数理统计学习教案

1、数理统计数理统计(sh l tn j) 第一页，共108页。通过大量(dling)实践，人们对小概率(gil)事件(即一次试验中发生的概率很小的事情）总结出一条原理：并称此为实际推断原理，其为判断假设的根据。在假设检验时，若一次试验中小概率事件发生了,就认为是不合理的。小概率事件在一次试验中发生的概率记为，一般取1 . 0,01. 0,05. 0 在假设检验中,称为显著水平、检验水平。小概率事件在一次试验中几乎不会发生。第1页/共108页第二页，共108页。可能(knng)犯的错误有两类：-第一类错误(cuw)（弃真）-第二类错误（取伪）样本容量固定时,由于人们作出判断的依据是一个样本，由部分

2、来推断整体。所以假设检验不可能绝对准确。概率增大。减少犯一类错误，则另一类错误为真时拒绝 0H0H不真时接受 0H0H两个假设01,HH第2页/共108页第三页，共108页。 假设检验的两类错误(cuw)H0为真实际情况决定拒绝H0接受H0H0不真弃真正确正确取伪 P拒绝H0|H0为真= , P接受H0|H0不真= . 犯两类错误(cuw)的概率: 显著性水平 为犯第一类错误的概率.P第一类错误(cuw)=P第二类错误=第3页/共108页第四页，共108页。显著性检验(jinyn)：只对犯第一类错误(cuw)的概率加以控制，而不考虑犯第二类错误(cuw)的概率。设总体),(2 NX12,nXX

3、X 称 为显著性水平。 为X的样本, P拒绝 | 为真0H0H第4页/共108页第五页，共108页。第一节 单个正态总体(zngt)参数的假设检验00: H在实际工作中，往往把不轻易(qng y)否定的命题作为原假设.-原假设(jish)（零假设(jish)）01: H-备选假设（对立假设）一、总体均值 的假设检验 其中 是已知常数0 21. 已知时， 的检验 第5页/共108页第六页，共108页。X的大小(dxio)。铜丝(tn s)的主要质量指标是折断力由资料可认为)8 ,570(2NX今换了一批原料，从性能上看，估计折断力的方差不会有变化，但不知折断力的大小有无差别。解 此问题就是已知方

4、差228 检验假设01:570,:570HH抽出10个样品进行检验，测得其折断力（斤）为584596572570570572568570578572（=0.05）看在H0条件下会不会产生不合理的现象，第6页/共108页第七页，共108页。样本均值 为 X 的无偏估计， X 001XUNn （， ）（， ）X能较好反映 的大小. 当 为真时， 0H差异(chy)不能过大。 PX 有较大偏差 较小 若差异(chy)较大，即小概率事件发生， 则拒绝假设 0.H当 为真时， 0H0 xun 衡量 的大小 第7页/共108页第八页，共108页。0 xukn 0 xukn 设一临界值 k0，若就认为有较大

5、(jio d)偏差；则认为 不真，拒绝 0H0H0H则接受 若第8页/共108页第九页，共108页。0,XPkn001XUNn（ ， ）/2kz0/2XZn显著性检验(jinyn)： P拒绝 | 为真0H0H拒绝域第9页/共108页第十页，共108页。由样本(yngbn)值求出2 .575 x这说明(shumng)小概率事件竟在一次试验中发生了，故拒绝(jju)H0，可以接受H1。20.0251.96;zz0575.2570810 xn即认为折断力大小有差别5845965725705705725685705785725.2 102.0551.968第10页/共108页第十一页，共108页。提出

6、原假设和备择假设 第一步：已知),(2 NX2 已知，第二步：选取(xunq)统计量XUn0100: HH的过程分为(fn wi)五个步骤：0100: HH第三步：拒绝域为0/2xzn第11页/共108页第十二页，共108页。第四步：查表确定(qudng)临界值/2kz0 xun第六步：判断(pndun)/2|uz则否定(fudng)H0，接受H1/2|uz则H0相容，接受H00 x)(x 2 2 z2 z 第五步：计算第12页/共108页第十三页，共108页。某车间(chjin)用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖当机器(j q)正常时,某日开工(ki gng)后为检验包装机是否正常,包装的

7、糖9袋,称得净重为(公斤):0.497 0.506 0.518 0.524 0.4980.511 0.520 0.515 0.512问机器是否正常?重是一个随机变量X,且),(2 NX其均值为=0.5公斤,标准差=0.015公斤.随机地抽取它所5 . 0:0 H5 . 0:1 H解：先提出假设（=0.05）5 . 00 第13页/共108页第十四页，共108页。0XUn选取(xunq)统计量：拒绝域：0/2|xuzn计算(j sun)得022.21.96xuzn511. 0)512. 0497. 0(91 x/20.0251.96,zz0H于是拒绝 ，认为包装机工作(gngzu)不正常。 第1

8、4页/共108页第十五页，共108页。选择假设H1表示(biosh)Z可能大于0,也可能小于0这称为(chn wi)双边假设检验。单边检验(jinyn)0010:;:HH0010:;:HH右边检验左边检验第15页/共108页第十六页，共108页。0100:;:)1( HH右边(yu bian)检验查表确定临界值kz（4）取 , 0 xuzn 0 xun (6),uz 0XUn（2）选取(xunq)统计量：（3）拒绝域为 （5）计算(j sun) 则拒绝 ，接受1;H0H0.H反之，接受 第16页/共108页第十七页，共108页。左边(zu bian)检验查表确定临界值kz（4）取 , 0 xu

9、n (6),uz 0XUn（2）选取(xunq)统计量：（3）拒绝域为 （5）计算(j sun) 则拒绝 ，接受1;H0H0.H反之，接受 0100:;:)1( HH0 xuzn 第17页/共108页第十八页，共108页。例32( ,3 ),XN (0.05) 0XUn（2）选取(xunq)统计量：1700 某大学男生(nnshng)身高 今测得9名男生(nnshng)身高 平均为 172,Xcm 问是否可以认为该校男生平均身高 超过170cm呢？ 0010(1):;:HH0 xuzn （3）拒绝域为 解 第18页/共108页第十九页，共108页。查表确定(qudng)临界值0.05kzz65

10、. 1 93170172 2 65. 1 H;H10 用用用用H;H10 用用用用（4）取 , 0 xun （5）计算(j sun) 可以认为该校男生平均身高(shn o)超过170cm. 则拒绝 ，0H 重点保护 ，拒绝它有足够理由，不拒绝它而 0H接受它的理由就不充分。 例如 “ 这个城市小偷很少 ” 如题目问：是否有明显提高 是否有明显下降 第19页/共108页第二十页，共108页。)05. 0( 解解0 xuzn 0XUn（2）选取(xunq)统计量：02000(3)拒绝域为例4 设某厂灯泡平均寿命(pn jn shu mn)为2000小时,标准差为250小时 从技术改造后的灯泡中随机

11、(su j)抽取 n=25只，测得平均 寿命为2250小时,问此产品寿命是否较前有显著提高. 0010(1):;:HH第20页/共108页第二十一页，共108页。22502000250255 65. 1 查表确定(qudng)临界值0.05kzz65. 1 （4）取 , 0 xun （5）计算(j sun) 则拒绝 ，0H即认为这些(zhxi)产品较以往有显著提高. 第21页/共108页第二十二页，共108页。212)(11 nkkXXnS提出(t ch)原假设和备择假设 第一步：第二步：选取(xunq)统计量nSXT0 第四步：查表确定(qudng)临界值0100: HH/2kt第三步：拒绝

12、域为0/2(1)xttnSn22. 未知时， 的检验 未知 ，可用样本方差2 代替 2 第22页/共108页第二十三页，共108页。选择假设(jish)H1表示Z可能大于0,也可能小于0这称为(chn wi)双边假设检验。0 xtsn第六步：判断(pndun)2| | tt则否定H0，接受H12| | tt则H0相容，接受H00 x)(x 2 2 t2 t 第五步：计算第23页/共108页第二十四页，共108页。显著差别？爆破(bop)压力X服从正态分布 =0.05解: 提出(t ch)假设 H0：=549； H1：549nSXT0 对一批新的某种液体存储罐进行(jnxng)耐裂试验,重复测量

13、5次,测得爆破压力数据为（单位斤/寸2）:545 545 530 550 545过去该种液体存储罐的平均爆破压力为549斤寸(可看作真值),因为未知方差2，故采用t检验法。取统计量试问这批新罐的平均爆破压力与过去有无5490 第24页/共108页第二十五页，共108页。由样本(yngbn)算得这里(zhl)543549| | | 1.777.58/5t接受H0。即这批新罐的平均爆破(bop)压力与过去无显著差别。22543.5,7.58xs776. 2)4(025. 0 t拒绝域/ 2(1)ttn776. 2)4()1(025. 02 tnt 查表第25页/共108页第二十六页，共108页。)

14、,(2 NX2 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.035 .32:5 .32:10 HH解(1)(2)(3)拒绝域/2(1)ttn 0.01 （）5 .320 nSXT0 取统计(tngj)量 某工厂生产一种(y zhn)螺钉,标准要求是长度是32.5毫米,实际生产的产品其长度(chngd)X服从正态分布 未知，现从该厂生产的一批产品中抽取6件，得 尺寸数据如下： 问这批产品是否合格？ 第26页/共108页第二十七页，共108页。（5）将样本(yngbn)值代入算出统计量 T0的实测值,没有(mi yu)落入拒绝域2.9974.0322t 故接受 为真

15、，即可认为产品是合格的。 0H(4)01. 0 0322. 4)5()5(005. 02 tt 查表第27页/共108页第二十八页，共108页。0100:;:)1( HH右边(yu bian)检验查表确定临界值(1)ktn （4）取 , 0(1)xttnsn 0 xtsn (6),tt 0XTSn （2）选取(xunq)统计量：（3）拒绝域为 （5）计算(j sun) 则拒绝 ，接受1;H0H0.H反之，接受 第28页/共108页第二十九页，共108页。左边(zu bian)检验查表确定临界值(1)ktn （4）取 , 0 xtn (6),tt 0XTSn （2）选取(xunq)统计量：（3）

16、拒绝域为 （5）计算(j sun) 则拒绝 ，接受1;H0H0.H反之，接受 0100:;:)1( HH0(1)xttnsn 第29页/共108页第三十页，共108页。4.28;4.40;4.42;4.35;4.37.如果(rgu)标准差不变,解:4.3644.553.781.6450.115u 拒绝(jju)H0)11. 0,55. 4(2NX某日测得5炉铁水(tishu)含碳量如下:该日铁水的平均含碳量是否显著偏低? =0.05已知某炼铁厂的铁水含碳量 在正常情况下X0100:;:)1( HH0(3)1.645xuzn 拒绝域为0XUn（2）取统计量第30页/共108页第三十一页，共108

17、页。某次考试(kosh)的考生成绩从中随机地抽取36位考生(koshng)的成绩,平均成绩为63.5分，),(2 NX2, 未知，标准差 s =15分,问在显著水平0.05下是否(sh fu)可以认为全体考生的平均成绩为70分？求的置信水平为0.95的置信区间。001:70:70HH拒绝域为0/2| |(1)/xttnsn - -解 先提出假设计算| |2.6t 第31页/共108页第三十二页，共108页。0.025(35)2.0301t | |2.6t 故落在拒绝(jju)域之内，拒绝(jju)H0 ，接受H1即不能认为全体(qunt)考生的平均成绩为70分。 的置信水平为0.95的置信区间

18、为/2(1)sxtnn 0.0251563.5(35)36t(58.425,68.575) 第32页/共108页第三十三页，共108页。设总体(zngt),(2 NXnXXX,21为X 的样本(yngbn)。对2 作显著性检验（，其中(qzhng)2检验）引例 已知某种延期药静止燃烧时间2( ,)TN 今从一批延期药中任取10副测得静止燃烧时间（单位秒）数据为3804. 1857. 13836. 14059. 13405. 13424. 14021. 13789. 14053. 13760. 1问：是否可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为)05. 0(.025. 022 3. 未知时， 2

19、的检验 第33页/共108页第三十四页，共108页。0010:0.025:HH取统计(tngj)量).1(2 n 222S)1( n22S / 221222(1)(1)nSnSP kk或为 的无偏估计，2 2S不应(b yn)过大也不应(b yn)过小 第34页/共108页第三十五页，共108页。/2221(1)2Pn/222(1)2Pn)(22n 2 yfx)(221n 2 说明(shumng) 221/2(1)n 22/2(1)n 和在H0成立(chngl)的条件下都是小概率(gil)事件。第35页/共108页第三十六页，共108页。在样本(yngbn)值nxxx,21下计算(j sun)

20、2220(1)/ns若或则拒绝H0。若则接受H0。221/2(1)n 22/2(1),n 2221/2/2(1)(1),nn 本题221/20.975(1)(9)2.7n 22/20.025(1)(9)19.023n 根据样本值算得2229 0.0237.61760.025 第36页/共108页第三十七页，共108页。22220010:HH双边(shungbin)假设检验的拒绝域为221/220(1)(1)nsn 或22/220(1)(1)nsn 22.719.023 则接受(jishu)H0 。即可信延期药的静止(jngzh)燃烧时间T的方差为显然由上例可得22025. 0 第37页/共10

21、8页第三十八页，共108页。提出原假设和备择假设 第一步：第二步：取统计(tngj)量00222201:,:HH的过程分为(fn wi)五个步骤：第三步：拒绝域为00222201:,:HH222S)1( n/ 2222(1)(1)nSn/ 22212(1)(1)nSn或第38页/共108页第三十九页，共108页。第六步：判断(pndun)，若则拒绝(jju)H0，接受H1第五步：计算(j sun)222S)1( n/ 2222(1)(1)nsn/ 22212(1)(1)nsn或反之则接受H0。第四步：查表确定临界值) 1(),1(22122 nn 第39页/共108页第四十页，共108页。（=

22、0.05）某次统考后随机抽查(chuch)26份试卷,测得平均(pngjn)成绩成绩(chngj)标准差是否为已知该次考试成绩),(2 NX(2)选取统计量(3)拒绝域为22122000: HH222S)1( n解(1) 假设/ 2222(1)(1)nsn/ 22212(1)(1)nSn或14420 75.5x 分，样本方差 2162.S 试分析该次考试 12 分左右。 第40页/共108页第四十一页，共108页。12.13)25(2975. 0 646.40)25(2025. 0 125.281216225220 (4)查表确定(qudng)临界值/2/2221(1),(1)nn(5)计算(

23、j sun)2013.1240.646故接受(jishu)H0。即可认为该次考试成绩标准差为12 分左右。 第41页/共108页第四十二页，共108页。，设设),(),(2221 NYNXYX和和分别是这两个样本的均值,且 X 与 Y 独立(dl),X1 , X2 , ,1nX是取自X 的样本(yngbn),Y 的样本,分别是这两个样本的样本方差,则有Y1,Y2,2nY是取自;1111 niiXnX;1212 niiYnY;)(11211211 niiXXnS;)(11212222 niiYYnS21S和 22S第42页/共108页第四十三页，共108页。，设),(),(222211NYNX且

24、X与Y独立(dl),1. 22221未知时，设i提出(t ch)假设H0： 1=2 ；H1： 12 的无偏估计为其中22122221122) 1() 1(nnSnSnSw取统计量)2(|212nntT拒绝域的形式对给定查表确定)2(1111)(212121210nntSnnYXSnnYXTwHw第43页/共108页第四十四页，共108页。则否定(fudng)H0，接受H1则接受(jishu)H0)2(|212nntT若)2(|212nntT若即认为两个(lin )正态母体均值无显著差异即认为两个正态母体均值有显著差异，显著性水平为由样本值 代入算出统计量,wsyx，wSnnYXT2111第44

25、页/共108页第四十五页，共108页。已知时，i. 2) 1 , 0(/)(222121NnnYXU2/uU H0： 1=2 ；H1： 12 取统计(tngj)量提出(t ch)假设), 0(222121nnNYX拒绝域的形式(xngsh)给定显著性水平第45页/共108页第四十六页，共108页。，设),(),(222211NYNX且X与Y独立(dl),1. 2122221未知时，设i提出(t ch)假设210:H211:H取统计量)2(1121210nntSnnYXTHw)2(|212nntT拒绝域的形式给定第46页/共108页第四十七页，共108页。算出统计(tngj)量则否定(fudng

26、)H0，接受H1则接受(jishu)H0wSnnYXT2111)2(|212nntT若)2(|212nntT若12012注意 在关于的假设检验中, 通常遇到的情况是，即检验与是否相等. 第47页/共108页第四十八页，共108页。20118212.68x65.58y1 . 0例3 某苗圃用两种育苗(y mio)方案对杨树进行育苗(y mio)试验, 已知在两组育苗(y mio)试验中苗高的标准差分别为cm, cm. cm, 设杨树苗(shmio)高服从正态分布, 试在显著性水平下, 判断两种试验(shyn)方案对平均苗高有无显著影响？现各抽取80株树苗作为样本, 算得苗高的样本均值分别为cm.

27、第48页/共108页第四十九页，共108页。XY)20,(21NX)18,(22NY210:H211:H) 1 , 0(0222121NnnYXUH解 设第一种方案(fng n)的苗高为第二种方案(fng n)的苗高为则检验(jinyn)假设选取检验统计量 该拒绝域为2222121znnyxu第49页/共108页第五十页，共108页。1 . 0645. 105. 02 zz8021 nn12.68x65.58y201182U15. 38018802065.5812.6822u645. 115. 3|u0H现在(xinzi), 统计(tngj)量的值因为(yn wi)所以拒绝原假设即这两种试验方

28、案对苗高有显著影响. 第50页/共108页第五十一页，共108页。拒绝域12(1)ttnn012112(1):;:HH为为常常数数 122211221212 (2)(1)(1)112XYTt nnnSnSnnnn拒绝域12(1)ttnn 012112(2):;:HH为为常常数数 22212 未知， 12 的单边检验 第51页/共108页第五十二页，共108页。均未知，设2222211,),(),(iiNYNX2221122210: HH) 1, 1(/212221222221210nnFSSSSFH 为真取统计(tngj)量分别(fnbi)是样本方差,2221SS 和第52页/共108页第五十

29、三页，共108页。的检验的检验未知未知222121,. 3 )1, 1(F21222122222121 nnFSSSS /212(1,1)FFnn(4)/212(1,1),Fnn查表2221122210:)1( HH则否定(fudng)H0，接受H1/ 2112(1,1)FFnn或1/212(1,1)Fnn/212(1,1)FFnn/ 2112(1,1)FFnn或(2)选取(xunq)统计量(3)拒绝域F（5）计算 第53页/共108页第五十四页，共108页。的单边检验的单边检验未知未知222121, )1, 1(F21222122222121 nnFSSSS 拒绝域)1, 1(21 nnFF

30、 2221122210:)1( HH)1, 1(F21222122222121 nnFSSSS 拒绝域)1, 1(211 nnFF 2221122210:)2( HH第54页/共108页第五十五页，共108页。例1 两家银行(ynhng)分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查，测得其平均年存款余额分别为2600 x元和2700y元.样本(yngbn)标准差相应为811s元和1052s试比较两家银行的储户的平均(pngjn)年存款余额有无显著差异。（取显著性水平10. 0）元。假设年存款余额服从正态分布，解 设两家银行的储户的平均年存款余额分别为X,Y,则211(,)XN 222(

31、,)YN 为了使用t检验， 依题意要检验1 与2 是否相等，但方差未知 ，因此首先需要检验21与22是否相等。第55页/共108页第五十六页，共108页。222111222222FSSSS 拒绝域)1, 1(212 nnFF /2120.05(1,1)(20,15)2.33FnnF 这里(zhl)查表(1)22(1)22012112:HH )1, 1(2121 nnFF 或或1/2120.9512(1,1)(1,1)FnnFnn 选取(xunq)统计量（1）检验(jinyn)假设0.0510.4545(20,15)F第56页/共108页第五十七页，共108页。F的值为2122F0.5951ss

32、因为(yn wi)33. 25951. 045. 0所以(suy)接受2221)1(0:H0.05(20,15)2.33;F 0.9512(1,1)0.4545Fnn(2)(2)012112:HH 选取(xunq)统计量（2）检验假设122211221212()(1)(1)112XYnSnSnnnn 第57页/共108页第五十八页，共108页。(3)拒绝域)1(212 nntT (4)查表2120.05(2)(35)1.69tnnt 22112212(1)(1)95.462nSnSSnn t统计量t 的值为 260027003.06795.46 1/211/16t 因为(yn wi)| | 3

33、.0671.69t ，所以(suy)拒绝(2)012:H 这说明两家银行的储户的平均年存款(cn kun)余额有显著差异 第58页/共108页第五十九页，共108页。的假设检验是总体(zngt),(2NX的前提(qint)下提出的。当总体X不服从正态分布时，只要n较大，对 假设检验均可选取Z统计量。检验）的检验（已知，关于Z2. 1），（近似100NnXZ检验）的检验（未知，关于Z2. 20100:HH) 1 , 0(0NnSXT近似第59页/共108页第六十页，共108页。 大子样的两总体(zngt)均值相等的 假设检验 U检验 21222211,DYEYDXEXYX分布是任意的，、设YX和

34、分别(fnbi)是这两个样本的且X与Y独立(dl),分别是这两个样本的样本方差,均值,2221SS 和，近似近似),(),(22221211nNYnNX大样本，由中心极限定理，第60页/共108页第六十一页，共108页。 未知，用样本标准差S近似代替. ) 1 , 0(/)(222121NnnYX近似大子样当21nn，都很大时) 1 , 0(/)(222121NnSnSYX近似大子样第61页/共108页第六十二页，共108页。2211212nSnSuYX) 1 , 0(/)(222121NnSnSYXU近似2/uU H0： 1=2 ；H1： 12 取统计(tngj)量提出(t ch)假设拒绝域

35、的形式(xngsh)给定显著性水平的拒绝域为则若考虑0,HYX第62页/共108页第六十三页，共108页。；及备择假设设根据实际问题提出原假10. 1HH求出拒绝域；为真拒绝当按00. 4HHP域的形式；确定检验统计量及拒绝. 3;. 2n及样本容量给定显著性水平0. 5H作出决策，是拒绝取样，根据样本观察值.0H还是接受本讲内容作简单(jindn)小结.第63页/共108页第六十四页，共108页。在大样本的条件下，若能求得检验统计量的极限(jxin)分布，依据它去决定临界值C.F 检验(jinyn) 用 F分布一般说来，按照检验所用的统计(tngj)量的分布, 分为U 检验 用正态分布t 检

36、验 用 t 分布2 检验2 用分布第64页/共108页第六十五页，共108页。 按照对立(dul)假设的提法，分为单侧检验(jinyn)，它的拒绝域取在左侧或右侧 .双侧检验(jinyn)，它的拒绝域取在两侧;第65页/共108页第六十六页，共108页。 例4 为比较(bjio)两台自动机床的精度，分别取容量为10和8的两个样本，测量某个指标的尺寸(假定服从正态分布)，得到下列结果：在 =0.1时， 问这两台机床是否(sh fu)有同样的精度? 车床(chchung)甲：1.08, 1.10, 1.12, 1.14, 1.15, 1.25, 1.36, 1.38,1.40,1.42车床乙：1.

37、11, 1.12, 1.18, 1.22, 1.33, 1.35, 1.36, 1.38第66页/共108页第六十七页，共108页。解:设两台自动机床的方差分别为在 =0.1下检验假设: ,2221 2221122210: HH)7 , 9(2221FSSF 取统计(tngj)量分别(fnbi)是的样本方差,2221SS 和)7 , 9(21 FF拒绝域为或)7 , 9(2 FF 由样本(yngbn)值可计算得F的实测值为:F=1.51第67页/共108页第六十八页，共108页。68. 3)7 , 9()7 , 9(05. 02 FF 查表得)7 , 9()7 , 9(95. 021FF 30

38、4. 029. 3/1)9 , 7(/105. 0F由于(yuy) 0.3041.513.68， 故接受H0 .如何检验已知，设,),(),(222211iNYNX2221122210: HH第68页/共108页第六十九页，共108页。假设检验会不会(b hu)犯错误呢？由于作出结论(jiln)的依据是下述小概率(gil)原理小概率事件在一次试验中基本上不会发生 .不是一定不发生 如果H0成立，但统计量的实测值落入否定域，从而作出否定H0的结论，那就犯了“以真为假”的错误 . 如果H0不成立，但统计量的实测值未落入否定域，从而没有作出否定H0的结论，即接受了错误的H0，那就犯了“以假为真”的错

39、误 .第69页/共108页第七十页，共108页。 假设检验的两类错误(cuw)H0为真实际情况决定拒绝H0接受H0H0不真弃真正确正确取伪 P拒绝H0|H0为真= , P接受H0|H0不真= . 犯两类错误(cuw)的概率: 显著性水平 为犯第一类错误的概率.P第一类错误(cuw)=P第二类错误=第70页/共108页第七十一页，共108页。何控制两类错误的概率的检验问题为例说明如值已知，方差以正态总体22),( NX），（ 100NnXU0100:HH对给定的显著性水平，H0关于 的接受域：X),2/02/0nunu（H0关于 的拒绝域：U2|uu 第71页/共108页第七十二页，共108页。

40、把本来正确(zhngqu)的东西给丢弃了这就范了“弃真”的错误，其概率(gil)是2/0uUPHxP的拒绝域P拒绝H0| 真=00:H正确。不真，）在（01100:2HH而结论(jiln)是：若 落在H0的接受域内，就接受H0，x但结论是：若 落在H0的拒绝域内，就拒绝H0，x（1）在H0正确的情况下， 落在R上的每一点都是可能的x范了“取伪”的错误，第72页/共108页第七十三页，共108页。）（）（正确接受2102102)(102212/02/021ununxdenHPnxnunu 注意(zh y)：积分区间长度不变：,22/nu 但积分区间(q jin)的中心0,/10故：nn第73页/

41、共108页第七十四页，共108页。（2）要同时降低两类错误的概率 ，或者要在 不变的条件下降低 ，需要增加样本容量. , （1）当样本容量固定时，一类错误概率的减少(jinsho)导致另一类错误概率的增加.因减少(jinsho)，积分区间长度：变大变长，nu2/2xdenPnxnunu2212/02/02)(21取伪第74页/共108页第七十五页，共108页。一个总体(zngt)的检验分布的卡方拟合检验/柯尔莫哥洛夫拟合检验二个总体相等(xingdng)的检验柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫/符号检验法/秩和检验法/游程检验法第75页/共108页第七十六页，共108页。分布拟合(n h)优度检验概率(

42、gil)图纸法2-拟合(n h)优度检验柯尔莫洛夫-斯米尔诺夫检验6.1 概率图纸法1.正态概率图纸的构造原理设总体X有分布函数 F ( x ) ，N( ,2) 表示正态分布族，需要检验假设20:( )( ,)HF xN 第76页/共108页第七十七页，共108页。在原假设 H0 为真时，通过(tnggu)中心化变换( )xF x 即()(0,1)Xu XN而函数(hnsh) u( x ) 是 x 的线性函数(hnsh)，( )xu x在 ( x , u ( x ) ) 直角坐标平面上是一条(y tio)直线，这条直线过点 (, 0 )，且斜率为 1/第77页/共108页第七十八页，共108页

43、。图 6-1在平面上直接标出 ( xi, Fi ) ，我们以横轴上的刻度表示 x ; 在纵轴上先刻出 u 的刻度（均匀），而后根据 u 的值，从正态 N( 0, 1 )分布表中查出对应的分布函数值(u) ，刻在 u 的位置上，然后把 u 的刻度抹去，留下 x 与 F(%)的刻度就构成一张正态概率图纸。 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4F(%)99.8797.7284.1315.872.280.131()uxxu第78页/共108页第七十九页，共108页。2. 检验(jinyn)步骤由格里汶科定理知道子样的经验分布函数Fn(x) 依概率(gil)收

44、敛于总体分布函数 F(x) 。因此若20:( )( ,)HF xN 为真，则点 ( xi , Fn(xi), i=1, 2, , n 在正态概率图纸上也应该近似地在一条(y tio)直线附近。根据上述想法，用正态概率图纸检验假设 H0的具体步骤如下：1）整理数据：把样本观察值按大小排列。假如 n 次观察值中有 m 个不同的值，则按大小次序列入下表。第79页/共108页第八十页，共108页。观察值观察值x(1)x(2)x()频数频数r1r2rmFn(x)11rn12rrn由于 ( x(m) , 1 ) 在正态概率图纸(tzh)上无法标出，不少统计学家建议对 Fn 的值作如下两种修正：1211(

45、)( )()()1kknknkrrrrF xF xnn或这种修正(xizhng)对小样本是必要的；2）描点：把点 ( x(k) , Fn(x(k) 描在正态概率(gil)图纸上；第80页/共108页第八十一页，共108页。3）目测这些点的位置，若这一列点大概在一条直线附近(fjn)，我们就可以接受原假设，否则就拒绝原假设。若通过概率图纸检验已经知道总体服从正态分布，我们就凭目测在概率图纸上画出最靠近各点 ( x(i) , Fn(x(i) , i=1, , n 的一条直线 l。在概率图纸上画一条 F=0.5 的水平直线，这条直线与直线 l 的交点的横坐标 x 0.5 就可作为参数(cnsh)的估

46、计。其次(qc)，我们还可用 x 0.8413 x 0.5 来估计( )xF x 0.50.5()=0 =0.5xF x 0.84130.8413()=1 =0.8413xF x 3. 未知参数与2的估计0.50.84130.5=,xxx第81页/共108页第八十二页，共108页。6.2 2 拟合(n h)检验法 设总体X的分布函数为具有明确表达式的 F(x) ，我们把随机变量X的值域 R 分成(fn chn) k 个互不相容的区间 A1=a0, a1), A2=a1 , a2), , Ak=a k-1, ak , 这些区间不一定有相同的长度设 是容量为 n 的样本观测值，ni 为样本观测值

47、中落入 Ai 的频数。则在 n 次试验中事件 Ai 出现的频率为1,nxx1,nxxinn我们现在(xinzi)检验原假设 H0: F(x)=F0(x). 设在原假设 H0 成立下，总体X落入 Ai 的概率为 pi ，即第82页/共108页第八十三页，共108页。001()( )(),1,iiiipP AF aF aik 由大数定律，在 H0 为真时，频率 ni/n 与概率 pi 的差异不应(b yn)太大。根据这个思想，Person 构造了一个统计量 2221()(1)kiiiinnpknp定理(dngl) 6.1：当 H0 为真时，即1,kpp为总体的真实(zhnsh)概率时，2221()

48、(1),()kiiiinnpknnp第83页/共108页第八十四页，共108页。如果原假设 H0 只确定总体分布的类型，而分布中还含有未知参数， , m , 则下面的 Fisher 定理解决了含未知参数情形(qng xing)的分布检验问题。定理 6.2：设 为总体的真实分布，其中 为 m 个未知参数。在1( ;,)mF x1,m在 中用 的极大似然估计 代替 ，并且以 1( ;,)mF x1,m1,m1,m1( ;,)mF x去估计 pi 得到111( ;,)(;,)iimimpF aF a则有下面(xi mian)的统计量2221()(1),()kiiiinnpkmnnp第84页/共108

49、页第八十五页，共108页。Person 2拟合优度检验(jinyn)的步骤：1）把总体X的值域划分为 k 个互不相交的区间 ai , a i+1 ) , i=1, , k , 其中 a1, ak+1 可以分别(fnbi)取 -, +; (每个划分的区间必须包含不少于5个个体，若个体数少于5个时，则可指导这种区间并入其相邻的区间，或者把几个频数都小于5，但不一定相邻的区间并成一个区间）。2）在H0成立下，用极大似然估计(gj)法估计(gj)分布所含的未知参数；3）在H0成立下，计算理论概率010()( )iiipF aF a第85页/共108页第八十六页，共108页。并且算出理论(lln)频数

50、npi ;4）按照样本观察值 落在区间 ai, ai+1 )中的个数，即实际频数 ni , i=1, , k 1,nxx计算(j sun)221()kiiiinnpnp5）按照所给出的显著性水平，查自由度为k-m-1 的2-分布表得21(1)km6）若 ，则拒绝原假设H0，否则认为原假设成立。22(1)km这里(zhl) m 是未知参数的个数；第86页/共108页第八十七页，共108页。【例6.1】某研究人员在某地随机抽查了150户3口之家，结果(ji gu)全家无某疾病有112户，家庭中1人患病的有20户，2人患病的有11户，3人全患病有7户，问该病在该地是否有家族聚集性。解：如果家庭成员之

51、间的发病与否（X）互不影响，则X符合二项分布（两种互斥结果、试验条件不变、各次试验独立）。也就表明疾病不具有(jyu)家族聚集性。H0:该病分布(fnb)服从二项分布(fnb)，H1:不服从二项分布(fnb)=0.0514. 0450631503731122011120调查总人数发病总人数86. 014. 011第87页/共108页第八十八页，共108页。理论家庭(jitng)数=150*理论概率 033(0)0.140.860.636060P X 理论(lln)概率n =3-1-1=1, 20.05 (1)=3.84, 30.5783.84具有家庭(jitng)聚集性221()kiiiinn

52、pnp第88页/共108页第八十九页，共108页。拟合(n h)优度卡方检验的问题1.分组不同，拟合(n h)的结果可能不同。2.需要有足够的样本含量。对于连续型变量的优度拟合，卡方检验并不是理想(lxing)的方法。统计学家推荐的拟合检验方法是： Kolmogorov-Smirnov检验柯尔莫洛夫-斯米尔诺夫检验第89页/共108页第九十页，共108页。采用Kolmogorov-Smirnov法进行(jnxng)正态性检验由Kolmogorov与Smirnov提出。原理：寻找最大距离（Distance）， 所以常简称为D法。适用(shyng)于大样本。具体做法： 比较实际频数与理论频数的累积

53、概率间的差距，找出最大距离(jl)D，根据D值来判断实际频数分布是否服从理论频数分布。sup( )( )nnxDF xF x 统计量：H0: F(x)=F0(x).第90页/共108页第九十一页，共108页。D 拟合优度检验(jinyn)的步骤：1）将n个子(g zi)样值nxxx,21按从小到大排列(pili)，把相同的数合并，并指出其频数12*mxxx2）算出经验分布函数3）计算D的值，即0sup( )( )nnxDF xF x 0101max( *)( *) ,(*)( *)niiniii nF xF xF xF x 4）若 ，则拒绝原假设H0，否则认为原假设成立。,nnDD第91页/共

54、108页第九十二页，共108页。60.12737D 7D40.11993D 第92页/共108页第九十三页，共108页。1.柯尔莫哥洛夫(lu f)-斯米尔诺夫H0: F1(x)=F2(x).二个总体相等(xingdng)的检验2.符号检验法3.秩和检验法4.游程(yu chn)检验法第93页/共108页第九十四页，共108页。H0: F1(x)=F2(x).二个总体相等(xingdng)的检验子样的经验(jngyn)分布函数F1m(x) , F2n(x) 1212,mnXXXY YY设是来自(li z)两个独立总体的样本,1. 柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫12sup( )( )mnmnxDFxF

55、x 原假设H0成立的条件下,mnD不应该太大下,第94页/共108页第九十五页，共108页。H0: F1(x)=F2(x). 1212,nnXXXY YY设2.符号检验法是来自两个独立(dl)总体的样本,(容量(rngling)相等)12iiiiP XYP XYH0为真时,iiX Y是独立同分布的连续型随机变量 利用对称性=0iiP XY1,0,iiiiXYXY1,0,iiiiXYXY1(1, )2iB且独立1(1, )2iB且独立第95页/共108页第九十六页，共108页。1(1, )2iB且独立H0: F1(x)=F2(x). 1212,nnXXXY YY设1(1, )2iB且独立11( , )2ninB n11( , )2ninB nH0为真时,H0为真时,nnn,2nn n以较大的概率取均值附近的整数值0