数理方程中典型方程和定解条件的推导学习教案

1、数理方程中典型方程和定解条件数理方程中典型方程和定解条件(tiojin)的推导的推导第一页，共87页。一些典型(dinxng)方程和定解条件的推导第一章Calculations of Some Typical Equations with Definite Conditions 思路(sl)数学物理方程与特殊函数第1页/共87页第二页，共87页。一. 均匀弦的横振动方程(fngchng)的建立二. 传输线方程(fngchng)(电报方程(fngchng)的建立三. 电磁场方程(fngchng)的建立四. 热传导方程的建立 提要：五. 举例第2页/共87页第三页，共87页。数学(shxu)物理方

2、程的建立： 从考察(koch)对象中任取一微元，寻找与之有关的力、热、声、光、电等物理关联数学表述，并对其整理、简化，得到所研究问题的偏微分方程。 “一语道破(y y do p)！”适用范围： 这是从事科学研究的基本方法与路径。第3页/共87页第四页，共87页。rmamF 0yx22tdxdmxmFx 22tdydmymFy 建建立立的的基基本本原原则则物物理理学学中中对对应应微微分分方方程程，分分别别向向坐坐标标轴轴投投影影。将将物物理理学学中中的的矢矢量量方方程程mF22tdxdmxmFx 22tdydmymFy 第4页/共87页第五页，共87页。第一章 一些典型方程(fngchng)和定

3、解条件的推导1.1 基本(jbn)方程（泛定方程）的建立 物理(wl)模型（现象、过程） 数学形式表述（建立偏微分方程并求解）目的：培养分析、归纳、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算的科学方法。 步骤：(1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系； （2）在系统内部，任取一微元，利用物理规律，分析其与相邻部分间的作用； （3）忽略次要因素，抓住主要矛盾； （4）化简整理，得到偏微分方程。 不含初始条件不含边界条件第5页/共87页第六页，共87页。物理状态描述: 设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外，不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小(wixio)振动。平衡位置任意

4、截取(jiq)一小段，并抽象性夸大。弦的振动：虽然(surn)经典，但 极具启发性。一. 均匀弦的横振动方程的建立第6页/共87页第七页，共87页。X1、建立(jinl)坐标系 选定微元uodsMNMNxx+dx 2、微元ds的动力学方程（牛顿(ni dn)第二运动定律）NoImageTT gds. 两两端端所所受受张张力力微微元元、dSTT 长长度度内内的的质质量量）细细弦弦的的线线密密度度（单单位位 重力加速度重力加速度g隔离(gl)物体法第7页/共87页第八页，共87页。X1、建立(jinl)坐标系 选定微元uodsMNMNxx+dx2、微元ds的动力学方程(fngchng)（牛顿第二运

5、动定律）NoImageTT gds. 0coscos TTt tudsgdsTT sinsin(1)(2)第8页/共87页第九页，共87页。的极限如果差商导数xy xx)x(f)x(flimxylimxxx 1101 .xyxdydx)x(f ，或点的导数，记作在函数存在，这个极限就称为 马克思在数学手稿中指出：微分是“扬弃了的或消失(xiosh)了的差值”。哲学上的“扬弃”是指“既被克服又被保存”，是包含着肯定的否定。在导数定义中，分子y 和分母x 都被扬弃了，就是说，它们都消失(xiosh)为 0 ，从而有限大小的 x 和 y 都被克服，差商00变成了变成了xy 但是，它们的依赖关系（比值

6、(bzh)）却保存下来了。我们(w men)记扬弃了的（或消失了的）xdx ydy 那末，导数就是dxxfdyxfdxdy)(,)( 或是或是导数第9页/共87页第十页，共87页。从运动的观点看导数(do sh)的定义导数(do sh) 关于函数的某种形式(xngsh)的极限 （实质）函数在某点上的变化率 （数学结构）某点上切线的斜率 （几何意义）导数 “只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动。” 摘恩格斯.自然辩证法 改变量增量微分算子 ddxxxd2:2 例如x)t ,x(ux)t ,x(u)t ,dxx(u 再如：)t ,x(u)t ,x(u)tdt

7、,x(u )t ,x(u)t ,x(u)t ,dxx(u 又如：第10页/共87页第十一页，共87页。3、忽略(hl)与近似0coscos TTt tudsgdsTT sinsin(1)(2)ds TT gds.o 对于(duy)小振动：0;0 所以(suy)有：1cos;1cos 1cos1sec1222 tgxxutgtgtg 21sindxxxutgtgtg 21sinxdxx MM NM uxxutg 正正是是切切线线的的斜斜率率，即即 第11页/共87页第十二页，共87页。3、忽略(hl)与近似0coscos TTt tudsgdsTT sinsin(1)(2)对于(duy)小振动：

8、1cos;1cos xxutgtgtg 21sindxxxutgtgtg 21sin于是(ysh)（1）式变为：TT 代入（2）式变为：)(sinsingudsTTt t )(gudsxuTxuTttxdxx 一般说来， ， 将 g 略去，上式变为gutt ttxdxxudsxuTxuT ttxdxxuxdxuxuT )(0;0 第12页/共87页第十三页，共87页。TT ttxdxxuxdxuxuT )(同一数值。而异，它在整根弦中取指出，即张力不随地点TT 间而变。而变，所以张力不随时在振动过程中不随时间，即长度 dsdxds 是一个常数。无关，它在振动过程中无关，又与总之，张力既与tx改

9、变量增量微分算子 ddxxxd2:2 例如x)t ,x(ux)t ,x(u)t ,dxx(u 再如：)t ,x(u)t ,x(u)tdt ,x(u )t ,x(u)t ,x(u)t ,dxx(u 又如：第13页/共87页第十四页，共87页。ttxdxxudxxuxuT )(ttudxxtxuxtdxxuT ),(),(上式实际上可以(ky)明确表示为：2222tuxuT 令 ，于是有：2aT t txxuua 2一维波动(bdng)方程ttudxdxxuxT xuxtxutdxxu),(),(4、整理(zhngl)化简 xtxutdxxuxtxuxtdxxu),(),(),(),(成成依依据据

10、微微分分性性质质，可可以以写写式式，左左边边方方括括号号内内的的表表述述形形有有表表示示函函数数的的增增量量，于于是是际际上上上上式式右右边边方方括括号号内内，实实代代替替。的的改改变变量量，不不妨妨用用微微分分到到对对应应的的函函数数值值从从的的变变化化，而而引引起起产产生生了了自自变变量量子子，它它表表示示上上式式右右边边方方括括号号内内的的分分utdxxutxudxx ),(),(第14页/共87页第十五页，共87页。L二. 传输线方程(fngchng)(电报方程(fngchng)的建立xdxx 现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体,每单位长导线所具有的电阻、电感

11、、电容、电导(din do)分别以 R、L、C、G 表示。 对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出,同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著辐射电磁波出去的程度），电路导线(doxin)中的自感和电容的效应不能被忽视，因而同一支路中电流呈现瞬态变化。第15页/共87页第十六页，共87页。).(txvdvv xdxx RdxLdxCdxGdx),(txidiiP物理状态(zhungti)描述: 设如图传输线是分布参数电路，即传输线上电阻 R、电感 L、电容 C 和电导 G 是按单位长度计算其对应的物理量，并且在 x+dx 范围之内的所有元件(

12、yunjin)无论布局如何，均认为其长度为 dx.xdxx 第16页/共87页第十七页，共87页。 udtLidtdiLuLidtduLLLL1 idtqdtduCdtCuddtdqiCuq)(tdduCiCCtddiLuLL电容(dinrng)元件：电感(din n)元件：换路定理(dngl):在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。电路准备知识第17页/共87页第十八页，共87页。+LLCC+-与同学们商榷(shngqu)的几个问题：（P4-5）（1）设某时刻 t ，输入与输出端的对应关系是否合理?（2）电流 作为初始条件，在流经电感时是否要变化？（3）按照图示，电容与电导两端的电

13、压如何界定（注意P5. -1.5式）？),(txvdvv xdxx RdxLdxCdxGdx),(txidii P”是否(sh fu)合理？ivGdxtvCdxdiii)(“另外,由基尔霍夫第一定律,流入节点(ji din)的电流应等于流出该节点(ji din)的电流,即结点与节点有区别吗？)5 . 1(5 P21 图图tdduCiCCtddiLuL 第18页/共87页第十九页，共87页。梁昆淼先生(xin sheng)的做法： “今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容，电漏分别(fnbi)记以 R，L，C，G。于是dxx xjdjj vdvv tjdxLjdxR

14、vd )(vCdxtvdxGjd 亦即tjLjRxv tvCvGxj 亦即0)( jtLRxv0)( xjvtCG将 作用于第一式, 作用于第二(d r)式,两结果相减,就消去了 而得 的方程tCGx vj02222 xjtjLCtj)RCLG(RGj0)(2222 xvtvLCtvRCLGRGv同理,消去 ,得到 的方程jv第19页/共87页第二十页，共87页。dxxii 设某时刻(shk) t ，对应关系如下：左端： ； 右端: txitxvx,dxxiidxxvvdxx txv, txi,+LLCC+-xdxx tdxxvvdxC dxxvvdxGdxxvv tdduCiCCtddiLu

15、L 输入(shr)端输出(shch)端dxRdxLP参阅：丘关源主编电路P426-430，第十八章，均匀传输线。第20页/共87页第二十一页，共87页。 txv, txi,+LLCC+-xdxx tdxxvvCdx dxxvvGdxdxxvv dxxii 由基尔霍夫电压(diny)定律:)(dxxvvvUULR dxxvtiLdxiRdx 0 RitiLxv由基尔霍夫电流(dinli)定律: xdxitxixdxvvxdGxdxvvtxdCtxi),()()()(),(tdduCiCCtddiLuL 电容(dinrng)上的电流：电感上的电压：流入流出xdRxdL)4 . 1(P第21页/共8

16、7页第二十二页，共87页。 txv, txi,+LLCC+-xdxx tdxxvvCdxdxxvvGdxdxxvv dxxii 由基尔霍夫电流(dinli)定律: dxxitxidxxvvGdxdxxvvtCdxtxi),()()()(),(tdduCicc tddiLuL 电容(dinrng)上的电流：电感(din n)上的电压：整理后得到：0)( xdxvGvGxdxvtCtvCxi0 GvtvCxi相对于函数的变化率，略去无穷小量dx ,得02 xdxvGvGxdxtvCtvCxixdRxdL)5 . 1(P第22页/共87页第二十三页，共87页。由基尔霍夫电压(diny)定律:0 Ri

17、tiLxv由基尔霍夫电流(dinli)定律:0 GvtvCxi(1.4)(1.5)相减，即得到求导，把以上两个结果后，再对两边乘以）求导，同时在方程（）对，将方程（例如，为了消去）所满足的方程。（或），即可得到（或从上述方程组消去tCxvviiv1.41.502222 tiRCtiLCxvGxi代入上式，得）中的将（tv 1.4）（1.62222iGRti)GLRC(tiLCxi 所满足的方程。这就是电流i第23页/共87页第二十四页，共87页。22222tixia t txxiia 222222txa t txxa 2LCa12 其中其中所满足的方程。这就是电流i所满足的方程，可得电压）中消

18、去）与（如法炮制，从（vt1.51.4）（1.72222vGRtv)GLRC(tvLCxv 所满足的方程。这就是电流i）可简化为）与（此时方程（，即令生的效应可以忽略不计况下，电导与电阻所产高频传输之情，在的各种特殊形式。例如就可以得到传输线方程作不同的假定，、对电路参数依据不同的具体情况，1.71.60 ,GRGCLR 第24页/共87页第二十五页，共87页。基本电磁场量 场的物质(wzh)方程 Maxwell方程电场强度磁场强度电感应强度磁感应强度BDHEDEBHJE 0BrotEtDrotHJtdivDdivB : 介质的介电常数导磁率导电率:J 传导电流的面密度电荷的体密度:Hamil

19、ton operatorijkxyzVector difference operator三. 电磁场方程(fngchng)的建立2222222zyx:operatorLaplace 第25页/共87页第二十六页，共87页。目标: 利用上述关系,分别解出 、 。HE由DrotHJt JEDE 将 代入上式，得 ErotHEt 对上式两边(lingbin)求旋度， 得rot rotHrotErotEt 再将 代入上式，得 BrotEtBH 22HHrot rotHtt 这是一个关于(guny)磁场强度的二阶微分方程方法(fngf)之一第26页/共87页第二十七页，共87页。22HHrot rotH

20、tt 为进一步化简，利用 Hamilton 算子(sun z)的运算性质磁场强度(cchng qingd)、磁感应强度的散度为零。222HHHtt 如法炮制(r f po zh)，可得关于电场强度的方程222EEEtt 如果介质不导电（=0），上述方程简化为：三维波动方程 将 代入上式，得 10div Hdiv B HHHHrotrot2)()( EtEHtH22222211第27页/共87页第二十八页，共87页。目标: 建立关于电位 u 的方程 由电感应强度 与电场强度 的定义知：D E div Ddiv Ediv E（电荷(dinh)体密度）而电场(din chng)强度与电位之间的关系，

21、由下式确定Egrad u 由此可得：div grad u 依据Hamilton 算子的运算(yn sun)性质：这个非齐次方程称为泊松（Poisson）方程若静电场是无源的，即 ，上式又可写成0 这个齐次方程称为拉普拉斯（Laplace）方程上式可写成uuuugraddiv 2)( u202 u方法之二第28页/共87页第二十九页，共87页。高公式为什么数学中的奥 - dFSdFS )(关系所围成的体积分之间的场函数的曲面积分与其dxdy)z , y,x(Zdzdx)z , y,x(Ydydz)z , y,x(XS 高公式奥-dxdydz)zZyYxX( 可以写成如下形式k)z , y,x(Z

22、j )z , y,x(Yi )z , y,x(X)z , y,x(F 上的向量场为设空间 数学准备(zhnbi)知识第29页/共87页第三十页，共87页。 dFSdFS dxdy)z , y,x(Zdzdx)z , y,x(Ydydz)z , y,x(XS 高公式奥-dxdydz)zZyYxX( 可以写成如下形式因为等是显然的上述两个方程的右端相,k)z , y,x(Zj )z , y,x(Yi )z , y,x(X)z , y,x(F 场函数zZyYxXF zkyjxi 矢量微分算子作点积的结果为第30页/共87页第三十一页，共87页。)z , y,x(M S )y,x( S M nxyz0

23、，上，过点在小曲面块)z , y,x(MS 。作一个相应的切平面S 。平面上的投影都是在和使 xySS0 的条件下，的直径在0 d 的面积应当趋于相等。的面积和SS SddS;SSlimd 也即即10 点的法方向，是曲面在另一方面，设Mn，轴的夹角是它与即 z),z,z(nyx1 cosdydxcosdSd 显然有 cosdydxdS 因此)y,x( zzS 的方程为设光滑曲面)y,x(z),y,x(z)y,x( zzyx的偏导数函数 )(cosdSdydx1 即.钝角取负轴的夹角是锐角取正与果为例，的选取而定，以上面结右端的符号随;znn第31页/共87页第三十二页，共87页。k)z , y

24、,x(Zj )z , y,x(Yi )z , y,x(X)z , y,x(F , )z , y,x(内点的坐标是在直角坐标系中，空间 上的向量场为空间 ，它的方向即法方向，的大小是是光滑曲面，设dSSdS因此的方向余弦是又设,cos,cos,cosSd dS)kcosjcosi(cosSd 于是dS)cosZcosYcosX(SdF 所以dS)cosZcosYcosX(SdFSS 式）。上的积分（直角坐标形在曲面这就是场函数SF第32页/共87页第三十三页，共87页。的边界，则有是有界空间闭区域闭曲面 Sdxdy)z , y,x(Zdzdx)z , y,x(Ydydz)z , y,x(XS 高

25、公式奥-dxdydz)zZyYxX( .取外侧式中Sdxdy)z , y,x(Zdzdx)z , y,x(Ydydz)z , y,x(XS 的等价表示型曲面积分用方向余弦于是，对于坐标的组合dS)cosZcosYcosX(S .P127.)(. 中积分之和的计算公式曲面积分化成三个二重向的夹角的外法线与各坐标轴正分别为曲面式中S, SdFS dScosdydx)(cosdSdydx ，即因为之前有结果：1如法炮制。可按照前面方法与至于,dxdzdzdy第33页/共87页第三十四页，共87页。因此有下列等价表示SdFS dS)cosZcosYcosX(S dFdxdydz)zZyYxX( 高公式

26、的奥将上述结果，代入之前- dFSdFS dxdydz)zZyYxX( zkyjxi:operatorHamilton dS)cosZcosYcosX(S ，泛指场函数。式中F式高公式的另外一种表达即得奥-第34页/共87页第三十五页，共87页。静电场方程(fngchng)泊松 (Poisson) 方程(fngchng)的电荷，的介质中，有体密度为介电常数物理描述：设在充满了)z , y,x( 电场。试研究这个区域中的静)z ,y,x(V函数由于静电场中存在一势）（1VE 2222222zyx:operratorLaplace zkyjxi:operatorHamilton 所遵循的规律即可。

27、中电势问题，只需研究此区域为电场强度。要研究此其中VE，围出一块空间区域域中，作任意封闭曲面为此，在所要研究的区 S定理有高则由电学中奥)GaussOersted( dSdES 1位制）（这里采用的是国际单高公式有又由数学中的奥 - dESdES 然比较上面两式右端，显 dE d 1)(体积分之间的关系曲面积分与其所围成的方法(fngf)之三第35页/共87页第三十六页，共87页。2222222zyx:operratorLaplace zkyjxi:operatorHamilton 是任意的，因此由于 E 1 ）（1VE ）式代入上式即得将（1 12 VV)V(故有）（21 V）式变为则（即荷

28、若所讨论的区域中无电在真空中方程此即泊松2,0,).(0 )Poisson(）（30222222 zVyVxVV 程）。）方程（简称为拉氏方此即拉普拉斯（Laplace dE d 1第36页/共87页第三十七页，共87页。物理模型: 均匀且各向同性的导热体, 在传热过程(guchng)中所满足的微分方程 .研究对象(duxing): 热场中任一闭曲面 S ,体积为 V,热场V(体积(tj)S(闭曲面) t 时刻, V 内任一点 M(x,y,z) 处 的温度为 u(x,y,z,t).M 曲面元 ds 的法向 (从V内 V外) nnds数学表述为：dtdsnukdQ 四. 热传导方程的建立物理规律

29、: 由热学的(Fourier)实验可知: dt 时间之内,流经面元 ds 的热量 dQ, 与时间 dt 成正比； 曲面面积 ds 成正比； 温度 u 沿曲面法方向 的 方向导数 成正比。dndun第37页/共87页第三十八页，共87页。 关于双侧曲面的侧与其(yq)边界曲线的方向作如下规定：设有人站在双曲面指定的一侧，沿其行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线的正向；若沿其行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线的负向，这个规定方法也称为右手法则，即当右手除拇指之外的四指按的正向弯曲时，竖起的拇指所指的方向与上法向量的指向相同，称如此规定了正向的边界曲线为曲面的正向边界曲

30、线如图所示 n规定，符合右手定则。的法线方向曲面元ds小常识第38页/共87页第三十九页，共87页。dtdsnukdQ MdsnV(体积(tj)S(闭曲面(qmin)热场正的常数。各向均匀且同性时，为，表示物质的热传导系数，式中的)z ,y,x(kk nugradnuugradnu 的关系：与温度梯度法方向方向导数”的说明：关于上式中“-的外法线方向；的方向，是所通过曲面nu 处流向低温处，即而负号表示热流从高温012 （高温）（低温） uuu在这里尚未涉及。轴的投影至于法向矢量对于坐标值上考虑注意：这里仅仅着眼量,为正数！量从而，保证了温度的增u 第39页/共87页第四十页，共87页。Mds

31、nV(体积(tj)S(闭曲面(qmin)热场数学(shxu)表述为：tdsdnukdQ 从 t1 t2 ,通过曲面元 S ,流入区域 V 的热量为 tdSdugradkdtdSnukQttSttS 2121必然等于 V 内各点所吸收的热量(热量守恒) VdtzyxutzyxucV 12,(),( 的定义）（法向方向导数与梯度nugrednu 上式中的 ，在热学中的意义？ c 为何上式左边的“”号又不见了？ 度时所需要的热量）氏克物质，温度每升高摄比热（11c积里的质量）。物质的密度（单位体 ./(cm)3工程中的质量单位：克度）（千克卡工程中的比热单位：千 /从热场通过面元考虑，依据热学的观点

32、因为这里仅仅从量值上多出一符号。内的放热为负，这里又对VdS第40页/共87页第四十一页，共87页。tdSdugradkQttS 21 VdtzyxutzyxucV 12,(),( 数学处理：由于 S 为闭曲面，假设 u(x,y,z) 具有一阶连续偏导数(do sh), 那么 依据奥高公式（高斯公式） SVVdugraddivkSdugradkVdukV 2因此(ync)有：tdVdtuctdVdukttVttV 21212 uu)u(ugraddivazayaxaadivuzukyujxuiugradzyx 2第41页/共87页第四十二页，共87页。tdVdtuctdVdukttVttV 2

33、1212 由于 t1 , t2 以及区域 V 的任意性 , 且被积函数为连续(linx), 因此有VdtucVduk 2)zuyuxu(ckucktu2222222 若令: , 那么上述方程可写为 cka 2三维热传导方程(fngchng)uauatu 222 tuua 2即有第42页/共87页第四十三页，共87页。222222222()uuuuauatxyz讨论(toln):2222222()( , , , )uuuuaf x y z ttxyz(1). 若 V 内有热源(ryun), 强度为 F(x,y,z,t) ,则热传导方程为其中Ffc (2). 若导热(dor)体为一根细杆 , 则(

34、3). 若导热体为一薄片 , 则22222()uuuatxy222xuatu 第43页/共87页第四十四页，共87页。(4). 若热场为一稳恒场(温度(wnd)趋于平衡状态) , 则0 ,ut 与之对应(duyng)有稳恒温度场内的温度满足(mnz)Laplace方程.(5). 在研究气体的扩散、液体的渗透、半导体材料中杂质的扩散等物理过 程时 , 若扩散系数为常量，那么所导出的 扩散方程，形式上与热传导 方程相同。 即22uaut 这里2( , , , )aDuu x y z t 扩散系数浓度02 u第44页/共87页第四十五页，共87页。一. 均匀(jnyn)弦的横振动方程二. 传输线方程

35、(fngchng)(电报方程(fngchng)22222uuaxt 2xxtta uu 2Ta 一维波动(bdng)方程22222iiaxt 22222axt 2xxtta ii 2xxtta 21aLC 高频传输线方程三. 电磁场方程222222222)(tuzuyuxua 12 a HEu 三维波动方程四. 热传导方程tuzuyuxua )(2222222 cka 2),(tzyxuu (场点 t 时刻的温度分布) 三维热传导方程),(txuu (振幅),(, ),(txVVtxii (电流、电压)ttuua 2tuua 2第45页/共87页第四十六页，共87页。1.2 初始条件与边界条件

36、上一节谈到：物理规律 数学表述；我们还需要将 具体条件 数学表述出来。 所提出的具体条件，应该恰如其分地说明系统的初始状态，以及边界上的物理(wl)情况，不能提出过多的条件，也不能提出过少的条件。 从物理的角度来说，只要确定了系统的初始状态、边界上的物理情况，那末(n m)其后的发展，也必是确定的了；换言之，其相应的数学问题，应该有唯一的解。 一、初始条件系统内部(nib)描述与时间有关的初始状态的数学表述。（1）弦振动.)()(为初速度为初速度为初位移，为初位移，物体若以：物体若以：xx )()(00 xtuxutt 初始条件表述为：初始条件表述为：第46页/共87页第四十七页，共87页。（

37、2）热传导处的温度。处的温度。时，其内部任意一点时，其内部任意一点表示表示物体若以：物体若以：),(0)(zyxMtM )(),(0MtMut 初始条件表述为：初始条件表述为： 特别(tbi)说明：Poisson 方程，Laplace 方程，都是描述稳恒状态的，与初始条件无关，可不提初始条件。 列出初始条件，一般都不至于感到困难，不过有一点必须强调：初始条件应当说明整个系统的初始状态，而不是(b shi)系统中个别地点的初始状态！.,动动突突然然松松手手，任任其其纵纵向向振振而而静静止止另另一一端端被被拉拉长长一一端端固固定定长长为为例例如如：一一根根均均匀匀杆杆，原原el始始位位移移若若写写

38、成成初初始始速速度度显显然然为为零零，初初eut 0，就就大大错错特特错错了了。llexxxlexlexut)1(0 初位置初速率0)0 ,(00 xuututtttxu0，于于是是有有位位长长度度被被拉拉长长，故故单单时时杆杆被被拉拉长长了了均均匀匀的的，考考虑虑到到杆杆的的初初始始伸伸长长是是位位移移。并并不不是是杆杆上上各各处处的的初初始始是是杆杆右右端端的的初初始始位位移移，因因为为leete0 .;0000elulxuxtt 时，时，当当时，时，验证：当验证：当第47页/共87页第四十八页，共87页。 二、边界(binji)条件具体物理问题的边界(binji)约束状态。以弦振动为例，

39、弦振动时，其端点（以 x=a 表示这个(zh ge)端点）所受到的约束情况，通常有以下三类0uxa右端点(dun din)在振动过程中始终保持不动。（1）固定端（右端）0),(0 tauoruax（2）自由端（右端）0uxa 右端点在振动过程中不受 u 方向的外力，从而这个端点在位移方向上的张力为 0。0sin axxuTtgTT 0),(: tauorx第48页/共87页第四十九页，共87页。（3）弹性(tnxng)支承端置置：设设弹弹性性支支承承端端原原来来的的位位0 u表示弹性支承的应变。表示弹性支承的应变。则则axu 方向的引力方向的引力处，沿位移处，沿位移定律知，这时弦在定律知，这时

40、弦在由由uaxHooke 0uxaTaxaxukxuT 0) axuxu （或或为弹性体的倔强系数为弹性体的倔强系数kTk 这里这里第49页/共87页第五十页，共87页。又如热传导问题(wnt)：V(体积)S(闭曲面)Mnds. ),(),()1(tzyxftzyxuS为已知函数为已知函数的温度分布的温度分布则边界条件为：则边界条件为：。的函数的函数上（一般依赖于上（一般依赖于为定义在为定义在)tSffuS .)2(态态与与周周围围介介质质处处于于绝绝热热状状物物体体 V则则边边界界条条件件为为：.0,0的的热热量量流流速速为为流流经经 SnuS 换换。两两种种不不同同介介质质间间的的热热交交

41、)3(S外面介质外面介质内部介质内部介质k1ku1u1S第50页/共87页第五十一页，共87页。S外面介质外面介质内部介质内部介质k1ku1u.为为热热传传导导系系数数k1S换换。两两种种不不同同介介质质间间的的热热交交)3(。，表表面面为为热热传传导导系系数数为为内内部部介介质质的的温温度度为为Sku ,。，表表面面为为热热传传导导系系数数为为外外部部介介质质的的温温度度为为111,Sku:外外一一种种介介质质的的情情况况现现在在考考虑虑将将物物体体置置于于另另生生热热交交换换。表表面面处处与与周周围围介介质质就就产产物物体体往往往往并并不不相相同同，这这样样在在与与物物体体表表面面温温度度

42、由由于于度度和和物物体体接接触触处处的的介介质质温温我我们们能能够够测测量量到到的的只只是是uuu11,，取取正正值值。为为种种介介质质间间的的热热交交换换系系数数两两个个表表面面无无限限贴贴近近，两两h另另一一介介质质的的热热量量）定定律律：从从一一介介质质流流入入导导实实验验（这这时时，利利用用另另一一个个热热传传Newton正正比比和和两两介介质质间间的的温温度度差差成成tddSuuhdQ)(1 .数数为为两两介介质质间间的的热热交交换换系系h上上的的热热流流量量。表表面面上上的的热热流流量量，应应该该等等于于不不能能堆堆积积，因因此此在在曲曲面面由由于于在在物物体体表表面面的的热热量量

43、1SS上上的的热热流流量量为为流流过过表表面面 StddSnukdQ 上上的的热热流流量量为为流流过过表表面面1StddSuuhdQ)(1 因因此此有有关关系系tddSnuk tddSuuh)(1 第51页/共87页第五十二页，共87页。)(1uuhnuk SSuunu1) （kh 其中其中因因此此有有关关系系tddSnuk tddSuuh)(1 即即1uhuhnuk 条条件件为为热热交交换换时时，相相应应的的边边界界所所以以，当当物物体体和和外外界界有有，那那么么有有是是可可测测量量的的，设设由由于于),(311tzyxfhuu 3)funuS （第52页/共87页第五十三页，共87页。本课

44、程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括(boku)以下三类。第一类边界条件(tiojin)：物理条件(tiojin)直接规定了 u 在边界上的值，如1fuS 第二类边界条件：物理条件并不直接(zhji)规定了 u 在边界上的值，而是规定了u 的法向微商在 边界上的值，如2fnuS 第三类边界条件：物理条件规定了 u 与un 在边界上值之间的某个线性关系，如3)(funuS ;,1321tSfff上上，一一般般也也依依赖赖于于时时间间都都定定义义在在边边界界）说说明明：（，否否则则称称之之为为非非齐齐次次；，称称之之为为齐齐次次边边界界条条件件）若若（02321 fff;3t间间界界条条件件的的两

45、两端端均均不不含含时时）对对于于稳稳恒恒场场，上上述述边边（边边界界上上选选取取。致致相相同同，但但微微元元只只能能在在骤骤与与泛泛定定方方程程的的推推导导大大）边边界界条条件件的的推推导导，步步（4第53页/共87页第五十四页，共87页。1.3 定解问题(wnt)的提法1. 二阶线性偏微分方程(wi fn fn chn)的解二阶线性偏微分方程(wi fn fn chn)的最一般形式为（n 个自变量）fuCxuBxxuAuLiniikinkiki 121,的的已已知知函函数数。都都只只是是其其中中nikixxxfCBA,21,对于只有两 个自变量的情况，上式则变化为（1.33）),(),(),

46、(),(),(),(2),(22222yxfuyxFyuyxExuyxDyuyxCyxuyxBxuyxA （1.34）线性偏微分方程（1.33）的重要特征之一，就是从本身的形式上，将叠加原理表现得淋漓尽致。第54页/共87页第五十五页，共87页。是方程是方程若若iu), 2 , 1( ifuLi的的解解，而而且且级级数数收敛，收敛，iiiuCu 1为为任任意意常常数数，次次，其其中中并并且且，能能够够逐逐项项微微分分两两), 2 , 1( iCi一一定定是是方方程程则则u，是是收收敛敛的的的的解解（当当然然右右端端的的级级数数)1iiifCuL 特别是，当特别是，当是是二二阶阶线线性性齐齐次次

47、方方程程), 2 , 1( iui的解，的解，0 uL两两次次，收收敛敛，且且可可以以逐逐项项微微分分则则只只要要iiiuCu 1一一定定也也是是此此方方程程的的解解。那那么么，u第55页/共87页第五十六页，共87页。结论：如果一个函数 u ，具有某个偏微分方程(wi fn fn chn)中所要求的各阶连续偏导数，并代入该方程， 使其变成为恒等式，则此函数被称为该方程的解（古典解）。2. 几个名词(mng c)简介初始条件初始条件 边界条件边界条件定解条件定解条件 定定方方程程）相相应应的的偏偏微微分分方方程程（泛泛 定解问题定解问题问题）问题）始值问题（始值问题（偏微分方程偏微分方程初始条

48、件初始条件Cauchy 边值问题边值问题偏微分方程偏微分方程边界条件边界条件 混合问题混合问题偏微分方程偏微分方程边界条件边界条件初始条件初始条件 第56页/共87页第五十七页，共87页。3. 定解问题(wnt)的稳定性与适定性物理问题“翻译”为数学问题，是否符合客观(kgun)实际，尚须加以验证！（1）解的存在(cnzi)性定解问题是否有解。（2）解的唯一性是否只有一个解。（3）解的稳定性定解条件发生微小变化，解亦只有微小变化。方法：试算+实验本书所涉及的定解问题，都是古典的，适定的。“+”拟合上述：解的存在性、唯一性、稳定性，被通称为适定性。第57页/共87页第五十八页，共87页。,进入另

49、一端有恒定热流一端温度为零侧面绝热的均匀杆长为例ql），杆的初始温度为单位截面，流入的热量（即单位时间内，通过q题。，试写出相应的定解问分布是2)xl (x 可取轴线上各点的温面上具有同一温度，故注意到，杆的同一横截解为一维热传导问题。各点的温度，问题归结度，代表其所在截面上轴沿杆的轴线，如图示）建立坐标系，取（ox1olx dxx,x:B ）在杆上任取微元段（2段之间热量的联系段、段与其相邻的）分析微元（CAB3oxABC（热流注入）（没入冰水）（侧面绝热）第58页/共87页第五十九页，共87页。oxABCxdxx nndtdsnukdQ 的热学定理：依据分析Fourier的热量分别为端面的

50、两端外法线方向通过时间内，沿在dSBBdtdtSnukq 左dtSnukq 右投影时有的两端外法线向坐标轴注意Bxxxunu dxxdxxxunu 于是有dtSx)t ,x(ukdtSxukqx 左dtSx)t ,dxx(ukdtSxukqdxx 右第59页/共87页第六十页，共87页。dtSx)t ,x(ukq 左dtSx)t ,dxx(ukq 右热量的代数和的两端面，净流入微元时间内，沿于是，在BBdttdS)qq(dQ左右 1 tdSxtxuxtdxxuk ),(),(xdxudtSkdxxx22 的热量为内，净流入微元在任意时段xdS),(t ,t 021xdxukStdQdxxxtt

51、22121 为什么?推移与坐标方向相反）即时间（负号表示热流方向也第60页/共87页第六十一页，共87页。 tdSxtxuxtdxxuk ),(),(xdxudtSkdxxx22 为什么? x)t ,x(ux)t ,dxx(u 即xdxudxxx22 x)t ,x(u)t ,dxx(u-左端 dxxxxdxud2右端dxxxx)t ,x(u dxxxxuddxxxx)t ,x(u 小技巧!微分性质的不变性.第61页/共87页第六十二页，共87页。 的热量为内，流经微元在任意时段xdS),(t ,t 021xdxukStdQdxxxtt22121 为此所需要的热量为，升高到内各点的温度分布由与此

52、同时，微元)t ,x(u)t ,x(uB21 xdtxutxuScQdxxx),(),(122 故可有具有二阶连续偏导数，由于)t ,x(uxdt)t ,x(uSctdQdxxxtt 212密度）密度）比热；比热； c (x)t ,x(u)t ,x(u)t ,dxx(u t)t ,x(u)t ,x(u)t ,x(u 12121 tttdtd第62页/共87页第六十三页，共87页。tuScxukS 2222xucktu 即：即：得得令令,2ack 泛定方程：泛定方程：0,0 ,222 tlxxuatu边界条件：边界条件：初始条件：初始条件：qxukulxx ,002)(0 xlxut 即由能量守

53、恒律知，,QQ21 xdxukStddxxxtt2221 xdttxuSctddxxxtt ),(21 的连续性得的任意性，以及被积式与由)l ,(dxx,x),(t ,t0021 第63页/共87页第六十四页，共87页。xxdx knn流出热量出Q流入热量入Q方法(fngf)之二量温度升高，所吸收的热时间内，引起小段（dxdt1) dtt)t ,x(udxSc)t ,x(u)dtt ,x(udxScQ 1处截面的热量轴流入时间内，沿（)dxx(xdt 2) dtx)t ,dxx(ukSQ2处截面的热量轴流出时间内，沿（)x(xdt3) dtx)t ,x(ukSQ3132QQQdx ）（所吸收

54、的热量即温度升高，即为微元段量和流出热量的代数和依据热量守恒，流入热 )dtx)t ,dxx(ukS( dtt)t ,x(udxSc x0 dtx)t ,x(ukS （流入为正）（流出为负）坐标方向相反）（负号表示热流方向与第64页/共87页第六十五页，共87页。dtx)t ,dxx(ukS dtt)t ,x(udxSc dtx)t ,x(ukS 整理后，得t)t ,x(udxx)t ,x(u)t ,dxx(uck t)t ,x(udxc x)t ,x(ux)t ,dxx(uk 即，得作数学处理，并令2ack t)t ,x(udxx)t ,x(ua 2方程扩散同样可得到热传导)(tuxua 2

55、22性。）这样作数学处理的合理机制考虑，（请同学们从偏导数的第65页/共87页第六十六页，共87页。inecosdirectionthe方向余弦设有空间两点，若以 M1为始点，另一点 M2为终点的线段(xindun)称为有向线段(xindun).通过原点作一与其平行且同向的有向线段(xindun).将与 Ox,Oy,Oz 三个坐标轴正向的夹角,分别记作,.这三个角,称为(chn wi)有向线段的方向角.则其方向角也是唯一确定的。其中,0,0,0.若有向线段的方向确定了，方向角的余弦称为有向线段或相应的有向线段的方向余弦。xyzo1M2M coscoscos线段定位（确定方向）第66页/共87页

56、第六十七页，共87页。方向导数速度（速率）。于温度沿各方向下降的热传导，就依赖的温度，那么这物体的表示某物体内，点）的变化率。譬如，设向（如，沿任何方向或某一方在一点），（或往需要知道函数在许多实际问题中，往M)M(ulM)y,x(u)z , y,x(ululz , y,xMu 方向上的方向导数，沿曲线）（，在点标量函数000l)z , y,x(uzkyjxilulugradlu 方向的单位矢量。是其中，ll0方向上的变化率。函数从某一点，沿某个等温线或等温面（高）1t（中）2t（低）3t)z , y,x(Ml,lulu增加沿函数时,0 .,0减小沿函数时lulu 第67页/共87页第六十八页

57、，共87页。等温线或等温面（高）1t（中）2t（低）3t)z , y,x(Ml由如下公式给出方向导数方向的处，沿，在点函数方向上的方向余弦。为沿处可微）（，在点函数,lMulcos,cos,cos;z ,y,xM)z , y,x(u00000 coszucosyucosxulu 第68页/共87页第六十九页，共87页。kzujyuixu ）的梯度（温度、浓度、电势等标量场)z , y,x(u)z ,y,x(uzkyjxiuugrad 在该处的梯度方向，在等值线（面）上，则点)z , y,x(u)z , y,x(M）方向导数（就是该点处的法方向；;z)z , y,x(u;y)z , y,x(u;

58、x)z , y,x(u 等温线或等温面（高）1t（中）2t（低）3t)z , y,x(Mnl取得最大值。第69页/共87页第七十页，共87页。),(txux0kcxxdx NoImage例. 设长为 的均匀细弦，两端固定，初始位移为 0 。开始时，在 处受到冲量为 的作用，试写出其定解问题。 lcx k解：建立坐标系，并选取研究(ynji)对象如图示。 其一维波动方程为：0,0;22222 tlxxuatu泛定方程(fngchng)（1）由两端固定，知：0),(;0),0( tlutu边界条件（2）为了(wi le)导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知0)0,( xu由开初时，在 处受到冲

59、量 的作用知cx k上的动量改变，即为冲量，于是有对于 点周围足够小的 ，弦段 cxd xdx,x 题题第第2第70页/共87页第七十一页，共87页。),(txux0kcxdxdx 为了导出初始(ch sh)条件，考虑：由初始(ch sh)位移为 0，知0)0,( xu由开初时，在 处受到冲量 的作用知cx k上的动量改变，即为冲量(chngling)，于是有,xdkt)t ,x(uxdt 02 质量(zhling)速度冲量：力的时间作用效应 。动量定理：动量的改变=冲量的作用。受冲击时的初位移受冲击时的初速度tdFItt 21冲量冲量动量：质量与速度的乘积 。vmP 动量动量12vmvmI

60、动动量量定定理理对于 点周围足够小的 ，弦段 cxd xdx,x 由此可见：初始条件为初始条件（3） 点上）（点之外）（ckc)o,x(u)o,x(ut 200.dxkdxcxk , 则应是弦段，对于在受到的冲量，点处所第71页/共87页第七十二页，共87页。最后(zuhu)可得定解问题0,0;22222 tlxxuatu泛定方程(fngchng)（1）0),(;0),0( tlutu边界条件（2）初始条件（3） 点上）（点之外）（ckc)o,x(u)o,x(ut 200代表什么？这里的试问：现了注：不少的教科书中出 2 ,k第72页/共87页第七十三页，共87页。时，量，即自变量有一个改变变