矩阵运算及其应用

1、1第二章第二章 矩阵运算及其应用矩阵运算及其应用 2.1 矩阵的加减乘法矩阵的加减乘法2.2 矩阵的逆矩阵的逆2.3 矩阵的分块矩阵的分块2.4 初等矩阵初等矩阵2.5 应用实例应用实例2.6 习题习题22.1 矩阵的加减乘法矩阵的加减乘法2.1.1 矩阵的加法矩阵的加法定义定义2.1 设有两个同型的 矩阵， ，矩阵矩阵A与矩阵与矩阵B的和的和记作 ，规定为：nmijm naA ijm nbBA +B111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnabababababababababA+B3若 ，把 记作 ，称为A的负矩阵。显然有： 由此可定义矩阵的减法矩阵的减法为：i

2、jm naAnmijaAA+ -AOA-B = A+ -B42.1.2 矩阵的数乘矩阵的数乘定义定义2.2 数 与矩阵 的乘积，简称数乘数乘，记作 或 ，规定为ijm naAAA111212122212nnmmmnaaaaaaaaaAA5矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算，矩阵的线性运算满足下列运算规律（A、B、C是同型矩阵， 、 是数） （1）加法交换律 （2）加法结合律 （3） （4） A+B=B+AA+B +C= A+ B+CA+O = AA+ -A =O6（5）（6）（7）（8）数乘分配律 AAAA+BAB1A = A AAA72.1.3 矩阵的乘法矩阵的乘法定义定义2.3 设A是矩

3、阵，B是矩阵，那么矩阵矩阵A 和矩阵和矩阵B的乘积的乘积是一个矩阵C，其中记作 C=ABsjisjijiskkjikijbabababac22111njmi,2, 1;,2, 18由定义知，只有当第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等，即它们的内阶数相等时，两个矩阵才能相乘。 乘积矩阵的第 元素等于前一个矩阵的第 行各元素与后一个矩阵的第 列相应元素乘积之和，即： ji,ij9定义定义2.4 对于变量 ，若它们都能由 变量线性表示，即有： （2-1）则称此关系式为变量 到变量 的线性变换线性变换。 nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121

4、111myyy,21nxxx,21nxxx,21myyy,2110可以写成输出向量Y等于系数矩阵A左乘输入向量X：1111211221222212nnmmmmnnyaaaxyaaaxyaaax Y =AX11例例2.4 式（2-2）给出变量 到变量 的线性变换；式（2-3）给出变量 到变量 的线性变换。请写出变量 到变量 的线性变换。 （2-2） （2-3） 321,xxx21, yy21,tt321,xxx21,tt21, yy32322212123132121111xaxaxayxaxaxay232131322212122121111tbtbxtbtbxtbtbx12解：方法一方法一，代换

5、法。 将式（2-3）代入式（2-2），得： （2-4） 方法二方法二，矩阵运算法。 根据矩阵乘法的定义，可以把式（2-2）和式（2-3）分别写为式（2-5）和式（2-6）的矩阵等式： 232232222122113123212211212232132212121113113211211111tbababatbababaytbababatbababay13 （2-5） （2-6） 把式（2-6）代入式（2-5）中，得：11112131221222323xaaayxaaayx11112122122233132xbbtxbbtxbb 11121312122232aaayaaay11121212223

6、132bbtbbtbb 14 （2-7） 式（2-7）和式（2-4）等价。通过这个例子，可以看出矩阵乘法在线性变换中的运用。 11 1112 2113 3111 1212 2213 321121 1122 2123 3121 1222 2223 3222a ba ba ba ba ba byta ba ba ba ba ba byt 15有了矩阵乘法的定义后，可以把一般的线性方程组（1-3）写为矩阵形式： （2-8） 若用A表示系数矩阵，X表示未知量构成的向量，b表示常数项所构成的向量，则式（2-8）可以化简为： AX=b1112111212222212nnmmmnnmaaaxbaaaxbaa

7、axb 16例例2.5 已知 ， ， 求 AB，BA解：根据矩阵乘法定义，有：121340256A1020103058 BAB =12134025610201030581 10 2 ( 10) ( 1) ( 5)1 20 2 30 ( 1) 83 10 4 ( 10) 0 ( 5)3 20 4 30 0 8( 2) 10 5 ( 10) 6 ( 5) ( 2) 20 5 30 6 8 17由于矩阵有2列，矩阵有3行，所以B不能左乘A。由矩阵乘法定义和前面的例题可以看出：（1）矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况 下 （2）不能由 ，推出 或57210180100158ABBAAB = OA =O

8、B = O18（3）不能由 ， ，推出 在一般情况下有：矩阵乘法满足下列运算规律： （1） （2） AC= ABAOB = C22222(A +B)A + 2AB+B(A +B)(A-B)A -BAB C = A BCA B +C = AB + ACA+B C= AC+BC19（3） ， 为数 （4）（5） ， ，其中 为正 整数， 必须为方阵。 ABA BABm nnmm nm nAII AAklk lA AAlkklAAlk,A202.1.4 矩阵的转置矩阵的转置定义定义2.5 设是 一个 矩阵，将矩阵 中的行换成同序数的列得到的一个 矩阵，称为矩阵 的转置矩阵转置矩阵，记作 ，或 。例如

9、， ， 则ijaAnmAmnATAA153294A125934TA21矩阵转置满足以下运算规律（1） （2） （3） （4） TTAATTTA +BABTTAATTTABB A22在此只证明（4）证明：设 , ,记 ， ，据矩阵乘法定义及矩阵转置定义知：而 的第 行就是 的第 列，为： ， 的第 列就是 的第 行，为： ，因而有ijm saAijs nbB ijm ncAB = CTTijn mdB ADskkjikijbac1TBjBjsjjjbbb,21TAiAiisiiaaa,2123即得 ，亦即 。定义定义2.6 如果n阶方阵 满足 ，则称为对称矩阵对称矩阵。如果n阶方阵 满足 ，则称

10、为反对称矩阵反对称矩阵。显然反对称阵的主对角线上元素都是零。 issjijijjiabababd2211sjisjijibababa2211ijcnjmi,2,1;,2,1TC = DTTTAB= B ATA = AAATA =A242.2 矩阵的逆矩阵的逆2.2.1 逆矩阵的定义逆矩阵的定义定义定义2.7 设 为n阶方阵，若存在n阶方阵 ，使得 ，其中 为n阶单位矩阵，则称 为可逆矩阵可逆矩阵或 是可逆的可逆的，并称 为 的逆矩阵。如果 的逆矩阵为 ，记 ，显然，则 的逆矩阵为 ，记 ，我们也称矩阵 和矩阵 互逆互逆。 ABnAB = BA = InIAAABAAABBB-1A= B-1B=

11、 A25例例2.7 设 , , ,分析矩阵 和矩阵 、矩阵 和矩阵 的关系。解： 1213A3211B369C1/31/61/9DABCD1213AB12131001BA32121113 100126所以，矩阵 和矩阵 互为逆矩阵。矩阵 和矩阵 也互为逆矩阵。B369CD1/31/61/9111111CDA1/331/ 661/99 DC =272.2.2 逆矩阵的性质逆矩阵的性质性质性质1 如果矩阵 可逆，则 的逆矩阵唯一性质性质2 若 和 为同阶方阵，且满足 则 ，即矩阵 和矩阵 互逆。性质性质3 若 可逆，则 也可逆，且 性质性质4 若 可逆，数 ，则 可逆， 且 性质性质5 若 、 均

12、为 阶可逆方阵，则 也可 逆，且 AABAB = IBA = IABA-1A-1-1A= AA0A11-1AAA BnAB-1-1-1AB= B AA28性质性质6 若 可逆，则 也可逆，且例例2.8 设方阵 满足 ，试证 可逆，并求 。解：根据已知条件，可以得到： 则有： 所以矩阵 可逆，且 。ATA 11TTAAA2A +2A-5I = OA-1AA A+2I = 5IA+2IA= I5A25-1A+ IA=292.3 矩阵的分块矩阵的分块在矩阵运算中，特别是针对高阶矩阵，常常采用矩阵分块的方法将其简化为较低阶的矩阵运算。 用若干条纵线和横线将矩阵分为若干个小矩阵，每一个小矩阵称为的子块子

13、块，以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵分块矩阵。30比如将43矩阵 分为 , , ,它们可分别表示为： A11122122AAAA123AAA111221223132AAAAAA111213212223AAAAAA31分块矩阵的运算与普通矩阵类似，1加法运算加法运算设 ，都是 矩阵，且将 ， 按完全相同的方法分块：AABBnm11121s21222sr1r2rsAAAAAAAAAA11121s21222sr1r2rsBBBBBBBBBB111112121s1s212122222s2sr1r1r2r2rsrsA+BA+BA+BA+BA+BA+BA+BA+BA+BA+B322数乘运算数乘运算设 ,有

14、：3乘法运算乘法运算设 为 矩阵， 为 矩阵，将它们分别分块成11121s21222sr1r2rsAAAAAAAAAA11121s21222sr1r2rsAAAAAAAAAAAlmBnl11121s21222sr1r2rsAAAAAAAAAA11121s21222sr1r2rsBBBBBBBBBB33其中 的列数分别等于 的行数 ，即 可以左乘 。则有：其中 i1i2itA ,A ,A1j2jtjB ,B ,B;, 2 , 1risj, 2 , 1ikAk jB1,2,;1,2, ;1,2,ir js kt11121s21222sr1r2rsCCCCCCABCCC1tkiji11ji22jit

15、tjikk jC= A B + A B+ A BA B344转置运算转置运算 设 有：注意分块矩阵的转置，不仅要把每个子块内的元素位置转置，而且要要把子块本身的位置转置。 11121s21222sr1r2rsAAAAAAAAAA2TTTTTTTTTT1121s11222s21rrsrAAAAAAAAAA355分块对角矩阵分块对角矩阵如果将方阵 分块后，有以下形式：其中主对角线上的子块 均是方阵，而其余子块全是零矩阵，则称 为分块分块对角矩阵对角矩阵，记为 。A12rAAAAiAri, 2 , 1A,diag12rAA ,A ,A36设有两个同型且分块方法相同的对角矩阵则有 r21AAAAr21

16、BBBBrr2211BABABAABkrk2k1kAAAA37对于上面的分块矩阵 ，若对角线上的所有子块 都可逆，则有：例例2.9 利用分块矩阵的概念，把下列线性方程组写成向量等式。A12rA ,A ,A1111r21AAAA34432422262243214321421xxxxxxxxxxx38解：线性方程组的矩阵表示为：把系数矩阵按列分成4块：与常数矩阵 分别用向量 和向量 来表示，则有： 3224413421260224321xxxx446,420,112,3223221234 , , ,b39进而得到向量等式： 1234xxxx1234 , , ,b1234xxxx1234 = b40

17、2.4 初等矩阵初等矩阵定义定义2.8 单位矩阵 经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵或初等方阵初等方阵。前面介绍了三种初等变换，每一种初等变换，都有一个相对应的初等矩阵（1）交换单位矩阵 的 , 两行（或 , 两列），得到的初等矩阵记为 ，即： IIijji, i jE41 （2-12） 11011,11011ii jjE行行42（2）用一个非零数 乘单位矩阵 的第 行（或第 列），得到的初等矩阵记为 ，即： （2-13） kIii i kE 1111i kkiE行43（3）将单位矩阵 第 行的 倍加到第 行上（或将单位矩阵第 列的 倍加到第 列上）得到的初等矩阵记为 ，即： （

18、2-14） Ijjkkii , i j kE 11,11kii j kjE行行44例例2.10 设求：E1*A，E2*A，E3*A。 111213212223313233 a a a a a a a a aA 0 1 0 1 0 0 0 0 1E1 1 0 0 0 4 0 0 0 1E2 1 0 0 0 1 0 4 0 1E345解：111213212223212223111213313233313233 0 1 0 a a a a a a 1 0 0 a a a a a a 0 0 1 a a a a a a A1= E1*A111213111213212223212223313233313

19、233 1 0 0 a a a a a a 0 4 0 a a a 4a 4a 4a 0 0 1 a a a a a a A2 = E2*A111213111213212223212223313233311132123313 1 0 0 a a a a a a 0 1 0 a a a aa a 4 0 1 a a aa +4a a +4a a +4a A3=E3*A46定理定理2.1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，其结果等于在次初等行变换，其结果等于在 的左边乘以的左边乘以相应的相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变施行一次初等列变换，其结果等

20、于在换，其结果等于在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初阶初等矩阵。等矩阵。AAAAAnmmn47定理定理2.2 设设 为为 阶方阵，那么下面各命题阶方阵，那么下面各命题等价：等价：（1） 是可逆矩阵；是可逆矩阵；（2）线性方程组）线性方程组 只有零解；只有零解；（3） 可以经过有限次初等行变换化为单位可以经过有限次初等行变换化为单位 矩阵矩阵 ；（4） 可以表示为有限个初等矩阵的乘积。可以表示为有限个初等矩阵的乘积。AAAAnAx =OnI48例例2.11 设判断 、 是否可逆，如果可逆，请求之。解： 132365111 A362241121BA BIA13-2100-3-6501011

21、-100113123rrrr13210003131002110122321rrr1 321000 10.50.5 00.50 31310232133rrrr1 00.50.5 01.50 10.50.500.50 00.51.511.549则矩阵 可逆，且其逆为： 32r1 00.50.5 0 1.50 10.50.5 00.50 0132332315 . 05 . 0rrrr100113010211001323113211323-1AAB I 3 6 21 0 02 4 10 1 01 2 10 0 131rr 12100124101036210050显然矩阵 通过初等行变换不能化为单位矩阵

22、，则矩阵 不可逆。 是降秩的。它通过初等行变换，可以化出一个零行，则其秩为2。故当A不可逆时，(2-15)式应改为：其中是 秩为r的nn方阵，rM=0.1,0.3,0.15;0.3,0.4,0.25;0.1,0.2,0.15;P=4000,4500,4500,4000;2000,2800,2400,2200;5800, 6200,6000,6000;Q=M*P Q = 1870 2220 2070 1960 3450 4020 3810 3580 1670 1940 1830 1740Q = M PQQ54为了进一步计算矩阵Q的每一行和每一列的和，可以继续键入：Q*ones(4,1)ans =

23、 8120 14860 7180ones(1,3)*Qans = 6990 8180 7710 7280并可以继续算出全年的总成本：ans*ones(4,1)ans =30160 55根据以上计算结果，可以完成每季度总成本分类表，如表2.8所示。表2.8 每季度总成本分类表成本（元）夏 秋 冬 春 全年 原材料 18702220 2070 19608120劳动 34504020 3810 3580 14860企业管理费 16701940 1830 17407180总成本（元） 69908180 7710 7280 30160562.5.2 特殊矩阵的生成特殊矩阵的生成例例2.13 在Matla

24、b环境下生成矩阵X：矩阵X有相同的10行，每一行都是公差为1的等差数列。解：令则 ，就实现了矩阵赋值。 1090910109091010909102110X1T2vvX 10 10, 9,9,10,1,1,1,1 12vv 57键入MATLAB语句： v1= -10:10; v2=ones(1,10) X=v2*v1例例2.14 在Matlab环境下生成范德蒙矩阵。解：这里用了Matlab的符号运算功能。键入：syms x1 x2 x3 x4 real% 令x1 x2 x3 x4为实数符号变量x=x1,x2,x3,x4; y=0:3;A= x*ones(1,4)B=(ones(4,1)*yV=

25、A.B % 两个方阵的元素群求幂 58程序的运行结果为：Matlab内置的范德蒙矩阵生成函数vander.m是不能用符号表示的，只能产生数值矩阵。 x1, x1, x1, x1 0 1 2 3 1 x1 x12 x13 x2, x2, x2, x2 0 1 2 3 1 x2 xA=,B=, V= x3, x3, x3, x3 0 1 2 3 x4, x4, x4, x4 0 1 2 322 x23 1 x3 x32 x33 1 x4 x42 x43592.5.3 逆矩阵的求解逆矩阵的求解例例2.15 设 试求其逆阵解：当矩阵的阶数较高时，利用Matlab辅助计算就尤显重要。用Matlab来求矩

26、阵的逆，其方法很多。首先在Matlab环境下键入：A=3,0,3,-6;5, -1,1, -5; -3,1,4, -9;1, -3,4, -4; 3 0 3 65 1 1 531 4 913 4 4A60方法1, A-1, 方法2, inv(A), 方法3, Aeye(4),方法4, U=rref(A,eye(4); U(:,5:8)运行结果都为：ans = 0.2323 -0.0101 -0.1313 -0.0404 0.5354 -0.3131 -0.0707 -0.2525 0.5859 -0.4747 -0.1717 0.1010 0.2424 -0.2424 -0.1515 0.030361例例2.16 求矩阵 的逆。解：矩阵求逆命令inv也可以用符号变量。在Matlab环境下，键入：syms a b c d, A