专题12四边形的几何综合问题(解析版)【苏科版】

1、2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】专题12四边形的几何综合问题【方法指导】1平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、 角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分 别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.2. 菱形的性质与判定：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法菱形的四条边都相等，菱形的两条对角

2、线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.3. 矩形的性质与判定：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其 特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等同时平行四边形的性质矩形也都具有.在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题.4. 正方形：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.两条对角线将正方形分成四个全等的等腰

3、直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴.【题型剖析】【类型1】平行四边形的计算与证明【例1】(2019?宿豫区模拟)如图，在 ？ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O,过点O的直线分别交BC、AD于点E、F, G、H分别是OB、OD的中点.求证：(1) OE= OF ;(2) 四边形GEHF是平行四边形.【分析】(1)由“ AAS”证明 AOE COF，可得0E = OF;(2)由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形GEHF是平行四边形.【解答】证明：(1)四边形ABCD是平行四边形 AD / BC, 0A = 0C , 0B= 0D/DAC = Z BCA，且 0A=

4、 0C,Z A0E = Z C0F A0E C0F (ASA) 0E = 0F(2)v 0B= 0D , G、H分别是 0B、0D的中点G0 = 0H，且 0E = 0F四边形GEHF是平行四边形.【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形的判定 和性质是本题的关键.【变式1-1】(2019?亭湖区二模)已知点 E、F分别是？ABCD的边BC、AD的中点.(1) 求证：四边形 AECF是平行四边形；(2) 若 BC = 10,/ BAC = 90°，求？AECF 的周长.BEC【分析】(1)根据平行四边形的判定和性质即可得到结论；(2)根据直

5、角三角形的性质得到 AE = CEfBC= 5，推出四边形 AECF是菱形，于是得到结论.【解答】(1)证明：四边形 ABCD是平行四边形， AD / BC, AD = BC, 点E、F分别是？ABCD的边BC、AD的中点， AF AD , Ce£ bC,2盘 AF = CE, AF / CE,四边形AECF是平行四边形；（2）解：T BC = 10,/ BAC = 90°, E 是 BC 的中点. - AE= CE二BC= 5,四边形AECF是菱形， ?AECF 的周长=4X 5= 20.【变式1-2】（2019?海门市一模）如图，？ABCD中，点E是BC边的一点，延长

6、AD至点F，使/ DFC = /DEC .求证：四边形 DECF是平行四边形.【分析】由平行四边形的性质可得AD / BC,可得/ ADE = / DEC，可证DE / CF，可得结论.【解析】四边形 ABCD是平行四边形 AD / BC/ ADE = / DEC，且/ DFC =/ DEC / ADE = / DFC DE / CF，且 DF / BC四边形DECF是平行四边形.【变式1-3】（2019?建邺区一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB, CD为边向外作等边厶 ABE和厶CDF，连接AF , CE.求证：四边形 AECF为平行四边形.【分析】由平行四边形的性质可得AB

7、= CD , AD = BC，/ ABC =/ ADC，由等边三角形的性质可得BE=EA= AB= CD = CF = DF , / EBA =/ CDF = 60°，由“ SAS'可证 ADF CBE，可得 EC = AF，由两组对边相等的四边形是平行四边形可证四边形AECF为平行四边形.【解答】证明：四边形 ABCD是平行四边形 AB= CD , AD = BC,Z ABC = Z ADC/ ABE和厶CDF是等边三角形be= EA= AB= CD = CF = DF，/ EBA =Z CDF = 60°/ADF =Z EBC, 且 AD = BC, BE =

8、DF ADF CBE ( SAS) EC= AF，且 AE = CF四边形AECF为平行四边形【类型2】菱形的计算与证明【例2】(2019?海门市二模)如图，在 Rt ABC中，/ ACB = 90°, D、E分别是 AB、AC的中点，过 C作CF / AB交DE延长线于点F，连接AF、DC .求证：(1) DE= FE;(2) 四边形ADCF是菱形.【分析】(1)由“ AAS”可证 AEDCEF，可得DE = EF;(2)由直角三角形的性质可得CD = AD，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形ADCF是平行四边形，即可证四边形 ADCF是菱形.【解答】(1)证明：T C

9、F / AB, / DAC = Z ACF ,又 AE = EC,/ AED =Z CEF , AED 也厶 CEF (AAS), DE = EF .(2)vZ ACB = 90°, D 是 AB 的中点, CD = AD DE = EF , AE = EC四边形ADCF是平行四边形又 AD = CD四边形ADCF是菱形.【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.【变式2-1】(2019?兴化市二模)已知：如图，在平行四边形ABCD中，/ BAD的平分线交BC于点E,/ABC的平分线交 AD于点F.(1) 求证

10、：四边形ABEF是菱形；(2) 若AE = 6, BF = 8,平行四边形 ABCD的面积是36,求AD的长.【分析】(1 )由平行四边形的性质和角平分线的性质可证BA= BE = AF，即可证四边形 ABEF是菱形;(2)由菱形的性质和勾股定理可求BE= 5，由菱形的面积公式可求 AH，由平行四边形的面积公式可求AD的长.【解答】证明：(1)四边形ABCD是平行四边形， AD / BC, / DAE = Z AEB,/ BAD的平分线交 BC于点E, / DAE = Z BAE, / BAE = Z BEA, BA= BE,同理：AB = AF AF = BE,又 AF / BE,四边形AB

11、EF是平行四边形,/ AB= AF,四边形ABEF是菱形(2)如图，过A作AH丄BE,B H E C四边形ABEF是菱形，AO = E0昱AE = 3, BO = FO=,BF = 4, AE丄 BF , BE牯：亠 H - -5,t S 菱形 ABEF AE?BF 6X 8 = 24, BE?AH = 24,AH=学 s 平行四边形 ABCD = AD X AH = 36,AD-【变式2-2】(2019?江都区二模)如图，在四边形ABCD 中，/ BAC = 90°, E 是 BC 的中点，AD / BC,AE / DC , EF 丄 CD 于点 F .(1) 求证：四边形 AEC

12、D是菱形；(2) 若 AB = 5, AC = 12,求 EF 的长.BEC【分析】(1)根据平行四边形和菱形的判定证明即可;(2)根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可.【解答】(1)证明：T AD / BC, AE / DC , 四边形AECD是平行四边形,/ BAC = 90 ° , E 是 BC 的中点, AE= CE=匚 BC,四边形AECD是菱形;(2)解：过A作AH丄BC于点H，如图所示/BAC = 90 ° , AB = 5, AC = 12, BC13,/ ABC 的面积=BCX AH= ABX AC,点E是BC的中点，四边形 AECD是菱形, CD =

13、 CE,/ S?AECD= CE?AH= CD?EF , EF = AH .C& HE【变式2-3】(2019?宿迁模拟)如图，在四边形 ABCD中，AB / DC , AB = AD，对角线AC . BD交于点OAC平分/ BAD，过点C作CE丄AB交AB的延长线于点 E.连接OE .(1)求证：四边形 ABCD是菱形;(2)若AB-' . OE = 2，求线段CE的长.【分析】(1)先判断出/ OAB = Z DCA，进而判断出/ DAC = Z DAC ,得出CD = AD = AB ,即可得出结论;(2)先判断出OE= OA = OC ,再求出OB = 1，根据相似三角

14、形的性质即可得出结论.【解析】(1 ) AB / CD ,/ OAB = Z DCA ,/ AC为/ DAB的平分线，/ OAB = Z DAC ,/ DCA = Z DAC ,CD = AD = AB,/ AB/ CD,四边形ABCD是平行四边形，/ AD = AB, ?ABCD是菱形；(2)v四边形 ABCD是菱形， OA = OC, BD 丄 AC,/ CE丄 AB, OE = OA= OC = 2, OB=ARn -£0 二=1 ,/ AOB = Z AEC= 90°,/ OAB=Z EAC, AOBAEC,AB QB CE，匹_L斗 _ CE， CE= -【点评】

15、此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出OE = OA = OC是解本题的关键.【类型3】矩形的计算与证明【例3】(2019?丹阳市一模)已知：如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O, DE / AC, AE/ BD .(1) 求证：四边形 AODE是矩形；(2) 若AB = 2,Z BCD = 120°,求四边形 AODE的面积.【分析】(1)根据菱形的性质得出 AC丄BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形；(2)证明 ABC是等

16、边三角形，得出OA = 1,由勾股定理得出 OB二诣，由菱形的性质得出 OD = O吐需' 即可求出四边形 AODE的面积.【解答】(1)证明：T DE / AC, AE/ BD ,四边形AODE是平行四边形，在菱形ABCD中，AC丄BD,/ AOD = 90°,四边形AODE是矩形；(2)解：/ BCD = 120°, AB/ CD ,/ ABC = 180° - 120° = 60° ,AB= BC= 2, ABC是等边三角形， 0A=扌衣2 = 1 ,在菱形ABCD中，AC丄BD由勾股定理OB二VT四边形ABCD是菱形，OD =

17、OB二歯，四边形AODE的面积=OA?OD-府.【变式3-1】(2019?建湖县二模)如图，在四边形ABCD中，AD / BC,Z ABC=Z ADC，对角线 AC、BD交于点O, AO= BO, DE平分/ ADC交BC于点E,连接OE.(1) 求证：四边形ABCD是矩形；(2) 若AB = 2,求厶OEC的面积.【分析】(1)证出/ BAD = Z BCD，得出四边形 ABCD是平行四边形，得出 OA = OC , OB= OD，证出AC= BD，即可解决问题；(2)作OF丄BC于F.求出EC、OF即可解决问题；【解答】(1)证明：T AD / BC,/ABC+ / BAD = 180。，

18、/ ADC+ / BCD = 180°,/ ABC = Z ADC ,/ BAD = Z BCD,四边形ABCD是平行四边形， OA = OC, OB = OD ,/ OA = OB, AC= BD,四边形ABCD是矩形.(2)解：作OF丄BC于F，如图所示.四边形ABCD是矩形， CD = AB = 2，/ BCD = 90°, AO = CO, BO = DO , AC= BD, AO = BO= CO = DO , BF= FC, OFCD = 1 ,/ DE 平分/ ADC，/ ADC = 90° , / EDC = 45° ,在 Rt EDC

19、中，EC = CD = 2 ,1 OEC 的面积* 殳？EC?OF = 1 .【变式3-2】(2019?延边州二模)如图，在平行四边形 ABCD中，过点D做DE丄AB于E,点F在边CD上,DF = BE,连接 AF、BF .(1)求证：四边形 BFDE是矩形；(2)若CF = 3, BE = 5, AF平分/ DAB ,求平行四边形 ABCD的面积.【分析】(1)先求出四边形 BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；(2)根据勾股定理求出 DE长，即可得出答案.【解答】证明：(1)四边形ABCD是平行四边形， AB/ DC,/ DF = BE,四边形BFDE是平行四边形，/ DE 丄

20、AB,/ DEB = 90°,四边形BFDE是矩形；(2)v AF 平分/ DAB ,/ DAF =Z FAB,平行四边形ABCD , AB / CD,/ FAB=Z DFA,/ DFA =Z DAF , - AD = DF = 5 ,在 Rt ADE 中，DE一 J.；.一J 一 二；平行四边形 ABCD的面积=AB?DE = 4X 8 = 32 ,【类型4】四边形综合问题【例4】.(2019?桓台县二模)已知，正方形 ABCD , / EAF = 45° ,(1) 如图1,当点E , F分别在边BC , CD上,连接EF ,求证：EF = BE+DF ;(2) 如图2,

21、点M , N分别在边 AB , CD上,且BN= DM ,当点E , F分别在BM , DN上,连接 EF , 请探究线段EF , BE , DF之间满足的数量关系，并加以证明；(3) 如图3,当点E , F分别在对角线 BD ,边CD上,若FC = 2,则BE的长为 _.【分析】(1)如图1中，将厶ADF绕点A顺时针旋转90° :(2)结论：EF2= BE2+DF2,将厶ADF绕点A顺时针旋转得厶ABG ,想办法证明 EAGA EAF ( SAS90°，得 ABH ,(如图2)证明过程跟(1)BN = DM证明四边形 BMDN为平行四边形得类似，证得 EAHEAF，把EF

22、转化到EH，然后利用2 2 2 2/ ABE =Z FDM，得/ EBH =Z ABH+ / ABE =Z ADF+ / MDN = 90°，由 EH2 = BE2+BH 得 EF2 =2 2be2+df2.(3)作厶ADF的外接圆O O,连接EF、EC,过点E分别作EM丄CD于M , EN丄BC于N (如图3).想 办法证明EF = FC,即可推出封门村吗，证明EN= CM即可.【解析】(1)证明：如图1中，将 ADF绕点A顺时针旋转90 °,得厶ABG , ADFABG, AF = AG, DF = BG,Z DAF = Z BAG ,正方形ABCD ,/ D = Z

23、BAD = Z ABE = 90°, AB = AD ,/ABG = Z D = 90°, 即卩 G、B、C 在同一直线上,/ EAF = 45 ° ,/DAF + / BAE = 90° - 45°= 45°,/EAG = Z BAG+ / BAE = Z DAF + / BAE = 45° ,即/ EAG = Z EAF, EAG也厶 EAF ( SAS), EG = EF ,/ BE+DF = BE+BG= EG , EF = BE+DF .(2)结论：EF2= BE2+DF2,理由：将厶ADF绕点A顺时针旋转90&#

24、176;,得厶ABH ,(如图2)AU ADF ABH , AF = AH , DF = BH，/ DAF = Z BAH，/ ADF = Z ABH ,/ EAF = 45 ° , /DAF + / BAE = 90° - 45°= 45°, / EAH = Z BAH+ / BAE = Z DAF + / BAE = 45 ° ,即/ EAH = Z EAF, EAH EAF ( SAS), EH = EF,/ BN= DM , BN/ DM ,四边形BMDN是平行四边形， / ABE = Z MDN , / EBH = Z ABH+ /

25、ABE = Z ADF + / MDN = Z ADM = 90° , eh2= be2+bh2 , ef2= be2+df2 ,(3)作厶ADF的外接圆O O ,连接EF、EC ,过点E分别作EM丄CD于M , EN丄BC于N (如图3)./ ADF = 90°, AF为OO直径， BD为正方形 ABCD对角线，/ EDF =Z EAF = 45°,点 E 在 OO 上,/ AEF = 90 ° , AEF为等腰直角三角形， AE= EF, ABE CBE (SAS), AE= CE, CE= EF,/ EM 丄 CF, CF = 2, CM牙CF =

26、 1 ,/ EN 丄 BC , / NCM = 90° ,四边形CMEN是矩形EN= CM= 1 ,/ EBN = 45 ° , BE- CENl 就故答案为：棹【点评】本题考查了正方形的性质，旋转，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形性质，其中(1) (2)里运用转化思想是解题关键，为半角模型的常规题型第(3)问作为填空题可用特殊位置得到答案，证明过程关键条件是正方形对角线，利用两个45角联想到四点共圆，再利用圆周角定理得到AEF为等腰直角三角形.【变式4-1】（2019?灌南县二模）正方形ABCD的边长为1,点O是BC边上的一

27、个动点（与B, C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作/ MON = 90°（1）当OM经过点A时， 请直接填空：ON （可能，不可能）过 D点：（图1仅供分析） 如图2,在ON上截取OE = OA，过E点作EF垂直于直线 BC ,垂足为点F,作EH丄CD于H，求证： 四边形EFCH为正方形； 如图2,将中的已知与结论互换，即在 ON上取点E （ E点在正方形ABCD外部），过E点作EF垂 直于直线BC,垂足为点F，作EH丄CD于H，若四边形EFCH为正方形，那么 OE与OA是否相等？请 说明理由；（2）当点O在射线BC上且OM不过点A时，设OM交边BA的延长线于 G,且OG

28、= 2 .在ON上存在点P,过P点作PK垂直于直线BC,垂足为点K，使得SAobg,连接GP，则当BO为何值时， 四边形PKBG的面积最大？最大面积为多少？图1图丄备用图【分析】（1）若ON过点D时，则在 OAD中不满足勾股定理，可知不可能过D点； 由条件可先判断四边形 EFCH为矩形，再证明厶 OFE ABO，可证得结论； 结论：OA= OE .如图2- 1中，连接EC,在BA上取一点 Q,使得BQ = BO,连接OQ.证明 AQOOCE （ ASA）即可.（2）由条件可证明 PKOOBG，禾U用相似三角形的性质可求得OP = 2,可求得 POG面积为定值及厶PKO和厶OBG的关系，只要 C

29、GB的面积有最大值时， 则四边形PKBG的面积就最大，设OB= a BG= b,由勾股定理可用 b表示出a，则可用a表示出 OBG的面积，利用二次函数的性质可求得其最 大值，则可求得四边形 PKBG面积的最大值.【解析】（1）若ON过点D，则OA > AB, OD > CD , oa2>ad2, od2>ad2, OA2+OD2>2AD2m ad2,/ AOD 工 90°，这与/ MON = 90° 矛盾, ON不可能过D点，故答案为：不可能； 如图2中，T EH丄CD , EF丄BC,/ EHC = Z EFC = 90°,且/ H

30、CF = 90°,四边形EFCH为矩形，/ MON = 90°,/ EOF = 90°-/ AOB,在正方形 ABCD 中，/ BAO = 90°-/ AOB ,/ EOF = / BAO,在厶OFE和厶ABO中，- ，WE = A0 OFE ABO (AAS), EF = OB, OF = AB,又 OF = CF +OC = AB= BC = BO+OC = EF + OC, CF= EF,四边形EFCH为正方形； 结论：OA= OE .理由：如图2- 1中，连接EC,在BA上取一点 Q,使得BQ = BO,连接OQ . - AQ = OC,/ QA

31、O = / EOC，/ AQO = / ECO = 135°, AQO OCE (ASA), AO = OE.(2)如备用图，/ POK = Z OGB ,Z PKO =Z OBG , PKOs OBG ,T S/KO= 2OBG, 二()2 OP = 1, Spog= 2OG?OP；：.1 X 2 = 1,2 2 2设 OB = a, BG = b,贝V a +b = OG = 4, b，-.： Sobg g abr * a据-当 a2= 2 时， OBG 有最大值 1，此时 SapkoSobg ,四边形PKBG的最大面积为1+1 二二=- 日当BO为曲?时，四边形PKBG的面积最

32、大，最大面积为.斗备用團【达标检测】1 . （ 2019?无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（A .内角和为360°B 对角线互相平分ABCD，其中/ C = 120°.若新建墙 BC)A. 18m2B. 18 : m2C. 24覇 m2D .一 m2C.对角线相等D .对角线互相垂直【解析】矩形和菱形的内角和都为360。，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分,矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，故选：C.2 . （ 2019?连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场与CD总长为12m，则该梯形储料场 ABCD的最大面积是（(x【解

33、析】如图，过点 C作CE丄AB于E,则四边形 ADCE 为矩形，CD = AE = x,Z DCE = Z CEB = 90则/ BCE = Z BCD -Z DCE = 30°, BC = 12 - x,在 Rt CBE 中，tZ CEB = 90°,CL c 1-BE BC = 6 x, AD = CE-勺目BE = 6x, AB = AE+ BE = x+6gx运x+6,梯形ABCD面积-4) 2+24就,s=(CD+AB)?CE二二(X ：x+6)?(6 x)当x= 4时，S最大=24冒习.即CD长为4m时，使梯形储料场 ABCD的面积最大为24曲m2;故选：C.3

34、. （ 2019?苏州）如图，菱形 ABCD的对角线 AC, BD交于点O, AC= 4, BD = 16,将厶ABO沿点A到点C的方向平移，得到 A'B'O'.当点A与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（）A. 6B. 8C. 10D. 12【解析】四边形 ABCD是菱形， AC丄 BD, AO = OC二 瓠C = 2, OB= OD#BD = 8, ABO沿点A到点C的方向平移，得到 A'B'O',点A'与点C重合，O'C= OA= 2, O'B'= OB = 8，/ CO'B'=

35、90°, AO'= AC+O'C = 6,. AB'= 0©序圧 + 盘0圧=V82 + 6- =10；故选：C.4. （ 2019?淮安）若一个多边形的内角和是540 °,则该多边形的边数是 .【解析】设这个多边形的边数是n,则（n- 2）?180°= 540 °,解得n= 5,故答案为：5.5. （ 2019?南通）如图，？ABCD 中，/ DAB = 60°, AB = 6, BC = 2, P 为边 CD 上的一动点，贝 U PPD的最小值等于二'【解析】如图，过点 P作PE丄AD，交AD的延长

36、线于点 E,/ AB / CD/ EDP = Z DAB = 60°, EP PD PB=PB+PE当点B,点P,点E三点共线且BE丄AD时，PB+PE有最小值，即最小值为 BE, BE= 3或故答案为36. （ 2019?徐州）如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点.若 O为正多边形的中心，则/【解析】连接OB、OC,多边形的每个外角相等，且其和为360 ° ,据此可得多边形的边数为：,/ AOD = 40°X 3 = 120°/ OAD 二二' -故答案为：30°7. （ 2019?徐州）如图，矩形 ABC

37、D中，AC、BD交于点O, M、N分别为BC、OC的中点.若 MN = 4,则AC的长为.【解析】 M、N分别为BC、OC的中点， BO = 2MN = 8.四边形ABCD是矩形，AC= BD = 2BO= 16.故答案为16.8. （ 2019?常州）如图，在矩形 ABCD中，AD = 3AB =务丽,点P是AD的中点，点E在BC上，CE = 2BE点M、N在线段BD上.若 PMN是等腰三角形且底角与/ DEC相等，则MN =.【解析】分两种情况：MN为等腰 PMN的底边时，作 PF丄MN于F，如图1所示:则/ PFM =Z PFN = 90°,四边形ABCD是矩形， AB= CD

38、 , BC = AD = 3AB = 3切，/ A=Z C= 90°, AB= CD借，BD -10,点P是AD的中点,PD AD/ PDF =Z BDA, PDF s BDA,时J.®即亡二解得：PF=,/ CE= 2BE ,BC= AD = 3BE, BE= CD, CE= 2CD , PMN是等腰三角形且底角与/ DEC相等，PF丄MN , MF = NF，/ PNF = Z DEC ,/ PFN = Z C= 90°, PNF DEC ,W CE2， MF = NF = 2PF = 3, MN = 2NF = 6;MN为等腰 PMN的腰时，作PF丄BD于F

39、，如图2所示: 由得：PF二 MF = 3,设 MN = PN = x,贝U FN = 3 - x,在 Rt PNF 中，()2+ (3-x) 2= x2,解得：x ,1卩MN-話15：综上所述，MN的长为6或；15故答案为：6或.S9. （ 2019?无锡）如图，在 ABC中，AB = AC = 5, BC =条石,D为边AB上一动点一边作正方形 CDEF，连接BE，则 BDE面积的最大值为 .B点除外），以CD为【解析】过点 C作CG丄BA于点G,作EH丄AB于点H，作AM丄BC于点M . AB= AC= 5, BC= 4皿,BM = CM = 2：必，易证 AMBCGB ,BM ABGB

40、 2S5GB .GB = 8,设 BD = x,贝V DG = 8 x,易证 EDH DCG ( AAS),. EH = DG = 8 - x, SaBDE：_-.-当x = 4时， BDE面积的最大值为&故答案为&E10. （2019?扬州）如图，已知点 E在正方形 ABCD的边AB上，以BE为边向正方形 ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是 DC、DF的中点，连接 MN .若AB= 7, BE = 5,贝U MN =.ADG【解析】连接CCF,AD5、JAdG SC正方形 ABCD和正方形 BEFG中，AB = 7, BE = 5,GF = GB= 5, B

41、C = 7,GC = GB+ BC= 5+7 = 12,.d召尸 +£口 二 5a + 12-二 13./ M、N分别是DC、DF的中点，MN工扌仔 =!琴.13故答案为：；.11. （2019?淮安）已知：如图，在 ？ABCD中，点E、F分别是边 AD、BC的中点.求证： BE = DF .【解答】证明：四边形 ABCD是平行四边形， AD / BC, AD = BC,点E、F分别是？ABCD边AD、BC的中点， DE#AD , BPBC, DE = BF ,四边形BFDE是平行四边形， BE= DF .312. (2019?宿迁)如图，矩形 ABCD中，AB = 4, BC =

42、2，点E、F分别在 AB、CD上，且 BE= DL殳.(1) 求证：四边形 AECF是菱形；(2) 求线段EF的长.【解答】(1)证明：在矩形 ABCD中，AB = 4, BC= 2, CD = AB = 4, AD = BC= 2, CD / AB,/ D = Z B= 90 ° ,BE= DF 二,生 5 CF = AE= 4, AF = CE 訂二5 AF = CF = CE = AE,四边形AECF是菱形；(2)解：过F作FH丄AB于H ,则四边形AHFD是矩形, AH = DF , FH = AD = 2, EH；. 1，- EF 严二亠 F一、亠:-弓nFc7AHE*B1

43、3. (2019?扬州)如图，在平行四边形 ABCD中，AE平分/ DAB ,已知 CE= 6, BE = 8, DE = 10.(1)求证：/ BEC = 90°【解答】(1)证明：四边形 ABCD是平行四边形,DC = AB =, AD = BC, DC / AB ,/ DEA = Z EAB,/ AE 平分/ DAB , / DAE = Z EAB, / DAE = Z DEA AD = DE = 10, BC= 10, AB= CD = DE+CE = 16,CE2+BE2= 62+82= 100 = BC2, BCE是直角三角形，/ BEC = 90°(2)解：T

44、 AB / CD , / ABE = Z BEC = 90°, AE对宣刖十斤b -罰护十阱8酣, cos / DAE = cos/ EAB-14. (2019?连云港)如图，在 ABC中，AB =人0将厶ABC沿着BC方向平移得到 DEF，其中点 E在边BC上，DE与AC相交于点O.(1)求证： OEC为等腰三角形;当点E在什么位置时，四边形 AECD为矩形，并说明理由.【解答】(1)证明：T AB = AC,/ B =Z ACB,/ ABC平移得到厶DEF , AB/ DE,/ B =Z DEC,/ ACB = Z DEC , - OE = OC,即厶OEC为等腰三角形；(2)解

45、：当E为BC的中点时，四边形 AECD是矩形,理由是： AB= AC, E为BC的中点, AE丄 BC, BE = EC,/ ABC平移得到厶DEF , BE / AD, BE = AD , AD / EC, AD = EC,四边形AECD是平行四边形,/ AE丄 BC,四边形AECD是矩形.15I AP为边作正方形 APCD, 直线CE与线段AB相交于点(2019?泰州)如图，线段 AB= 8，射线BG丄AB , P为射线BG上一点，I 且点C、D与点B在AP两侧，在线段 DP上取一点 E,使/ EAP = Z BAP, F (点F与点A、B不重合).(1) 求证： AEP CEP;(3)求

46、厶AEF的周长.【解析】(1)证明：四边形(2) 判断CF与AB的位置关系，并说明理由；APCD正方形, DP 平分/ APC, PC = PA,/ APD = Z CPD = 45°, AEP也厶 CEP (SAS);(2) CF丄AB,理由如下：/ AEP CEP ,/ EAP = Z ECP ,/ EAP = Z BAP,/ BAP = Z FCP ,/ FCP+ / CMP = 90°,/ AMF =Z CMP ,/ AMF +/ PAB= 90 ° ,/ AFM = 90°, CF 丄 AB;(3) 过点C作CN丄PB./ CF 丄 AB, B

47、G 丄AB, FC / BN,/ CPN = Z PCF = Z EAP = Z FAB,又 AP = CP, PCN APB (AAS),CN = PB = BF , PN = AB ,/ AEP CEP , AE= CE, AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+CN+AF=AB+BF+AF=2AB=16.16. (2019?连云港)问题情境：如图 1,在正方形ABCD中，E为边BC上一点(不与点 B、C重合)，垂直 于AE的一条直线 MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N .判断线段 DN、MB、EC之间的数量关系， 并说明理由.问题探究：在“问题情境”

48、的基础上.(1) 如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q,连接EQ ,并延长交边AD于点F .求/ AEF的度数；(2) 如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接 AN,将厶APN沿着AN翻折，点P落 在点P'处，若正方形 ABCD的边长为4, AD的中点为S,求P'S的最小值.问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD 沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点 A, C'N交AD于点F .分别过点 A、F作AG丄MN,_ 5FH丄MN，垂足分别为 G、H .

49、若AG二豆，请直接写出FH的长.到郎郎图4【解答】问题情境：解：线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN + MB= EC;理由如下：四边形ABCD是正方形，/ABE = Z BCD = 90°, AB = BC= CD , AB / CD ,过点B作BF / MN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示：四边形MBFN为平行四边形， NF = MB, BF丄 AE, / BGE = 90°, / CBF + / AEB = 90°,/ BAE+ / AEB = 90°, / CBF = Z BAE,=如F在厶ABE和厶BCF中，1aBE = Z9CF

50、= ABE BCF (ASA), BE= CF,/ DN+NF+CF = BE+EC, DN+MB = EC;问题探究：解：(1)连接AQ,过点Q作HI / AB，分别交AD、BC于点H、丨，如图2所示:四边形ABCD是正方形，四边形ABIH为矩形， HI 丄 AD , HI 丄 BC, HI = AB = AD,/ BD是正方形 ABCD的对角线,/ BDA = 45 DHQ是等腰直角三角形， HD = HQ , AH = QI ,/ MN是AE的垂直平分线， - AQ = QE,(AO = OE在 Rt AHQ 和 Rt QIE 中，, Rt AHQ 也 Rt QIE ( HL),/ AQ

51、H =Z QEI ,/ AQH+Z EQI = 90°,:丄 AQE = 90°, AQE是等腰直角三角形，/EAQ = Z AEQ= 45°，即/ AEF = 45°(2)连接AC交BD于点O,如图3所示：则厶APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P '与点D重合；设点P与点O重合时，则点P'的落点为O',/ AO = OD，/ AOD = 90°,/ ODA = / ADO ' = 45 ° ,当点P在线段BO上运动时，过点 P作PG丄CD于点G,过点P '作P'

52、H丄CD交CD延长线于点 H , 连接PC,点 P 在 BD 上, AP= PC,ft在厶APB和厶CPB中，：.一护UB = EC APB CPB (SSS,/ BAP = Z BCP ,/ BCD = Z MPA = 90°,/ PCN = Z AMP,/ AB/ CD,/ AMP =Z PNC,/ PCN = Z PNC, PC= PN, AP= PN,./ PNA = 45 ° ,/ PNP '= 90°,/ P ' NH+PNG = 90°,/P ' NH + Z NP ' H = 90°,/ PNG+

53、 / NPG= 90°, /NPG = / P' NH , / PNG = / NP' H ,由翻折性质得：PN= P ' N ,在厶 PGN 和厶 NHP'中，py =,上P阳=也卯讯 PGN NHP' (ASA), PG = NH , GN = P'H ,/ BD是正方形 ABCD的对角线， Z PDG = 45°,易得PG = GD , GN = DH , DH = P'H , Z P'DH = 45°，故Z P'DA = 45°,点P'在线段DO'上运动；过点S作SK± DO',垂足为 K,点S为AD的中点， DS= 2,贝U P'S的最小值为点；问题拓展：解：