Ch5.2 中心极限定理

1、概率论与数理统计概率论与数理统计第二节第二节 中心极限定理中心极限定理中心极限定理中心极限定理例题例题课堂练习课堂练习 中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和因素的综合（或和)影响所形成的影响所形成的.例如：炮弹射击的例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，落点与目标的偏差，就受着许多随机因就受着许多随机因素（如瞄准，空气素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个每个随机因随机因素的对素的对弹着点（随机变量和）弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小所

2、起的作用都是很小的的.那么那么弹着点服从怎样分布哪弹着点服从怎样分布哪 ？ 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正态自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见自然界中极为常见. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有现在我们就来研究独立随机变量之和所

3、特有的规律性问题的规律性问题.高斯高斯 当当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们，故我们不研究不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量机变量. nkknknkkknXDXEXY111)()(正正态态分分布布的的极极限限分分布布是是否否为为标标准准讨讨论论nY 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做布这一类定理都叫做中心极限定理中心极限定理. nkkkXnkX1), 1(的的和

4、和即即考考虑虑随随机机变变量量一、中心极限定理一、中心极限定理 xnnXPxFniinnn 1lim)(lim定理定理1（独立同分布下的中心极限定理）（独立同分布下的中心极限定理），则则随随机机变变量量之之和和方方差差布布，且且具具有有数数学学期期望望和和相相互互独独立立，服服从从同同一一分分设设随随机机变变量量), 2 , 1()(,)(:,221 kXDXEXXXkkn nnXYnkkn 1满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数xxFn)(的标准化变量的标准化变量 nkkX1 x-2t -dte212 )(x 注注).1 , 0(;),(,11211NnnXnnNXnXnkknkkn

5、kk近近似似地地近近似似地地有有和和与与其其标标准准化化变变量量分分别别充充分分大大时时，随随机机变变量量之之当当布布的的随随机机变变量量之之和和、定定理理表表明明，独独立立同同分分 )1 , 0(),(22NnXnNX近近似似地地近近似似地地或或为为定定理理的的另另一一种种形形式式可可写写、独独立立同同分分布布中中心心极极限限 nkkXnX11其中其中 3、虽然在一般情况下，我们很难求出、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分的分布的确切形式，但当布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布很大时，可以求出近似分布. nkkX1定理定理2（李雅普诺夫（李雅普诺夫(Liapounov)定理定理)

6、, 2 , 1( ,)(,)(,221 kXDXEXXXkkkkn 有有数数学学期期望望和和方方差差：相相互互独独立立，它它们们具具设设随随机机变变量量 nkknB122 记记 nkkknXEBn12201 时，时，使得当，使得当若存在正数若存在正数的标准化变量：的标准化变量：则随机变量之和则随机变量之和 nkkX1nnkknkknkknkknkknBXXDXEXZ 11111)()( ，满足，满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数xxFn)( xBXPxFnnknkkknnn11lim)(lim x-2t -dte212 )(x 请注意请注意 :分分别别近近似似服服从从很很大大时时在在及及

7、其其标标准准化化变变量量、定定理理中中随随机机变变量量之之和和,11nZXnnkk )1 , 0(;),(211NZBNXnnnkknkk近似地近似地近似地近似地 .21个个基基本本原原因因中中所所占占的的重重要要地地位位的的一一率率论论是是为为什什么么正正态态分分布布在在概概似似服服从从正正态态分分布布，这这就就很很大大时时，就就近近，当当和和定定理理条条件件，随随即即变变量量之之要要满满足足无无论论服服从从什什么么分分布布，只只、随随机机变变量量nXXnkkk 定理定理3( (棣莫佛拉普拉斯（棣莫佛拉普拉斯（De Laplace定理）定理）)1(limxpnpnpPnn 设随机变量设随机变

8、量 (n=1,2,(n=1,2,)服从参数服从参数n,p(0p1)的二项分布，则对任意的二项分布，则对任意x，有，有n dtext2221)(x 证证之和，之和，分布的诸随机变量分布的诸随机变量服从同一服从同一个相互独立、个相互独立、分解成为分解成为由第四章知识知可将由第四章知识知可将nnXXXn,)10(21 nkknX1 即有即有 1 , 0,)1(), 2 , 1(1 ippiXPnkXiikk的分布律为的分布律为其中其中 定理表明定理表明，当，当n很大，很大，0p1920).设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi , i=1,2, ,16例例1解答：解答：E(Y)=1600, D(

9、Y)=160000由中心极限定理由中心极限定理,近似近似N(0,1)4001600YP(Y1920)=1-P(Y 1920) =1- (0.8)40016001920( 1-=1-0.7881=0.2119（1)解：设应取球解：设应取球n次，次，0出现频率为出现频率为nkkXn11, 1 . 0)1(1nkkXnEnXnDnkk09. 0)1(1由中心极限定理由中心极限定理nnXnkk3 . 01 . 01nXnnkk3 . 01 . 011例例2解答：解答：），（近似地近似地10N11. 0109. 01nkkXnP01. 0|1 . 01|1nkkXnP30|3 . 01 . 01|1nnXnPnkk1)30(2n 95. 01)30(2n 欲使欲使975. 0)30(n 即即96. 130n查表得查表得从中解得从中解得3458n即至少应取球即至少应取球3458次才次才能使能使“0”出现的频率在出现的频率在0.09-0.11之间的概率至之间的概率至少是少是0.95.（2）解：在）解：在100次抽取中次抽取中, 数码数码“0”出现次数为出现次数为1001kkX由中心极限定理由中心极限定理,），（近近似似地地10N)()(100110011001 kkkkkkXDXEX)1 , 0(