3.1刚体的定轴转动ppt课件

1、 猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，为什么会这样呢？而减少，为什么会这样呢？本章内容本章内容3.1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.2 角动量定理及守恒定律角动量定理及守恒定律3.3 力矩做功、刚体绕定轴转动的动能、动力矩做功、刚体绕定轴转动的动能、动能能机械运动的三种基本形式1、平动物体上任一点的运动轨迹相同2、转动主要研究定轴转动）3、振动3.1 刚体

2、的定轴转动刚体的定轴转动刚体：在任何情况下，都没有形变的物体刚体：在任何情况下，都没有形变的物体一、一、 刚体的定轴转动刚体的定轴转动1 1、刚体的平动、刚体的平动刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行持和自身平行 刚体平动刚体平动ABABABl平动的特点：平动的特点：(1) 刚体中各质点的刚体中各质点的运动情况相同运动情况相同ABrrAB ABrr ABABaa(2) 刚体的平动可归结为质点运动刚体的平动可归结为质点运动物体平动时物体上所有点的运动轨迹都相物体平动时物体上所有点的运动轨迹都相同同, ,用一个点的运动来代替整个物

3、体运动。用一个点的运动来代替整个物体运动。( )f td( )dftt22dd ( )ddfttt2 2、刚体绕定轴转动、刚体绕定轴转动zMIIIII P角坐标角坐标角速度角速度角加速度角加速度(1). 描述刚体绕定轴转动的角量描述刚体绕定轴转动的角量刚体的平动和绕定轴转动是刚刚体的平动和绕定轴转动是刚体的两种最简单最基本运动体的两种最简单最基本运动刚体内各点都绕同一直线刚体内各点都绕同一直线( (转轴转轴) )作圆周运动作圆周运动刚体转动刚体转动转轴固定不动转轴固定不动 定轴转动定轴转动当当 是恒量时是恒量时t 020012tt)(20202与质点的匀与质点的匀加速直线运加速直线运动公式相像

4、动公式相像 (2). 定轴转动刚体上各点的速度和加速度定轴转动刚体上各点的速度和加速度任意点都绕同一轴作圆周运任意点都绕同一轴作圆周运动动, 且且 ， 都相同都相同rdardt22narr定轴定轴P,刚体刚体 参考方向参考方向zOr基点基点O O瞬时轴瞬时轴rvar na dd()dddd dd rattrrtt加速度与角加速度的矢量关加速度与角加速度的矢量关系式系式r 定轴定轴P,刚体刚体 参考方向参考方向zOr基点基点O瞬时轴瞬时轴rv 速度与角速度的矢量关系式速度与角速度的矢量关系式drrdt二、二、 力矩力矩力力改变刚体的转动状态改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度刚体获得角加速度质点

5、获得加速度质点获得加速度改变质点的运动状态改变质点的运动状态？1 1、对某固定点的力矩、对某固定点的力矩Mr F sinFrM 单位：牛单位：牛米米N mN m）orFM力矩的方向由右手螺旋法则确定力矩的方向由右手螺旋法则确定 力力 F 对对z 轴的力矩轴的力矩( )zM FFrFh力矩取决于力的大小、方向和作用点力矩取决于力的大小、方向和作用点在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向rF/ /FnFFhFAz 2 2、对某固定轴的力矩、对某固定轴的力矩ZMrF 力矩的大小等于力在作用点的切向分量力矩的大小等于力在作用点的切向分量与力的作用点到转轴与力的作用点到

6、转轴 Z Z 的距离的乘积。的距离的乘积。如果有几个外力矩作用在刚体上如果有几个外力矩作用在刚体上 rdFdMrdFdMM积分得积分得ZFrPdOzM转动平面转动平面 （2力力 的作用线与矢径的作用线与矢径 共线即共线即 ）Fr0 sin力矩为零的情况力矩为零的情况: :（1力力 等于零；等于零；F讨论讨论有心力：物体所受的力始终指向或背离某一固定点有心力：物体所受的力始终指向或背离某一固定点力心力心有心力对力心的力矩恒为零有心力对力心的力矩恒为零12iiMMMMM不连续刚体不连续刚体连续刚体连续刚体 sinFrM xLOMy例例1：已知棒长：已知棒长 L ,质量质量 M ，在摩擦系数为，在摩

7、擦系数为 的水平桌的水平桌面转动面转动 (如图如图)。求摩擦力对。求摩擦力对y轴的力矩轴的力矩解：解：ddMmxLddfm g根据力矩定义根据力矩定义dMgx xL 01d2LMMgx xMgLLxdxiMTR T r例如例如iMTRT R在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算dddMf xm gx TTRTTRr与与P50例题例题3.1类似类似2019.3.82019.3.85 5）三、三、 转动惯量转动惯量2i iImr1、定义式、定义式质量不连续分布质量不连续分布质量连续分布质量连续分布2dIrm刚体对某一转轴的转动惯量，等于刚体上各质刚体对某一转轴的转

8、动惯量，等于刚体上各质点的质量与该质点到转轴的垂直距离平方的乘点的质量与该质点到转轴的垂直距离平方的乘积之和。积之和。质点系的转动惯量质点系的转动惯量国际单位制中转动惯量的单位为千克国际单位制中转动惯量的单位为千克米米2 2kgm2kgm2）2Imr21()ni iiImr单个质点的转动惯量单个质点的转动惯量质量连续分布的质量连续分布的刚体的转动惯量刚体的转动惯量2mIr dm与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：刚体的质量刚体的质量转轴的位置转轴的位置刚体的形状刚体的形状 实质上与转动惯量有实质上与转动惯量有关的只有前两个因素。形关的只有前两个因素。形状即质量分布，与转轴的状即质量分布

9、，与转轴的位置结合决定转轴到每个位置结合决定转轴到每个质元的矢径。质元的矢径。dldm质量为线分布质量为线分布dsdm质量为面分布质量为面分布dVdm质量为体分布质量为体分布其中其中 、 、 分别分别为质量的线密度、为质量的线密度、面密度和体密度。面密度和体密度。线分布线分布体分布体分布面分布面分布留留意意只有对于几何形状规则、质量连续且均匀只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量动惯量2019.3.82019.3.855）例例2：在无质轻杆的：在无质轻杆的 b 处、处、3b 处各系质量为处各系质量为 2m 和和 m 的

10、质点，可绕的质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转轴转动，求：质点系的转动惯量动惯量I。解：解：由转动惯量的定义由转动惯量的定义221i iiImr222211rmrm22)3(2bmmb211mbbb3omm2P53例题例题3.3例例3：长为：长为 l、质量为、质量为 m 的匀质细杆，绕与杆垂直的质的匀质细杆，绕与杆垂直的质心轴转动，求转动惯量心轴转动，求转动惯量 I。P54例例3.4mlo解：细杆为线质量分解：细杆为线质量分布，单位长度的质量布，单位长度的质量为：为：lm建立坐标系，坐标原点选在质心处。分割质量元建立坐标系，坐标原点选在质心处。分割质量元 dm ,长度为长度为 dx , x

11、2l2ldmdxdxdmx2mIr dm质量连续分布质量连续分布/22/2lZlIx dm /23 /23llx2121ml lm绕细杆质心轴的转动惯量为绕细杆质心轴的转动惯量为2112Iml3121ldxxll22/2/2Ir dmmlox2l2ldmdxx2AIr dm3/3/2302mlldxxl 绕细杆端点轴的转动惯量为绕细杆端点轴的转动惯量为A213AIml例例4：半径为：半径为 R 质量为质量为 m的均匀圆环，绕垂直于圆环平的均匀圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量面的质心轴转动，求转动惯量 I。Rmo解：解：dm20mIR dm分割质量元分割质量元 dm圆环上各质量元到

12、轴的距圆环上各质量元到轴的距离相等，离相等，dmRm 022mR 绕圆环质心轴的转动惯量为绕圆环质心轴的转动惯量为2ImRI是可加的，所以若为薄圆筒不计厚度结果相同。是可加的，所以若为薄圆筒不计厚度结果相同。P55例题例题3.5例5、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。P55例3.6解：取半径为r宽为dr的薄圆环,dVdm 232dIr dmlr dr3401d22RIIlr drR l可见，转动惯量与厚度l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。2mR llrdr 2Rr212ImR 薄圆盘转轴通过薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直中心与盘面垂

13、直221mrI )(212221rrmI r2r1圆筒转轴沿几何轴圆筒转轴沿几何轴lr圆柱体转轴沿几何轴圆柱体转轴沿几何轴221mrI lr 圆柱体转轴通过圆柱体转轴通过中心与几何轴垂直中心与几何轴垂直12422mlmrI l 细棒转轴通过细棒转轴通过中心与棒垂直中心与棒垂直122mlI l 细棒转轴通过细棒转轴通过端点与棒垂直端点与棒垂直32mlI 2r球体转轴沿直径球体转轴沿直径522mrI 2r球壳转轴沿直径球壳转轴沿直径322mrI 三、平行轴定理三、平行轴定理前例中前例中IZIZ表示相对通过质心轴的转动惯量，表示相对通过质心轴的转动惯量，IAIA表示相表示相对通过棒端的轴的转动惯量。

14、两轴平行，相距对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2L/2。可见：可见：222211121243AzLIImmLmLmL 若有任一轴与过质心的轴平行，相距为若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d d，刚体对其，刚体对其转动惯量为转动惯量为I I，则有：，则有：平行轴定理平行轴定理2/3AImL2/12ZImL推广上述结论推广上述结论: :2zIImdI: 刚体绕任意轴的转动惯量刚体绕任意轴的转动惯量IZ:刚体绕通过质心的轴的转动惯量刚体绕通过质心的轴的转动惯量d:两轴间垂直距离两轴间垂直距离例例6 6：右图所示刚体对经过棒端：右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何且与棒垂直的

15、轴的转动惯量如何计算？计算？( (已知已知mLmL、mOmO、棒长为、棒长为L L、球半径为球半径为R R）2113LLIm L225ooIm R2220000()LIIm dImLR12LLIIILmOmO22212()35Loom Lm RmLR解：解：P53例题例题3.2MIM kI刚体的转动定律刚体的转动定律MizMiz：作用在刚体上所有的外力：作用在刚体上所有的外力对定轴对定轴 z z 轴的力矩的代数和轴的力矩的代数和I I： 刚体对刚体对z z 轴轴的转动惯量的转动惯量四、四、 刚体对定轴的转动定律刚体对定轴的转动定律实验证明实验证明当当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动为零时

16、，则刚体保持静止或匀速转动当存在当存在 M 时，时， 与与 M 成正比，而与成正比，而与I 成反比成反比在国际单位中在国际单位中 k = 11nizidMIIdt 绕定轴转动的刚体，其角加速度与它所受的合绕定轴转动的刚体，其角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律(1) M 正比于正比于 ，力矩越大，刚体的，力矩越大，刚体的 越越大大(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同(3) 与牛顿定律比较：与牛顿定律比较：,MF Ima讨论讨论1ni

17、zidMIIdtm m 反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，I I 反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性 力是使质点运动状态发生改变产生加速度的原因。力是使质点运动状态发生改变产生加速度的原因。 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。M MI I 与与地位相当地位相当amF 注意几点注意几点1. 是矢量式，但在定轴转动中力矩只有两个方向，因此可作为代数量处理，常写成标量式。2. 具有瞬时性。且只对惯性系成立。3. M、I、 是对同一轴而言的。 解题方法及应用举例解题方法及应用举例1.确定研究对象。2.受力分析只考虑对转动有影响的

18、力矩）。3.列方程求解(平动物体列牛顿定律方程，转动刚体列转动定律方程及角量与线量关系)。MI MmrR例例7 7：如下图，两个同心圆盘结合在一起可绕中心轴转：如下图，两个同心圆盘结合在一起可绕中心轴转动，大圆盘质量为动，大圆盘质量为 MM、半径为、半径为 R R，小圆盘质量为，小圆盘质量为 mm、半径为半径为 r r，两圆盘都用力，两圆盘都用力 F F 作用，求角加速度。作用，求角加速度。F FF F解：以解：以 mm、M M 为研究对象，它们有共同为研究对象，它们有共同的角加速度，只需的角加速度，只需 F F、F F 产生力矩。产生力矩。12()FRFrII五、刚体定轴转动的转动定律的应用

19、五、刚体定轴转动的转动定律的应用2112IMR2212Imr12FRFrII22)(2mrMRrRF由圆盘的转动惯量：由圆盘的转动惯量：例8.质量为m1、m2(m1m2)的两物体，通过一定滑轮用轻绳相连，如下图。定滑轮是半径为R、质量为M的匀质圆盘。绳与滑轮间无相对滑动并略去轮轴的摩擦。求：两物体m1、m2的加速度；定滑轮的角加速度和两段绳的张力。P56例3.7m1m2MRT1T2m2T2m2gam1T1m1ga解:利用定轴转动定律MF =Ib 和牛顿第二定律F=ma求解滑轮：12T RT RI212IMR且m1:m1:amTgm111m2:m2:amgmT222且有Ra 以上式子联立即可求得

20、答案：gRMmmmmgMmmmma)21(2121212121gmmMmmmTgmmMmmmT)(24)(24212212211211例例9 9：质量为：质量为m m，半径为，半径为R R的均质圆盘以的均质圆盘以 0 0 在粗糙的水在粗糙的水平桌面上转动平桌面上转动, ,受摩擦力而静止。设摩擦系数为受摩擦力而静止。设摩擦系数为。求它。求它经多长时间才停止转动。经多长时间才停止转动。解：解：dd2 dmsr r ddMr f002d2 d3RRMMrgr rmgRddMIt 221d32dmgRmRt0003dd4tRtg034Rtg取一质元取一质元由转动定律由转动定律摩擦力矩摩擦力矩Rrdrg

21、 m P61例题例题3.92/mR例例1010：光滑斜面倾角为：光滑斜面倾角为 ，顶端固定一半径为，顶端固定一半径为 R R ，质量为质量为 M M 的定滑轮，质量为的定滑轮，质量为 m m 的物体用一轻绳缠的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面下滑，求在定滑轮上沿斜面下滑，求: :下滑的加速度下滑的加速度 a a 。RM,mmaTmgsing gmT Tx解：物体系中先以物体解：物体系中先以物体 m m 研究对象，受力分析研究对象，受力分析, ,在在斜面斜面 方向上方向上xN212IMR定滑轮可视为圆盘，转动惯量定滑轮可视为圆盘，转动惯量I ITRI以滑轮为研究对象以滑轮为研究对象补充方程补充方程

22、Ra联立三个方程求解：联立三个方程求解：Mmmga2sin2例例1111、一根长为、一根长为L L、质量为、质量为m m的均匀细直棒，其一的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对外力矩为重力对O O 的力矩。的力矩。 棒上取质元棒上取质元dm,dm,当棒处在下当棒处在下摆摆角时，该质量元的重角时，该质量元的重力对轴的元力矩为力对轴的元力矩为dlglgd