第2节收敛数列的性质ppt课件

1、1.21.2收敛数列的性质收敛数列的性质 定理定理2.1 (2.1 (唯一性唯一性) ) 若数列收敛若数列收敛, , 则其极限唯一则其极限唯一. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使使得得., 021NN 1;nnNxa 时时恒恒有有2;nnNxb 时恒有时恒有一、一、 收敛数列的基本性质收敛数列的基本性质 ,max21NNN 取取时时有有则则当当Nn )()(axbxbann .2 axbxnn.时时才才能能成成立立上上式式仅仅当当ba 故极限唯一故极限唯一.例如例如,;1 nn数列数列.2n数列数列有界有界无界相应的相应的, , 可以给出有界和有下界的定义可以给

2、出有界和有下界的定义定义定义2.1 (2.1 (数列有界的定义数列有界的定义) )若存在一个实数若存在一个实数M M，对数列所有的项都满足，对数列所有的项都满足, ，对数列对数列na, 3 , 2 , 1, nMan.的上界的上界是是则称则称naM一个数列即有上界又有下界一个数列即有上界又有下界, , 则称为有界数列则称为有界数列. .定理定理2.2 2.2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时时恒恒有有使使得得当当则则. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数

3、则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：有界性是数列收敛的必要条件注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .o* 1 lim, , NN , , ; nnnaaanNa 设设且且则则存存在在当当时时 有有数列极限的保序性）数列极限的保序性）(定理定理2.3 2.3 几何解释几何解释* 2 lim, lim, , NN , ; onnnnnnaabbabnNab 设设且且则则存存在在当当时时 有有. , ,N, ,lim ,lim 3 babaNnbbaannnnnno 则则有有有有时时当当若若设设几何解释几何解释 | ,2)1(11aaNnNan当当取取

4、;2 aaan即即,222 naNnNa当当同同理理，取取.,max21 naNnNNN当当取取证明证明 则则令令,2)2(ab .2,| ,11baaaaaNnNnn 即即时时当当.2,| ,22babbbbNnNnn 即即时时当当.,max21nnbaNnNNN 由由上上得得当当取取.)2()3(可得可得用反证法由用反证法由注注.,)3(babann 也也可可有有中中即即使使有有定理定理2.4二、二、 极限的四则运算极限的四则运算则则设设,lim,limbbaannnn ;lim)1(babannn ;lim)2(babannn . 0,lim)3( bbabannn其中其中证证 ; )1

5、(得得绝绝对对值值的的三三角角不不等等式式可可由由| )2(abababbaabbannnnnn . |bbabaannn 和和有界有界收敛，可得收敛，可得，由由Mbbbannnn |,)1(2| , 011 MaaNnNn ,)1(2| ,22 abbNnNn .|,max21 abbaNnNNNnn得得当当取取bbnn11lim )3( 先先证证| |1120, , ,bNnN 对对于于当当时时,2|bbbn . 02| bbn且且此此时时有有时时所所以以当当 ,1Nn . |22bbbn |11| bbbbbbnnn 便便有有时时因因此此当当 ,max21NNn .11lim ,bbnn

6、 即即证证得得.)2(易见结论成立易见结论成立再由再由*2lim, 0, N, nnbbN 由由于于对对当当.2| ,N22 bbbnn 有有时时.|2|11| 2 bbbbbnn例例1 1.145432lim22 nnnnn求求22145432limnnnnn 原式原式221lim4lim5lim4lim3lim2limnnnnnnnnnn 52 解例例2 2).1(lim , 1|12 nnqqqq计计算算极极限限设设).1(lim12 nnqqqqqqnnn 1lim11lim nnqqq lim1111 .11 q qqnn 11lim解解 11101110lim,0,0mmmmmkk

7、knkka nana namk abb nbnb nb 11101110limmmmmkknkka nana nab nbnb nb 1111011110,lim0,.mm km kkkmmkkknkkamka nana na nbbbnb nb nmk 例例3 3 计算计算.解 由于 11284im114lnnn 计计例例算算 11241212841128411: lim11lim11nnnnnnnn 解解 122111122844222111112228424211lim111111lim111111nnnnnnnnnnnnnnnn 11111222842422lim0111111nnnn

8、nnnn 三、 夹逼定理证证使得使得, 0, 0, 021 NN 定理定理2.52.5满满足足：若若数数列列,nnncba则则且且,limlim, 3 , 2 , 1,nnnnnnncancba .limlimlimnnnnnncba 则则设设,limlimacannnn ,1 aaNnn时恒有时恒有当当,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nn , aaan即即,2 acNnn时恒有时恒有当当, acan上两式同时成立上两式同时成立, acbaannn,成成立立即即 abn.limaxnn 例例5 5).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnn

9、nnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn1lim: 0, 1 naan求求证证设设nnna111 , 1lim 1 nnn由由于于知知由由夹夹逼逼定定理理 ,.11lim1成成立立对对 aann于是于是这时这时再设再设 , 1 ),1, 0(1 aa. 1111lim1lim11 nnaann例例6 6有有时时当当先先设设 , 1, ana 证证例例7.7.kaaa 210设设那么那么knnknnnaaaa 21lim证明：knnknnknnnnkkakaaaaaa 21由夹逼定理

10、，由夹逼定理，knnknnnaaaa 21lim由不等式一子数列也收敛于一子数列也收敛于 .na定理定理2.6 2.6 如果数列如果数列收敛于收敛于a，那么它的任，那么它的任a定义定义2.22.2： 在数列在数列 中按照先后次序任意抽取中按照先后次序任意抽取na无限多项，这样得到的一个数列无限多项，这样得到的一个数列 称为称为 原数列的子数列，简称子列原数列的子数列，简称子列.kna四、子列极限取取,NK 则当则当时时Kk ，.NnnnNKk .lim,|axaxkknnn 证证得得于于是是 证证设设是数列是数列的任一子列，由的任一子列，由knxnx,limaxnn 故对于任意给定的正数故对于

11、任意给定的正数 存在着正整数存在着正整数,N当当Nn 时，时， |axn成立。成立。 221,kknaaa 例例7 7证证明明如如果果收收敛敛，则则收收敛敛. . .结论得证. 221*112*212:,0,2:,21:,kkkkaaNNnkNaaNNnkNaa 证证明明收收敛敛, ,因因此此 ,12max,:.nNNNnNaa 取取五、 无穷小. , 0简简称称无无穷穷小小这这个个数数列列称称为为无无穷穷小小列列那那么么的的极极限限为为如如果果收收敛敛数数列列na; | 1 为为无无穷穷小小为为无无穷穷小小的的充充要要条条件件是是nnoaa; , ,0 4*也也是是无无穷穷小小那那么么为为无

12、无穷穷小小如如果果设设nnnnoabNnba ; , , 3为为无无穷穷小小那那么么为为有有界界数数列列为为无无穷穷小小设设nnnnoacca;)( 2仍仍是是无无穷穷小小或或差差两两个个无无穷穷小小之之和和o.lim 5为为无无穷穷小小的的充充要要条条件件是是aaaannno 定义定义2.32.3： 定理定理2.7 2.7 综合举例综合举例.lim,lim21anaaaaannnn 求求证证已已知知例例1.1.证明：证明：anaaan 21，上上式式变变为为则则0lim nn aann 令令nnN 21naaaaaan)()()(21 2, 0* nNnNN时时，2)(|21 nNnnN,

13、0lim21 nNn ,2|21 nN.2221 nnnnN 21时时使使1*1,NnNN 例2证明证明：,lim21saaann ）（若若, 02lim21 nnaaann）（则则. 0lim,21 iiiisaaas则则令令nanasnnaaannn）（）（)1(2221 nsssssssnnnnn)()()(121 nsssnsnn)(21 nsssnn)(1 . 0 由例11211lim, lim.limnnnnnnnnaabba ba ba babn 例例3 3证证明明：如如果果，则则limlim0,nnnnaabbnnnn :lim,limnnnnaabb 证证明明 因因为为 1112121211121211.nnnnnnnnnnnba b bbabnnnab ababnnab bab bbn 进进 一一 步步 整整 理理1