阵中也包括以数为元素的矩阵矩阵中也包括以数为元素的矩阵. .一、一、 - 矩阵矩阵第3页，共97页。矩阵称为矩阵称为数字矩阵数字矩阵. .以下用以下用 A( )， B( )， 等等表示表示 -矩阵矩阵 . .我们知道，我们知道， P 中的元素可以作加、减、乘中的元素可以作加、减、乘三种运算三种运算, , 并且它们与数的运算有相同的运算规律并且它们与数的运算有相同的运算规律. .而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘法，因此，我们可以同样定义与乘法，因此，我们可以同样定义 -

3、 矩阵的加法矩阵的加法与乘法与乘法, , 它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律. .把以数域把以数域 P 中的数为元素的中的数为元素的第4页，共97页。行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法, ,因此因此, ,同样可以定义一个同样可以定义一个 n n 的的 - 矩阵的行列式矩阵的行列式. .一般地，一般地， - 矩阵的行列式是矩阵的行列式是 的一个多项式的一个多项式, ,它与它与数字矩阵的行列式有相同的性质数字矩阵的行列式有相同的性质. .例如例如, , 对于对于 - 矩阵的行列式，矩阵乘积的行列式矩阵的行列式，矩阵

4、乘积的行列式等于行列式的乘积，等于行列式的乘积，这一结论，显然是对的这一结论，显然是对的. .既然有行列式，也就有既然有行列式，也就有 - - 矩阵的子式的概念矩阵的子式的概念. .利用这个概念，我们有利用这个概念，我们有秩秩和和可逆矩阵可逆矩阵等。等。第5页，共97页。 如果如果 - 矩阵矩阵A( ) 中有一个中有一个 r ( r 1 )级子式不为零，而所有级子式不为零，而所有全为零，则称全为零，则称 A( ) 的秩为的秩为 r .零矩阵的秩规定为零。零矩阵的秩规定为零。可逆矩阵可逆矩阵 一个一个 n n 的的 - 矩阵矩阵 A( ) 称为可逆称为可逆的，如果有一个的，如果有一个 n n 的

5、的 - 矩阵矩阵 使使A( ) B( ) = B( ) A( ) = E ,这里这里 E 是是 n 级单位矩阵级单位矩阵.适合适合 (1) 的矩阵的矩阵 B( ) (它它是唯一的是唯一的) 称为称为 A( ) 的逆矩阵，记为的逆矩阵，记为 A-1( ) . 第6页，共97页。定理定理 1 1 一个一个 n n 的的 - 矩阵矩阵 A( ) 是可逆的是可逆的 充分必要条件是行列式充分必要条件是行列式 | A( ) | 是一个非零数是一个非零数. .先证先证. . 设设d = | A( ) |是一个非零的数是一个非零的数. .A*( ) 是是 A( ) 的伴随矩阵，它也的伴随矩阵，它也是一个是一个

6、 - 矩阵矩阵，而，而*11( )( )( ) ( ),AAAAEdd因此，因此， A( ) 可逆可逆. .第7页，共97页。再证再证. .设设 A( ) 可逆，则有可逆，则有A( ) B( ) = B( ) A( ) = E ,上式两边取行列式，得上式两边取行列式，得| A( ) | | B( ) | =|E | = 1 .因为因为 | A( ) | 与与 | B( ) | 都是都是 的多项式，所以由它的多项式，所以由它们的乘积是们的乘积是 1 可以推知，它们都是零次多项式，可以推知，它们都是零次多项式，也就是非零的数也就是非零的数 . .第8页，共97页。 求下列求下列 - 矩阵的秩矩阵的

7、秩22221121(1)1211;322222211(2)21.1秩为3秩为2第9页，共97页。 下列下列 - 矩阵中，哪些是可逆的？若可矩阵中，哪些是可逆的？若可逆求其逆矩阵逆求其逆矩阵. .2221( )=2111A22-122- +1( ) = -+ -2+1-101A 第10页，共97页。定义定义 下面的三种变换叫做下面的三种变换叫做 - 矩阵的初等矩阵的初等变换：变换：(1) (1) 矩阵的两行矩阵的两行( (列列) )互换位置；互换位置；(2) (2) 矩阵的某一行矩阵的某一行( (列列) )乘以非零常数乘以非零常数 c ；(3)(3) 矩阵的某一行矩阵的某一行( (列列) )加另

8、一行加另一行( (列列) )的的 ( )倍，倍， ( ) 是一个多项式是一个多项式. .和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵. .2. - 矩阵的矩阵的Smith标准形标准形第11页，共97页。三种初等变换对应三个三种初等变换对应三个11( )( , ( )11P i j i 行行 j 行行 i 列列 j 列列第12页，共97页。101( , )101P i j i 行行 j 行行 i 列列 j 列列第13页，共97页。1( ( )1P i cc i 行行 i 列列第14页，共97页。同样地，对一个同样地，对一个 s n 的的 - 矩阵矩阵 A(

9、 ) 作一次作一次初等行变换就相当于在初等行变换就相当于在 A( ) 的左边乘上相应的的左边乘上相应的 s s 初等矩阵；初等矩阵；对对 A( ) 作一次作一次初等列变换就相当于在初等列变换就相当于在 A( ) 的右边乘上相应的的右边乘上相应的 n n 的初等矩阵的初等矩阵.初等矩阵都是可逆的，并且有初等矩阵都是可逆的，并且有P( i , j ) -1 = P( i , j ) ,P( i(c) ) -1 = P( i( c -1 ) ) ,P( i , j ( ) ) -1 = P( i , j (- ) ) .第15页，共97页。由此得出初等变换具有可逆性：由此得出初等变换具有可逆性：设设

10、 - 矩阵矩阵 A( ) 用用初等变换变成初等变换变成 B( )，这相当于对，这相当于对 A( ) 左乘或右乘左乘或右乘 一个初等矩阵一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 B( )就就变回变回 A( ) ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由B( )可用初等变换变回可用初等变换变回 A( ) .我们还可以看出在第我们还可以看出在第二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这也是为了使也是为了使 P( i(c) )可逆的缘故可逆的缘故.第16页，共97页。 - 矩阵的矩阵的等价等价定义定义 - 矩

11、阵矩阵 A( ) 称为与称为与 B( ) 等价，等价，可以经过一系列初等变换将可以经过一系列初等变换将 A( ) 化为化为 B( ) .等价的性质等价的性质: : 等价是等价是 - 矩阵之间的一种等价关系。矩阵之间的一种等价关系。如果如果 - 矩阵等价的条件：矩阵等价的条件：矩阵矩阵 A( ) 与与 B( ) 等价的充分必要条件是有一等价的充分必要条件是有一系列初等矩阵系列初等矩阵 P1 , P2 , , Pl , Q1 , Q2 , , Qs 使使A( ) = P1 P2 Pl B( )Q1Q2 Qs .第17页，共97页。 - 矩阵的标准形矩阵的标准形本段主要是证明任意一个本段主要是证明任

12、意一个 - 矩阵矩阵可以经过可以经过初等变换化为初等变换化为SmithSmith标准形标准形. .引理引理设设 - 矩阵矩阵A( ) 的左上角元素的左上角元素 a11( ) 0，并且并且 A( ) 中至少有一个元素不能被它除尽，那么中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与一定可以找到一个与 A( ) 等价的矩阵等价的矩阵 B( ) ，它的它的左上角元素也不为零左上角元素也不为零, ,但是次数比但是次数比 a11( ) 的次数低的次数低. .第18页，共97页。根据根据 A( ) 中不能被中不能被 a11( ) 除尽的元素除尽的元素所在的位置，分三种情况来讨论：所在的位置，分三种情况

13、来讨论： 若若 A( ) 的第一列中有一个元素的第一列中有一个元素 ai1( ) 不能不能被被 a11( ) 除尽，则有除尽，则有 ai1( ) = a11( ) q( ) + r ( ) ,其中余式其中余式 r ( ) 0，且次数比，且次数比 a11( ) 的次数低的次数低.对对 A( ) 作初等行变换作初等行变换. 把把 A( ) 的第的第 i 行减去行减去第第 1 行的行的 q( ) 倍，得：倍，得：第19页，共97页。111( )( )( )iaAa 11( )( )ar 再将此矩阵的第再将此矩阵的第 1 行与第行与第 i 行互换，得：行互换，得：11( )( ).( )rBa ( )

14、A B( ) 左上角元素左上角元素 r ( ) 符合引理的要求，故符合引理的要求，故 B( ) 即为所求的矩阵即为所求的矩阵.第20页，共97页。 在在 A( ) 的第一行中有一个元素的第一行中有一个元素 a1i ( ) 不能不能被被 a11( ) 除尽，这种情况的证明与除尽，这种情况的证明与 1) 类似，但是类似，但是对对 A( ) 进行的是初等列变换进行的是初等列变换. A( ) 的第一行与第一列中的元素都可以被的第一行与第一列中的元素都可以被a11( ) 除尽，但除尽，但 A( ) 中有另一个元素中有另一个元素 aij ( ) ( i 1,j 1 ) 不能被不能被 a11( ) 除尽除尽

15、.设设ai 1 ( ) = a11( ) ( ) .对对 A( ) 作下述初等行变换：作下述初等行变换：第21页，共97页。1111( )( )( )( )( )jiijaaAaa 1111( )( )0( )( ) ( )jijjaaaa 第22页，共97页。1111( )( )(1( )( )0( )( ) ( )ijjijjaaaaa = A1( ) .矩阵矩阵 A1( ) 的第一行中，有一个元素的第一行中，有一个元素ai j ( ) +( 1 - ( ) ) a1j ( )不能被左上角元素不能被左上角元素 a11( ) 除尽，这就化为已经证除尽，这就化为已经证明了的情况明了的情况 2)

16、 .第23页，共97页。定理定理2 2 任意一个非零的任意一个非零的 s n 的的 - 矩阵矩阵A( ) 都等价于下列形式的矩阵都等价于下列形式的矩阵12( )( ).( )00rddd 其中其中 r 1 , di( ) ( i = 1, 2, , r-1 ) 是首项系数为是首项系数为 1的的多项式，且多项式，且di( ) | di+1( ) ( i = 1, 2, , r-1 ) .第24页，共97页。经过行列调动之后，可以使得经过行列调动之后，可以使得 A( ) 的的 左上角元素左上角元素 a11( ) 0，如果，如果 a11( ) 不能除尽不能除尽 A( ) 的全部元素，的全部元素，由由

17、可以找到与可以找到与 A( ) 等价的等价的B1( ) ，它的左上角元素，它的左上角元素 b1( ) 0，并且次数比，并且次数比a11( ) 低低.如果如果 b1( ) 还不能除尽还不能除尽 B1( ) 的全部元素的全部元素,由引理，又可以找到与由引理，又可以找到与 B1( ) 等价的等价的 B2( ) ，它的，它的左上角元素左上角元素 b2( ) 0，并且次数比，并且次数比 b1( ) 低低.如此如此下去，将得到一系列彼此等价的下去，将得到一系列彼此等价的 - 矩阵矩阵 A( ) ,B1( ) , B2( ) , .它们的左上角元素皆不为零，而它们的左上角元素皆不为零，而第25页，共97页。

18、且次数越来越低且次数越来越低.但次数是非负整数，不可能无止但次数是非负整数，不可能无止境地降低境地降低.因此在有限步以后，我们将终止于一个因此在有限步以后，我们将终止于一个 - 矩阵矩阵 Bs ( ) ，它的左上角元素，它的左上角元素 bs( ) 0，而且，而且可以除尽可以除尽 Bs ( ) 的全部元素的全部元素 bij( ) ，bij ( ) = bs( ) qij ( ) ，对对 Bs ( ) 作初等变换：作初等变换：即即11( )( )( )( )sjsibbBb 第26页，共97页。1()000()0sbA 在右下角的在右下角的 - 矩阵矩阵 A1 ( ) 中，全部元素都是可以中，全部

19、元素都是可以被被 bs( ) 除尽的除尽的, 因为它们都是因为它们都是 Bs( ) 中元素的组合中元素的组合.如果如果 A1( ) O，则对于，则对于A1( ) 可以重复上述过可以重复上述过程，进而把矩阵化成程，进而把矩阵化成第27页，共97页。122( )000( )0,00( )00ddA 其中其中 d1( ) 与与 d2( ) 都是首项系数为都是首项系数为 1 的多项式的多项式( d1( ) 与与 bs( ) 只差一个常数倍数只差一个常数倍数)，而且，而且d1( ) | d2( ) ，d2( ) 能除尽能除尽 A2( ) 的全部元素的全部元素.如此下去，如此下去，A( ) 最后就化成了所

20、要求的形式最后就化成了所要求的形式. 最后化成的这个矩阵称为最后化成的这个矩阵称为 A( ) 的的.第28页，共97页。 用初等变换把下列用初等变换把下列 - 矩阵化为标准形矩阵化为标准形. .32423232222211 210000.00 第29页，共97页。在上一段，我们讨论了在上一段，我们讨论了 - 矩阵的标准形，其矩阵的标准形，其主要结论是：任何主要结论是：任何 - 矩阵都能化成标准形矩阵都能化成标准形. .但是但是矩阵的标准形是否唯一呢？矩阵的标准形是否唯一呢？答案是肯定的答案是肯定的. .为了证为了证明唯一性，要引入明唯一性，要引入矩阵的行列式因子矩阵的行列式因子的概念的概念.

21、.3.3.行列式因子与不变因子行列式因子与不变因子不变因子不变因子第30页，共97页。设设 - 矩阵矩阵 A( ) 的秩为的秩为 r ，对于正整对于正整数数 k，1 k r ， A( ) 中必有非零的中必有非零的 k 级子式级子式.A( )中全部中全部 k 级子式的首项系数为级子式的首项系数为 1 的最大公因式的最大公因式Dk( ) 称为称为 A( ) 的的 k 级级行列式因子行列式因子. .由定义可知，对于秩为由定义可知，对于秩为 r 的的 - 矩阵，行列式矩阵，行列式因子一共有因子一共有 r 个个.行列式因子的意义就在于，它在行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的初等变换下是不变的

22、. .第31页，共97页。定理定理3 3 等价的等价的 - 矩阵具有相同的秩与相同矩阵具有相同的秩与相同的各级的各级行列式因子行列式因子. .我们只要证明，我们只要证明， - 矩阵经过一次初等矩阵经过一次初等行变换，秩与行列式因子是不变的行变换，秩与行列式因子是不变的.设设 - 矩阵矩阵 A( ) 经过一次初等行变换变成经过一次初等行变换变成 B( ) , f( ) 与与 g( ) 分别是分别是 A( ) 与与 B( ) 的的 k 级行列式因子级行列式因子.我们证明我们证明 f( ) = g( ) .下面分三种情形讨论下面分三种情形讨论.第32页，共97页。 A( ) 经初等行变换经初等行变换

23、 (1) 变成变成 B( ) . 这时这时 B( ) 的每个的每个 k 级子式或者等于级子式或者等于 A( ) 的某个的某个 k 级子式级子式, 者与者与 A( ) 的某一个的某一个 k 级子式反号级子式反号, 因此因此 f( ) 是是B( ) 的的 k 级子式的公因式，从而级子式的公因式，从而 f( ) | g( ) . A( ) 经初等行变换经初等行变换 (2) 变成变成 B( ) . 这时这时 B( ) 的每个的每个 k 级子式或者等于级子式或者等于 A( ) 的某个的某个 k 级子式级子式, 者等于者等于 A( ) 的某一个的某一个 k 级子的级子的 c 倍倍 , 因此因此 f ( )

24、 是是B( ) 的的 k 级子式的公因式，从而级子式的公因式，从而 f( ) | g( ) .或或或或第33页，共97页。 A( ) 经初等行变换经初等行变换 (3) 变成变成 B( ) . 这时这时 B( ) 中那些包含中那些包含 i 行与行与 j 行的行的 k 级子式和那些不包含级子式和那些不包含i 行行的的 k 级子式都等于级子式都等于 A( ) 中对应的中对应的 k 级子式；级子式；B( )中中那些包含那些包含 i 行但不包含行但不包含 j 行的行的 k 级子式，按级子式，按 i 行分行分成两部分，而等于成两部分，而等于 A( ) 的一个的一个 k 级子式与另一个级子式与另一个k 级子

25、式的级子式的 ( ) 倍的和，也就是倍的和，也就是 A( ) 的两个的两个 k级子式的组合级子式的组合.因此因此 f ( ) 是是 B( ) 的的 k 级子式的公级子式的公因式，从而因式，从而 f( ) | g( ) .第34页，共97页。对于列变换，可以完全一样地讨论对于列变换，可以完全一样地讨论.总之，如总之，如果果 A( ) 经一次初等变换变成经一次初等变换变成 B( ) ，那么，那么f( ) | g( ) .但由于初等变换是可逆的，但由于初等变换是可逆的， B( ) 也可以经一次初也可以经一次初等变换变成等变换变成 A( ) .由上讨论，同样应有由上讨论，同样应有g( ) | f( )

26、 .于是于是 f( ) = g( ) .当当 A( ) 的全部的全部 k 级子式为零时，级子式为零时，B( ) 的全部的全部k 级子式也就为零；级子式也就为零；反之亦然反之亦然.因此，因此， A( ) 与与 B( ) 既有相同的各级行列式因既有相同的各级行列式因子，又有相同的秩子，又有相同的秩.第35页，共97页。标准形的行列式因子标准形的行列式因子设标准形为设标准形为12( )( )(1)( )00rddd 其中其中 d1( ) , d2( ) , , dr( ) 是首项系数为是首项系数为1 1的多项的多项式，且式，且 di ( ) | di+1 ( ) ( i = 1, 2, , r-1

27、) .不难证明不难证明, ,第36页，共97页。在这种形式的矩阵中，如果一个在这种形式的矩阵中，如果一个 k 级子式包含的行级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个与列的标号不完全相同，那么这个 k 级子式一定为级子式一定为零零. .因此，为了计算因此，为了计算 k 级行列式因子，只要看由级行列式因子，只要看由i1 , i2 , , ik 行与行与 i1 , i2 , , ik 列列 (1 i1 i2 ik r)组成的组成的 k 级子式就行了级子式就行了，12( )( )( ).kiiiddd而这个而这个k 级子式等于级子式等于显然，这种显然，这种 k 级子式的最大公因式就是级子式的最大公

28、因式就是12( )( )( ).kddd 第37页，共97页。 - 矩阵矩阵的标准形是唯一的的标准形是唯一的. .设设(1)(1)是是 A( ) 的标准形的标准形. .由于由于A( ) 与与 (1) 等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，因此因此， A( ) 的秩就是标准形的主对角线上非零元的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数素的个数 r ;A( ) 的的 k 级行列式因子就是级行列式因子就是11( )( ) ( )( ) (1,2, ).(2)kkDdddkr 第38页，共97页。于是于是112211( )( ),( )( ),( )( )( )

29、.( )rrrdDDdDDdD (3)这说明这说明 A( ) 的标准形的标准形 (1) 的主对角线上的元素是被的主对角线上的元素是被A( ) 的行列式因子所唯一确定的，所以的行列式因子所唯一确定的，所以 A( ) 的标的标准形是唯一的准形是唯一的. .第39页，共97页。 标准形的主对角线上非零元素标准形的主对角线上非零元素d1( ) , d2( ) , , dr( )称为称为 - 矩阵矩阵 A( ) 的的不变因子不变因子. .定理定理5 5 两个两个 - 矩阵等价的充分必要条件是矩阵等价的充分必要条件是 它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变

30、因子不变因子. .第40页，共97页。等式（等式（2）与（）与（3）给出了）给出了 - 矩阵的行矩阵的行列式因子与不变因子之间的关系列式因子与不变因子之间的关系. .这个关系式说明这个关系式说明行列式因子与不变因子是相互确定的行列式因子与不变因子是相互确定的. .因此，说两因此，说两个矩阵有相同的各级行列式因子，就等于说它们有个矩阵有相同的各级行列式因子，就等于说它们有相同的各级不变因子相同的各级不变因子. .必要性已由定理必要性已由定理3证明。证明。充分性是很明显的充分性是很明显的. .因为若因为若 - 矩阵矩阵A( )与与B( ) 有相同的不变因子，则有相同的不变因子，则 A( ) 与与

31、B( ) 和同一个标准和同一个标准形等价，因而它们也等价形等价，因而它们也等价. .第41页，共97页。 试求下列矩阵的不变因子试求下列矩阵的不变因子: :222222(1)1(1)10;2(1)1 2121210000( )=1,( )= ,( )=00ddd 第42页，共97页。11000110(2).00110001 1-10001-10=.001-10001A41234411000110=1,=(1)0011000(1)dddd 第43页，共97页。现在我们假定讨论中的数域是复数域现在我们假定讨论中的数域是复数域C.上面已经看到，不变因子是矩阵的相似不变量上面已经看到，不变因子是矩阵的

32、相似不变量. .为了得到若尔当标准形，再引入初等因子。为了得到若尔当标准形，再引入初等因子。把矩阵把矩阵 A ( (或线性变换或线性变换A ) )的每个次数大于零的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂所有这些一次因式方幂( (相同的必须按出现的次数计相同的必须按出现的次数计算算) ) 称为矩阵称为矩阵 A (或线性变换或线性变换 A )的的初等因子初等因子. .4. 4. 初等因子初等因子第44页，共97页。 设设1212级矩阵的不变因子是级矩阵的不变因子是( - 1 )2 ( + 1 )( 2 + 1

33、)2 . 1, 1, , 1 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 ( + 1 ) ,9 个个按定义，它的初等因子有按定义，它的初等因子有 7 个，即个，即( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( + 1 ) , ( + 1 ) , ( - i )2 , ( + i )2 .其中其中 ( - 1 )2 出现三次出现三次， + 1 出现二次出现二次. .第45页，共97页。首先，假设首先，假设 n 级矩阵级矩阵 A 的不变因子的不变因子d1( ) , d2( ) , , dn( )为已知为已知. .将将 di( ) (i =1, 2, , n) 分解成互不相同分

34、解成互不相同的一次因式方幂的乘积：的一次因式方幂的乘积：11121212221211221212( )()()(),( )()()(),( )()()(),rrnnnrkkkrkkkrkkknrddd 第46页，共97页。则其中对应于则其中对应于 kij 1 的那些方幂的那些方幂()(1)ijkjijk 就是就是 A 的全部初等因子的全部初等因子. .我们注意到不变因子有我们注意到不变因子有一个除尽一个的性质，即一个除尽一个的性质，即 di( ) | di+1( ) (i =1, 2, , n - 1) ,从而从而1,()|()(1,2,1;1,2, ) .ijijkkjjinjr 第47页，

35、共97页。因此在因此在 d1( ) , d2( ) , , dn( ) 的分解式中，属于同的分解式中，属于同一个一次因式的方幂的指数有递升的性质，即一个一次因式的方幂的指数有递升的性质，即k1j k2j knj (j = 1, 2, , r) .这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中方次最高的必定出现在方次最高的必定出现在 dn( ) 的分解式中，方次次的分解式中，方次次高的必定出现在高的必定出现在 dn-1( ) 的分解式中的分解式中. .如此顺推下如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子

36、在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的. .第48页，共97页。上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法阵的级数唯一地作出不变因子的方法. .设一个设一个 n 级级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将同一个一次因式同一个一次因式 ( - j) (j = 1, 2, , r) 的方幂的的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的那些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的个数不足个数不足 n 时，就在后面补上适当个数的时

37、，就在后面补上适当个数的 1 1，使得，使得凑成凑成 n 个个. .设所得排列为设所得排列为1,1(),(),()(1,2, ).njnjjkkkjjjjr 第49页，共97页。于是令于是令1212( )()()()(1,2, ),iiirkkkirdin 则则 d1( ) , d2( ) , , dn( ) 就是就是 A 的不变因子的不变因子. .这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们相似因子，因而它们相似. .反之，如果两个矩阵相似，反之，如果两个

38、矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子等因子. .第50页，共97页。综上所述，即得：综上所述，即得：定理定理8 8 两个同级复数矩阵相似的充分必要条是它们两个同级复数矩阵相似的充分必要条是它们有相同的初等因子有相同的初等因子. .初等因子的求法初等因子的求法初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量. .但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而方便一些方便一些. .第51页，共97页。在介绍直接求初等因子的方法之前，先来说明在介绍直接求初等因子的方法

39、之前，先来说明关于多项式的最大公因式的一个性质关于多项式的最大公因式的一个性质：如果多项式如果多项式 f1( )， f2( ) 都与都与 g1( )， g2( ) 互素，则互素，则(f1( )g1( ) , f2( )g2( )=(f1( ) , f2( ) (g1( ) , g2( ).事实上，令事实上，令( f1( )g1( ) , f2( )g2( ) = d( ) ,( f1( ) , f2( ) = d1( ) ,( g1( ) , g2( ) = d2( ) .显然，显然，d1( ) | d( ) , d2( ) | d( ) .由于由于 ( f1( ) , g1( ) = 1 ,

40、 故故 ( d1( ) , d2( ) ) = 1，因而因而d1( ) d2( ) | d( ) .第52页，共97页。另一方面，由于另一方面，由于d( ) | f1( ) g1( ) ,可令可令d( ) = f ( ) g ( ) ,其中其中 f ( ) | f1( ) , g( ) | g1( ) .由于由于( f1( ) , g2( ) = 1 ,故故 ( f ( ) , g2( ) = 1 . 由由 f ( ) | f2( ) g2( ) 又得又得 f ( ) | f2( )，因而因而 f ( ) | d1( ) .同理同理 g( ) | d2( ) .所以所以d( ) | d1( )

41、 d2( ) .于是于是d( ) = d1( ) d2( ) .第53页，共97页。引理引理 设设11222112( )( )0( ),0( )( )( )( )0( ),0( )( )fgAfgfgBfg 如果多项式如果多项式 f1( )， f2( ) 都与都与 g1( )， g2( ) 互素，互素，则则 A( ) 和和 B( ) 等价等价.第54页，共97页。下面的定理给了我们一个求初等因子的方法，下面的定理给了我们一个求初等因子的方法，它不必事先知道不变因子它不必事先知道不变因子. .定理定理9 9 首先用初等变换化特征矩阵首先用初等变换化特征矩阵 E - A 为对角形式，然后将主对角线

42、上的元素分解成互不为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，相同的一次因式方幂的乘积，式的方幂式的方幂( (相同的按出现的次数计算相同的按出现的次数计算) )就是就是的全的全部初等因子部初等因子. .则所有这些一次因则所有这些一次因第55页，共97页。设设 E - A已用初等变换化为对角形已用初等变换化为对角形12( )( )( ),( )nhhDh 其中每个其中每个 hi( ) 的最高项系数都为的最高项系数都为 1 .将将 hi( ) 分分解成互不相同的一次因式方幂的乘积：解成互不相同的一次因式方幂的乘积：1212( )()()()(1,2, ),iiirkkki

43、rhin 第56页，共97页。我们现在要证明的是，对于每个相同的一次我们现在要证明的是，对于每个相同的一次因式的方幂因式的方幂12(),(),()(1,2, )jjnjkkkjjjjr 在在 D( ) 的主对角线上按递升幂次排列后，得到的的主对角线上按递升幂次排列后，得到的新对角矩阵新对角矩阵 D ( ) 与与 D( ) 等价等价. .此时此时 D ( ) 就是就是 E - A 的标准形而且所有不为的标准形而且所有不为 1 1 的的()ijkj 就就是是 A 的全部初等因子的全部初等因子. .第57页，共97页。为方便起见，先对为方便起见，先对 - 1 的方幂进行讨论的方幂进行讨论. .令令2

44、323( )()()()(1,2, ),iiirkkkirgin 于是于是11( )()( ) ,1,2,ikiihgin 而且每个而且每个11()ik 都与都与 gj( ) (j = 1, 2, , n) 互互素素. .如果有相邻的一对指数如果有相邻的一对指数 ki1 ki+1,1 , 则在则在 D( )中将中将11()ik 与与1,11()ik 对调位置，而对调位置，而其余因式保持不动其余因式保持不动. .根据根据第58页，共97页。11,1111()( )00()( )iikikigg 与与1,11111()( )00()( )iikikigg 等价等价. .从而从而 D( ) 与对角矩

45、阵与对角矩阵111,1111111111()( )()( )( )()( )()( )iinkkikiknggDgg 第59页，共97页。等价等价. .然后对然后对 D1( ) 作如上的讨论作如上的讨论. .如此继续进行如此继续进行直到对角矩阵主对角线上元素所含直到对角矩阵主对角线上元素所含 - 1 的方幂是的方幂是按递升幂次排列为止按递升幂次排列为止. .依次对依次对 - 2 , , - r 作作同样处理，最后便得到与同样处理，最后便得到与 D( ) 等价的对角矩阵等价的对角矩阵D ( ) ，它的主对角线上所含每个相同的一次因式它的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂，都是按递升幂次排列的

46、的方幂，都是按递升幂次排列的. .第60页，共97页。 已知已知 - 矩阵矩阵 A( ) 的初等因子，秩的初等因子，秩 r 与与阶数阶数 n ，求求 A( ) 的标准形的标准形. .233232(1)2,(2) ,(2) ,2 ,(2) ;4,4;(2)1,(1) ,(1) ,2,(2) ;3,5 .rnrn第61页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 2332,(2) ,(2) ,2,(2) 把把 A( ) 的初等因子的初等因子323(2) ,(2) ,2 , 1(2) ,2 ,1,1令令1223334( )1,( )2,( )(2) (2),( )(2) (2).dddd 第62

47、页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则 d1( ) , d2( ) , d3( ) , d4( ) 是是 A( ) 的不变因子的不变因子. . 以以 A( ) 的标准形为的标准形为23312.(2) (2)(2) (2) 第63页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 把把 A( ) 的初等因子的初等因子按降幂排成如下两行，每行按降幂排成如下两行，每行 3 3 个因子个因子( (因因 A( ) 的秩的秩令令2321,(1) ,(1) ,2,(2) 等于等于 3 ) :322(1) ,(1) ,1(2) ,2 ,1122323( )1,( )(1) (2),( )(1)

48、(2).ddd 第64页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则 d1( ) , d2( ) , d3( ) 是是 A( ) 的不变因子的不变因子. . 所以所以A( ) 的标准形为的标准形为2321(1) (2).(1) (2)00 第65页，共97页。 求下列矩阵的不变因子，行列式因子与求下列矩阵的不变因子，行列式因子与初等因子初等因子4 25213(1)= 6 49 ;(2)= 639 .5 37426AB 第66页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 把把 E - A 化为标准形化为标准形425649537EA 2100010.00(1) 所以不变因子为所以不变因

49、子为21,1,(1), 行列式因子为行列式因子为21,1,(1), 初等因子为初等因子为2,1. 第67页，共97页。把把 E - B 化为标准形化为标准形213639426EB 10000.00(11) 所以不变因子为所以不变因子为1,(11) , 行列式因子为行列式因子为21,(11), 初等因子为初等因子为,11. 第68页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、Jordan标准形标准形 Jordan标准形的存在定理标准形的存在定理任何方阵任何方阵A均可通过某一相似变换化为如下均可通过某一相似变换化为如下Jordan标准形：标准形：1122()()()ssJJJJ10()

50、10iiiiiJ12,s 其中其中 称为称为Jordan块矩阵。块矩阵。为为A的特征值，可以是多重的的特征值，可以是多重的。 第69页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明：（1） 2 2阶以上阶以上Jordan块矩阵一定不能对角化；块矩阵一定不能对角化；2()iiJ（ ）i中的特征值全为中的特征值全为，但是对于不同的，但是对于不同的i 和和jij有可能有可能，即多重特征值可能对应多个，即多重特征值可能对应多个JordanJordan块矩阵。块矩阵。 （4）Jordan标准形是唯一的，这种唯一性是指：各标准形是唯一的，这种唯一性是指：各Jordan块矩块矩阵的阶数和对应的特

51、征值是唯一的，但是各阵的阶数和对应的特征值是唯一的，但是各Jordan块矩阵的位置可块矩阵的位置可以变化。以变化。 （3）对于特征值对于特征值()iiJi，的阶数整除它的代数重数。的阶数整除它的代数重数。（5）Jordan标准形中各标准形中各Jordan块矩阵的阶数均为块矩阵的阶数均为1时，即为对角形时，即为对角形矩阵。矩阵。第70页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 Jordan 矩阵可以作为相似标准形。矩阵可以作为相似标准形。惟一性：惟一性：Jordan 子块的集合惟一。子块的集合惟一。A相似于相似于BJA相似于相似于JB 元素的结构元素的结构 JordanJordan矩阵是上

52、三角矩阵矩阵是上三角矩阵 对角矩阵是对角矩阵是Jordan Jordan 矩阵矩阵第71页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. Jordan标准形的求法标准形的求法方法一 特征向量法P 9-10注：注：1.1.属于某一个特征值的属于某一个特征值的若当块个数由它若当块个数由它的几何维数确定。的几何维数确定。2.2.该方法只适用于阶数较低的矩阵该方法只适用于阶数较低的矩阵第72页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7 7 求下列矩阵的求下列矩阵的Jordan标准形。标准形。-10131-1(1)=120 ;(2)= -202.-403-113AB 1231=1,=2

53、 .（ ）1110= 010002J1 1的几何维数是的几何维数是1 1，故它对应一个若当块。，故它对应一个若当块。1232=2. （ ）2 2的几何维数是的几何维数是2 2，故它对应两个若当块。，故它对应两个若当块。2210= 020002J第73页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法二 初等因子法( )=|AfIA1212smmms， ，（1 1）求出特征多项式）求出特征多项式的初等因子组，设为的初等因子组，设为（2 2）写出各）写出各Jordan块矩阵（一个初等因子对应一个块矩阵（一个初等因子对应一个Jordan块矩阵）块矩阵） 1010iiiiniiiiinnJ（3 3

54、）合成）合成Jordan矩阵：矩阵：1200sJJJJ第74页，共97页。4 25213(1)= 6 49 ;(2)= 639 .5 37426AB 例例8 8 求下列矩阵的求下列矩阵的Jordan标准形。标准形。由例由例6 A初等因子为：初等因子为：2,1. B初等因子为：初等因子为：,11. 1010= 000001J2000= 00000-11J第75页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法三 行列式因子法（1）求求E-A 的各阶行列式因子的各阶行列式因子 iD 1iiiDdD（2）求求E-A 的各阶不变因子的各阶不变因子 （3）求求E-A 的初等因子，确定的初等因子，确定

55、Jordan标准形。标准形。 第76页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9 9 求下列矩阵的求下列矩阵的Jordan标准形。标准形。210110120011114101010310000040100013A 第77页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 210110120011114101()010310000040100013IA第1-4行与第1、2、4、5列交叉的元素形成的四阶子式为 21111201(2)(34)11100131第78页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 210110120011114101()010310000040100013I

56、A第1、2、3、5行与1、3、4、5列交叉的元素形成的四阶子式为220111001(4)14100004 第79页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 210110120011114101()010310000040100013IA4( )1D123( )( )( )1DDD这两个子式的公因式为这两个子式的公因式为1 1，故，故 第80页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 210110120011114101()010310000040100013IA第1-5行与第1、2、3、5、6列交叉的元素形成的五阶子式为22101012011(2)(4)11401010100004

57、0 第81页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 210110120011114101()010310000040100013IA第1、2、3、5、6行与第1、3、4、5、6列交叉的元素形成的五阶子式为321110120114(2)111010131010013第82页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)5( )(2)D336( )(2) (4)D1234( )( )( )( )1dddd5( )(2)d236( )(2) (4)d其它五阶子式均含其它五阶子式均含因式，故因式，故 特征值行列式为特征值行列式为 ，从而有，从而有初等因子组为(2)2(2)3(4)第83页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 相应的Jordan块为 22102410041004Jordan标准形为200000021000002000000410000041000004第84页，共97页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、Jordan标准形标准形的变换与应用的变换与应用1. Jo