导数习题课ppt课件

1、求求 导导 法法 那么那么根本公式根本公式导导 数数xyx 0lim微微 分分xydy 关关 系系)( xodyydxydyydxdy 高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分一、主要内容1 1、导数的定义、导数的定义即即或或记为记为处的导数处的导数在点在点并称这个极限为函数并称这个极限为函数处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与如果如果取得增量取得增量相应地函数相应地函数时时内内仍在该邻域仍在该邻域点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义在点在点设函数设函数,)(,)(,)(,0);()(,)(,)(0000000000

2、xxxxxxdxxdfdxdyyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 定义定义.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.2 2、根本导数公式、根本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(

3、logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx 常数和根本初等函数的导数公式常数和根本初等函数的导数公式222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx arc3 3、求导法那么、求导法那么设设)(),(xvvxuu 可可导导，则则（1）vuvu )(, （2）uccu )(c是是常常数数),（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.(1) 函数的和、差、积、商的求导法那么函数的和、差、积、商的求导法

4、那么(2) 反函数的求导法那么反函数的求导法那么.)(1)(),()(xxfxfyyx 则则有有的的反反函函数数为为如如果果函函数数(3) 复合函数的求导法那么复合函数的求导法那么).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的的导导数数为为则则复复合合函函数数而而设设(4) 对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu(5) (5) 隐函数求导法那么隐函数求导法那么用复合函数求导法

5、那么直接对方程两边求导用复合函数求导法那么直接对方程两边求导.,)()(间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy .)()()()()(322tttttdxyd (6) (6) 参变量函数的求导法那么参变量函数的求导法那么4 4、高阶导数、高阶导数,)()(lim) )(0 xxfxxfxfx 二阶导数二阶导数记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,记记作作阶阶导导数数的的函函数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数

6、一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)5、微分的定义、微分的定义定义定义.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或记作记作的微分的微分于自变量增量于自变量增量相应相应在点在点为函数为函数并且称并且称可微可微在点在点则称函数则称函数无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立如果如果在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函

7、数.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy ( (微分的本质微分的本质) )6 6、导数与微分的关系、导数与微分的关系).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点可微的充要条件是函数可微的充要条件是函数在点在点函数函数定理定理7 7、 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法: :计算函数的导数计算函数的导数, ,乘以自变量的微分乘以自变量的微分. .根本初等函数的微分公式根本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(ta

8、nsin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( arc 函数和、差、积、商的微分法那么函数和、差、积、商的微分法那么2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 8 8、 微分的根本法那么微分的根本法那么 微分方式的不变性微分方式的不变性的的微微分分形形式式总总是是函函数数是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量无无论论)(,xfyx dx

9、xfdy)( 二、典型例题例例1 1).0(),100()2)(1()(fxxxxxf 求求设设解解0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 例例2 2.,1111ln411arctan21222yxxxy 求求设设解解,12xu 设设,11ln41arctan21 uuuy则则)1111(41)1(212 uuuyu411u ,2142xx )1(2 xux,12xx .1)2(123xxxyx 例例3 3.,45202 tdxdyt ttyttx求求设设解解分析分析:,0导数不存在导数不存在时时当当tt ,0不存在不存在时时当当dtdydtd

10、xt 不能用公式求导不能用公式求导.tttttxytx 24)(5limlim200)sgn(2)sgn(45lim0tttt . 0 . 00 tdxdy故故.,)0, 0()(22dxydyxxyxfyyx求求所确定所确定由方程由方程设函数设函数 例例4 4解解两边取对数两边取对数,ln1ln1xyyx ,lnlnxxyy 即即, 1ln)ln1( xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy).(, )2()(xfxxxxf 求求设设例例5 5解解先去掉绝对值先去掉绝对值,2),2(20),2(0),

11、2()(222 xxxxxxxxxxf,0时时当当 x, 0)0()0( ff; 0)0( f,20时时当当 x;43)(2xxxf ,02时时或或当当 xx;43)(2xxxf ,2时时当当 x2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx. 4 2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx. 4 ),2()2( ff.2)(处不可导处不可导在在 xxf , 20 ,43, 0, 00, 2,43)(22xxxxxxxxxf或或.,)(sincosyxxyx 求求设设例例6 6解解)(ln yyy)sinlncos(ln xxxy)sincoss

12、inlnsin1()(sin2cosxxxxxxxx .,114)(22nyxxy求求设设 例例7 7解xxxxy)1111(234 xx,)1(!)1()11(1)( nnnxnx,)1(!)1()11(1)( nnnxnx.)1(1)1(1 !)1(2311)( nnnnxxny一、一、 选择题：选择题： 1 1、函数、函数)(xf在点在点0 x的导数的导数)(0 xf 定义为定义为（ ） （A A）xxfxxf )()(00； （B B）xxfxxfxx )()(lim000； （C C）xxfxfxx )()(lim00； （D D）00)()(lim0 xx

13、xfxfxx ； 2 2、若函数、若函数)(xfy 在点在点0 x处的导数处的导数0)(0 xf，则，则 曲线曲线)(xfy 在点在点( ()(,00 xfx) )处的法线处的法线（ ） （A A）与）与x轴相平行；轴相平行； （B B）与）与x轴垂直；轴垂直； （C C）与）与y轴相垂直；轴相垂直； （D D）与）与x轴即不平行也不垂直：轴即不平行也不垂直：测测 验验 题题 3 3、若若函函数数)(xf在在点点0 x不不连连续续，则则)(xf在在0 x ( ( ) ) （A A）必必不不可可导导； （B B）必必定定可可导导； （C C）不不一一定定可可导导； （D D）必必无无定定义义.

14、. 4 4、如如果果)(xf= =（ ） ，那那么么0)( xf. .( (A A) ) xxarccos2arcsin ；( (B B) ) xx22tansec ；( (C C) ) )1(cossin22xx ；( (D D) ) xarctanarcxcot. . 5 5、如如果果 0),1(0,)(2xxbxexfax处处处处可可导导，那那末末（ ） （A A）1 ba； （B B）1, 2 ba； （C C）0, 1 ba； （D D）1, 0 ba. . 6 6、已知函数、已知函数)(xf具有任意阶导数，且具有任意阶导数，且 2)()(xfxf , ,则当则当n为大于为大于 2

15、2 的正整数时，的正整数时， )(xf的的 n n 阶导数阶导数)()(xfn是是（ ） （A A）1)(! nxfn； （B B） 1)( nxfn； （C C） nxf2)(； （D D）nxfn2)(!. .7 7、若函数、若函数)(txx , ,)(tyy 对对t可导且可导且0)( tx, ,又又 )(txx 的反函数存在且可导，则的反函数存在且可导，则dxdy= =（ ） （A A）)()(txty ； （B B）)()(txty ； （C C）)()(txty ； （D D）)()(txty . . 8 8、若函数、若函数)(xf为可微函数，则为可微函数，则dy（ ） （A A）与

16、）与x 无关；无关； （B B）为）为x 的线性函数；的线性函数； （C C）当）当0 x时为时为x 的高阶无穷小；的高阶无穷小； （D D）与）与x 为等价无穷小为等价无穷小. .9 9、设函数、设函数)(xfy 在点在点0 x处可导，当自变量处可导，当自变量x由由0 x增增加到加到xx 0时，记时，记y 为为)(xf的增量，的增量，dy为为)(xf的的微分，微分，xdyyx 0lim等于等于（ ） （A A）-1-1； （B B）0 0； （C C）1 1； （D D） . . 1 10 0、设设函函数数)(xfy 在在点点0 x处处可可导导，且且0)(0 xf， 则则 xdyyx 0li

17、m等等于于（ ）. . （A A）0 0； （B B）- -1 1； （C C）1 1； （D D） . .二、求下列函数的导数：二、求下列函数的导数： 1 1、2lnsinxxy ； 2 2、xaycosh （0 a） ；） ； 3 3、xxysec2)1( ； 4 4、)310lncos(2xy ； 5 5、设、设y为为x的函数是由方程的函数是由方程xyyxarctanln22 确确 定的；定的； 6 6、设、设yyx 2，232)(xxu ，求，求dudy. .三、证明三、证明textsin ，teytcos 满足方程满足方程 )(2)(222ydxdyxdxydyx . .四、已知四、

18、已知 0,0,cos)()(xaxxxxgxf其中其中)(xg有二阶连有二阶连 续导数，且续导数，且1)0( g， 1 1、确定、确定a的值，使的值，使)(xf在在0 x点连续；点连续； 2 2、求、求)(xf 五、设五、设,ln xxy 求求)1()(nf. .六、计算六、计算302. 9的近似值的近似值 . .七、一人走过一桥之速率为七、一人走过一桥之速率为 4 4 公里公里/ /小时，同时一船在小时，同时一船在此人底下以此人底下以 8 8 公里公里/ /小时之速率划过，此桥比船高小时之速率划过，此桥比船高200200 米，问米，问 3 3 分钟后人与船相离之速率为多少？分钟后人与船相离之速率为多少？一一、1 1、D D； 2 2、B B； 3 3、A A； 4 4、D D； 5 5、D D；6 6、A A； 7 7、C C； 8 8、B B； 9 9、