二项式定理题型与方法

1、二项式定理题型与方法求（x+y）n展开特定项例1：（1+3X）11（其中n£N*且n26）的展开式中X5与x6的系数相等，则n=（）A.6B.7C.8D.9解：由条件得C5=W6,%！(n-5)!=6!(n-6)!*，3(n-5)=6,n=7.故选B.例2：（2014大纲）信一用8的展开式中/的系数为.（用数字作答）1=,、33=(-1)Csx8-pyp-4,所以展开式中Wy2的系数为（-1）七=70.故填70.解：岛一甩8展开式的通项公式为令8-3=2,解得r=4,此时3-4=2,求(a+b)m+(x+y)”展开特定项例1：在(l-x)5+(l-x)6+(lx)7+(l-x)3的展

2、开式中，含X3的项的系数是()A.74B.121C.-74D.-121解析展开式中含x3项的系数为cj(-1)3+d(-1)3+cf(-i)3+d(-i)3=-i2i.求(a+b)m.(x+y展开特定项例L(2013,全国课标卷H)已知Q+ax)(l+x)5的展开式中x2的系数为5,贝lja=()A.-4B.-3C.-2D.-l解：(1+ax)(l+x)5的展开式中x2项为C5X2+ax-C5X=lOx2+5ax?=(10+5a)/.丁/的系数为5,-MO+5a=5,a=-1.故选D.例2：(2014浙江卷)在(l+x)6(l+y)4的展开式中，记丹1项的系数为f(m,n),则f(3,0)+K

3、2,2)+K0,3)=()A.45B.60C.120D.210解析在Q+x)6的展开式中，e的系数为cP在(l+y)4的展开式中，V的系数为C3,故f(m,11)=0CS.从而其3,0)=C6=20,f(2,1)=Cg-ci=60,f(l,2)=cj-ti=36,f(0,3)=44,所以郎,0)+f(2,1)+即,2)+f(0,3)=120,故选C.例3：已知数列aj是等差数列，且a6+a7=10,则在(x-ai)(x-aQ(x-aQ的展开式中，/的系数为.解：V】的系数为(a1+a?+a。=6(%+a?)=-60。求(x+y+z)n展开特定项例1：求住十：十闾5(XX)的展开式经整理后的常数

4、项.1/7解法一：仔+，阊在x）0时可化为（1A10-r10-2r因而1.i=Go（同（5），则r=5时为常数项,解法二：所给的式子为三项式，采用两个计数原理求解.5分三类：5个式子均取娘，则C?（娘）=4也；取一个看一个g三个啦，则C哨d（O=202；取两个不，两个一个娘，则ci仔右娘=£克.所以，常数项为4近+20小+I',=63.点拨：三项式的展开式问题，通常可用解法一化为二项式问题，或者用解法二化为计数问题.例2：若将（x+y+z严展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）.A.11B.33C.55D.66解：展开后，每一项都形如父状才，其中a+b+c=10,该方程

5、非负整数解的对数为G晨：!=66-例3：2015课标全国卷IKW+x+yp的展开式中，xY的系数为（）A.10B.20C.30D.60解析易知丁.=4（胃7产。，令1=2,则13=或（炉7）31,对于二项式（X2+x）3»由Tfi=©（力）3-父=c；x"，令t=L所以x5）的系数为C：C；=30.二项式展开逆向问题例1：(2013广州毕业班综合测试)若d+3d+3?东+3,2弋7+3,1=85,则n的值为()A3B.4C.5D.6解：由CL+3C+3x241+3x1=3(1+3尸-1=85,解得n=4.故选B.赋值法求系数(和)问题例1：已知Q2乂)7=2。+6

6、+2/+动(.求：(1)町+2+a7；(2)ai+33+35+37：(3)30+32+34+36；(4)|ao|+|3i|+|a2|+,*+|a7|.解：令x=1,则a。+的+a2+a3+JU+as+a6+a7=-1.令X=-1,J51ao-31+32-33+34-35+36-37=37.®(1)Vao=C?=1,ai+32+33+a7=-2.-1-37(2)(-)-2,得a1+a?+as+a7=-1094.-1+37(3)(+尸2,得a0+a2+a4+a6=；=1093.®2/7(4),.,(1-2x)7的展开式中，a。，a?,a.ra6大于零，而船，a$,a)小于零，|

7、so|+同|+|a?|+|ay|=(ao+a；+山+ag)(ai+a3+as+a7)，.所求即为应)-(亦即)，其值为2187.点拨：“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如(ax+b)，(af+bx+c)m(a,b,c£R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=l即可：对形如(ax+by)n(a,b£R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=l即可.若f(x)=ao+aix+a2W+工，则Rx)展开式中各项系数之和为f(l),奇数项系数之和为20+22+24+=,(1)7T)偶数项系数之和为a1+a3+as+=,(1)一；(一】)

8、,例2：设惇+x=ao+aix+a2X2H则(ao+az+a4HFa2n)*(ai+as+a5HHa2n-i)2=，解：设财=惇+乂，则(a。+a：；+4+a2nJ2(ai+33+85+a2n-i)*=Go+a?+例3：已知(x+lf(x+2严4=ao+ai(x+2)+aKx+2)2dFa2oi6(x+2)2016,则:+争+翳HF舞II的值为.解：依题意令X=-1,得(_,+1312014亍W=a。+ai(-号+2)+a2(-:+2)+2016(：+22016,令x=-2得a0=0,则工+?+a2016m2016平移后系数问题例1：若将函数其x)=x'表示为Rx)=ao+ai(l+x

9、)+a2(l+x)2dFasQ+x)'，其中ao,ai，a?，等为实数，则a3=.解法：令x+l=y,(yI)，=刖+a»+a?/+asy5,故3=Y(一以=10.,5=1，解法二：由等式两边对应项系数相等.即：SC535+a4=0,解得3=10.品5+品4+3=0,解法三：对等式：f(x)=(=a。+的(1+X)+2(1+X)2+*(1+x)5两边连续对X求导三次得：6OX2=6a3+24a4(l+x)+60a5(l+x)2,再运用赋值法，令x=-l得：60=6a3,即a?=10.故填10.二项式系数、系数最大值问题例1：(5+/)n的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大

10、，则第四项为解析由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n=9,(5+白夕展开式的第四项3/7为T4=或(5)6.出=y.例2：把Q-x)9的展开式按x的升靠排列，系数最大的项是第项()A.4B.5C.6D.7解析(l-x)9展开式中第r+1项的系数为0(-1),易知当r=4时，系数最大，即第5项系数最大，选B.例3：(l+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.解：T6=d(2x)5,T7=Ci(2x)6,依题意有&2$=d2,，解得n=8.所以(1+2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为Ts=8-(2x)4=1120x4设第T+1

11、项系数最大，则有解得546.所以1=5或1=6,所以系数最大的项为&=1792X5或0=1792X6.点拨：Q)求二项式系数最大项：如果n是偶数，则中间一项(第T+1项)的二项式系数最大：如果n是奇数，则中间两项(第上署项与第粤4+1项)的二项式系数相等并最大.(2)求展开式系数最大项：如求(a+bx(a,b£K)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，列出不等式组伫:广“'从而解出r,即得展开式系数最大的项.ianA+i，两边求导法求特定数列和例1：若(2xBynao+aix+azW+asd+adX4+asX5,贝ija1+2a2+3a3+4a4+5a5=解析原

12、等式两边求导得5(2x-3)4-(2x-3)z=ai2a?x+33胃+4a4+5a5X4,令上式中x=1,得a+2a2+3a3+4a4+5a5=10.两边积分法求特定数列和例1：若等式(女-fy1-+x+3+21/对一切实数x恒成立，则3qH!a、+-4a、(的值为.213-2015-解:.(改一1)蚪=/+，"十叼1十.十，0141014,.£N一1)=(Q。+=anai+一al11a二口A20152320154/7整除问题例1：设a£Z,且0Wa<13,若5J°i2+a能被口整除，则a=()A.0B.1C.11D.12VC?on-52-ol2-

13、c|oi252.°n+C5给X52.(-1)2011能被13整除.221A1Aoo(-1)+a=l+a也能被13整除.例2：已知m是一个给定的正整数，如果两个整数a,b除以m所得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作a三b(niodni),例如：5=13(mod4).:22015=r(mod7),则r可能等于()A.2013B.2014C.2015D.2016解:22015=22X23x671=4X8671=4(7+I)671=4(7671+4+d劭+1).因此22°除以7的余数为4.经验证，只有2013除以7所得的奉数为4.故选A.习题荟萃1、(2013青岛一检)“n=5

14、”是“(n£N*)的展开式中含有常数项”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件解：因为D.既不充分也不必要条件口的展开式的通项Tl=C2nr.*含有常数项时满足一此时若含有常数项，则n=5k(k£N*),故“n=5”是(I、“2/x+(n£N)的展开式中含有常数项”的充分不必要条件.故选A.2、己知C：+2d+22c：+23Y+2=729,则cg+cg+Y+C：等于()A.63B.64C.31D.32解析逆用二项式定理得Cn+2Cn+23C+23d+-2nCi=(1+2)n=3n=729,即3n=36,所以n=6,所以+/+以+筑=26-(=64-

15、1=63.故选庆.3、组合式C：-2dl+4C：-8C：+(2)，«的值等于()A.(l)nB.1C.3nD.3n-l解析在Q+X)n=C+CX+cl2+中，令X=-2,得原式二(12)n=(_l)n.4、若(1+x+x2)6=ao+aix+a?x3HFax12,则2+4-1Fai2=.5/736+l解析令x=1,则a。+ai，a?+a12=36,令x=-1,则a。-ai+a?-+a2=1，ao+a2+=36+1令x=0,则a。=1,/.a2+34+an=z-1=364.5、已知(l+x)i°=ao+ai(lx)+a：j(lxfdFaio(l-x)10,则a§=(

16、)A.-180B.180C.45D.-45解析因为(1+x)10=a0+ai(l-x)+a2(l-x)2+a10(l-x)10,所以2(1x)。=a。+ai(l-x)+a2(l-x)2+aio(l-x)10,所以as=C：022(-I)8=180.6、(l+2x)3(l-x)4展开式中x项的系数为()A.10B.-10C.2D.-2解析(l+2x尸Q-x)”展开式中的x项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为d(2x)°cic-xZ+cWdl4(-x)°,其系数为C§C；(-1)+C；2=-4+6=2.7、

17、(l+x)8(l+y)4的展开式中W/的系数是.解析(l+x)8的通项为其d,(l+y)4的通项为C9,.(1+x)“l+y)4的通项为cK/y,令k=2,t=2,得fy2的系数为=168.8、在(l+x)3+Q+x)4+Q+X)50的展开式中，X3的系数为()A.C；iB.C：C.CjD.Cj解：c；+c：+c；+.+c1=c；9、在(x+l)(2x+l)(nx+l)(n£N)的展开式中一次项系数为()解析1+2+3+11="1)=Cqh-10、(2015安徽合肥二检)(W-x+l)i°展开式中X3项的系数为()A.-210B,210C.30D.一30解析由题意

18、，得($-乂+1尸=区区-1)+1产=C?ox(x-1)°I10+Ciox(x-I)119+Ciox(x-1)31S+Ciox(x-1)317+Ciox(x-1)101°=C10+CioX(X-1)+Ci(pr(x-1)2+CioX3(x-I)3+C1§X1O(X-I)10,x3出现在CiOx3(x-I)2+cfoxx-I)3=CioCx2-2x+1)+CJo/G-3+3xT)中,所以6/7X3前的系数为C?o(-2)+Cio(-1)=-90-120=-210,故选A.11、若(l+，Z)5=a+s/I(a,b为有理数)，则a+b等于()A.45B.55C.70D.80解析：由二项式定理得(1+啦f=1+CyV2+C5(2)2+Cy(V2)3+Cy(2)4+Cyfyfl)5=1+5啦+20+20*+20+4啦=41+29镜，即a=41,b=29,所以a+b=70.12、设(13x)9=a°+aix+a2WdFag胃，则|ao|+|ai|+E|HHaJ的值为()A.25B.49C.39D.59解析：判断刖,32，8为正，ai，打，35，,ag为负，故令x=T即可.故选B.13、在（、氏一（，的展开式中，（1）系数的绝对