高考数学复习 第六章 数列 第四节 数列求和课件 理

1、第四节数列求和总纲目录教材研读1.求数列的前n项和的方法考点突破2.常见的裂项公式考点二并项法求和考点二并项法求和考点一分组转化法求和考点三裂项相消法求和考点三裂项相消法求和教材研读教材研读1.求数列的前求数列的前n项和的方法项和的方法(1)公式法(i)等差数列的前n项和公式Sn=na1+.(ii)等比数列的前n项和公式当q=1时,Sn=na1;当q1时,Sn=.1()2nn aa(1)2n nd1(1)1naqq11naa qq把数列的每一项转化成几项之和,使所求和转化为几个等差、等比数列之和,再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差再求和,正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法把

2、数列分别正着写和倒着写再相加,倒序相加法是对等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法适用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,错位相减法是对等比数列求和公式的推导过程的推广.(2)分组转化法(6)并项求和法求一个数列的前n项和时,可将数列的项合并求解,这种方法称为并项求和法.形如an=(-1)nf(n)的类型,可采用两项合并求和.例如:Sn=1002-992+982-972+22-12=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.2.常见的裂项公式常见的裂项公式(1)=-;(2)=;(3)=-.1(1)n n1n11n1(21)(21)nn1211212

3、1nn11nn1n n1.数列an的通项公式是an=,前n项和为9,则n等于()A.9B.99C.10D.10011nnB答案答案Ban=-,Sn=a1+a2+an=(-)+(-)+(-)+(-)=-1,令-1=9,得n=99,故选B.11nn1nn1nnn1n32211n1n2.数列an的前n项和为Sn,若an=,则S5等于()A.1B.C.D.1(1)n n5616130B答案答案Ban=-,S5=a1+a2+a5=1-+-+-=.1(1)n n1n11n1212131516563.设数列an是首项为1的等比数列,若是等差数列,则+的值等于()A.2012B.2013C.3018D.301

4、9112nnaa12112aa23112aa20122013112aaC答案答案C设数列an的公比为q,由等差数列的定义可得+=,则+=,解得q=1,则an=1,从而+=,故+=2012=3018.1212aa3412aa2322aa12q2312qq222qq12na11na3212112aa23112aa20122013112aa324.数列an的前n项和为Sn,已知Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n,则S17=9.答案答案9解析解析S17=1-2+3-4+5-6+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+1=9.5

5、.若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则它的前n项和Sn=2n+1-2+n2.答案答案2n+1-2+n2解析解析Sn=(21+1)+(22+3)+(23+5)+(2n+2n-1)=(21+22+2n)+1+3+5+(2n-1)=+=2n+1-2+n2.2(1 2 )1 2n1(21)2nn考点一分组转化法求和考点一分组转化法求和考点突破考点突破典例典例1(2016北京,15,13分)已知an是等差数列,bn是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求an的通项公式;(2)设cn=an+bn,求数列cn的前n项和.解析解析(1)等比数列bn的公比q=3,所以b1=

6、1,b4=b3q=27.设等差数列an的公差为d.因为a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2.所以an=2n-1(nN*).(2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1.因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.从而数列cn的前n项和32bb932bqSn=1+3+(2n-1)+1+3+3n-1= +(121)2nn1 31 3n312n=n2+规律总结规律总结分组转化求和的常见类型(1)若an=bncn,且bn,cn为等差或等比数列,可采用分组求和法求an的前n项和.(2)若an=且数列bn,cn是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.,nnb nc n为

7、奇数为偶数1-1设an是一个公比为q(q0,且q1)的等比数列,4a1,3a2,2a3成等差数列,且它的前4项和S4=15.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=an+2n(n=1,2,3,),求数列bn的前n项和.解析解析(1)因为an是一个公比为q(q0,q1)的等比数列,所以an=a1qn-1.因为4a1,3a2,2a3成等差数列,所以6a2=4a1+2a3,即q2-3q+2=0,解得q=2或q=1(舍).又由an的前4项和S4=15,得=15(q0,q1),解得a1=1,所以an=2n-1.(2)因为bn=an+2n(n=1,2,3,),所以bi=ai+2i=2n+n(n+1)-1

8、.41(1)1aqq1ni1ni1ni典例典例2已知数列an的前n项和为Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),则S15+S22-S31的值是()A.13B.-76C.46D.76考点二并项法求和考点二并项法求和B答案答案B解析解析S15=1-5+9-13+(413-3)-(414-3)+(415-3)=7(-4)+57=29,S22=1-5+9-13+(421-3)-(422-3)=11(-4)=-44,S31=1-5+9-13+(429-3)-(430-3)+(431-3)=15(-4)+121=61,S15+S22-S31=29-44-61=-76.故选B.规律总

9、结规律总结并项求和的解题思路并项求和常见的有首末并项、隔项并项、分段并项、类周期并项,求解时要注意观察通项的结构特点,根据特点采用相应方法求解.2-1若数列an的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+a10=()A.15B.12C.-12D.-15答案答案A记bn=3n-2,则数列bn是以1为首项,3为公差的等差数列,所以a1+a2+a9+a10=(-b1)+b2+(-b9)+b10=(b2-b1)+(b4-b3)+(b10-b9)=53=15.故选A.A典例典例3已知函数f(x)=,数列an满足:a1=2,an+1=f(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设数列an的

10、前n项和为Sn,求数列的前n项和Tn.21xx1na1nS考点三裂项相消法求和考点三裂项相消法求和解析解析(1)f(x)=2+,an+1=f=2+an.an+1-an=2,数列an是首项为2,公差为2的等差数列,an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2)数列an是等差数列,Sn=n(n+1),=-,Tn=+21xx1x1na1()2naa n(22 )2n n1nS1(1)n n1n11n11S21S31S1nS=+=1-=.111211231134111nn11n1nn易错警示易错警示利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩

11、两项.有些情况下,裂项时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.3-1已知等差数列an满足a3=7,a5+a7=26,其前n项和为Sn.(1)求an的通项公式及Sn;(2)令bn=(nN*),求数列bn的前8项和.1nSn解析解析(1)设等差数列an的公差为d,由a5+a7=26,得a6=13,又a6-a3=3d=6,故d=2.所以an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1.所以Sn=n=n=n2+2n.(2)由bn=,得bn=-.设bn的前n项和为Tn,则T8=+=1-=,即数列bn的前8项和为.12naa3212n1nSn21nn1(1)n n1n11n112

12、112311341189198989典例典例4设数列an的前n项和为Sn,且a1=4,an+1=Sn,nN*.(1)写出a2,a3,a4的值;(2)求数列an的通项公式;(3)已知等差数列bn中,有b2=a2,b3=a3,求数列anbn的前n项和Tn.考点四错位相减法求和考点四错位相减法求和解析解析(1)a1=4,an+1=Sn,a2=S1=a1=4,a3=S2=a1+a2=4+4=8,a4=S3=a1+a2+a3=4+4+8=16.an+1=Sn,an=Sn-1(n2),an+1-an=Sn-Sn-1,an+1=2an(n2),又a2=4,an=2n(n2),又当n=1时,a1=4,不满足上

13、式,an=4,1,2 ,2.nnn(3)设等差数列bn的公差为d,依题意得,b2=a2=4,b3=a3=8,则由得b1=0,d=4,则bn=4(n-1).所以anbn=因为当n=1时,(n-1)2n+2=0,所以anbn=(n-1)2n+2(nN*).所以Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+an-1bn-1+anbn=0+124+225+326+(n-2)2n+1+(n-1)2n+2,2Tn=0+125+226+327+(n-2)2n+2+(n-1)2n+3,114,28,bdbd20,1,(1)2,2.nnnn-得-Tn=124+25+26+2n+2-(n-1)2n+3=24(2n-1-1)-(n-1)2n+3=(2-n)2n+3-16,Tn=(n-2)2n+3+16.方法技巧方法技巧(1)一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘等比数列bn的公比,然后作差求解;(2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.4-1已知an0,且apaq=2p+q(p,qN*)成立.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=nan(nN*