概率论：第3章 多维随机变量及其分布1

1、第三章 多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量及其联合分布1、多维随机变量定义3.1.1 如果X1(),X2(),Xn()是定义在同一样本空间=上的n个随机变量，则称X()=(X1(),X2(),Xn()为n维(或n元)随机变量或随机向量。46岁儿童身高、体重；家庭消费支出第三章 多维随机变量及其分布2、联合分布函数定义3.1.2 对任意的n个实数x1,x2,xn，则n个事件X1x1,X2x2,Xnxn同时发生的概率F(x1,x2,xn)=P(X1x1, X2x2,Xnxn)称为随机变量(X1,X2,Xn)的联合分布函数.其中二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)=P(Xx,Yy)第三

2、章 多维随机变量及其分布(x,y)YX第三章 多维随机变量及其分布定理3.1.1 任意二维联合分布函数F(x,y)必具有如下四条基本性质：单调性：F(x,y)分别关于对x或y单调不减.有界性：F(-,y)=0;F(x,-)=0;F(+,+)=1右连续性： F(x+0,y)= F(x,y); F(x,y+0)= F(x,y)非负性：对ab,cd有P(aXb,cYd)0第三章 多维随机变量及其分布3、联合分布列定义3.1.3 如果二维随机变量(X,Y)只取有限个或可列个数对(xi,yi)，则称(X,Y)为二维离散随机变量，称pij=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,为(X,Y)的联合分布列

3、。第三章 多维随机变量及其分布例3.1.1 二元函数满足二维分布函数前3条性质，但不满足.3、联合分布列定义3.1.3 如果二维随机变量(X,Y)只取有限个或可列个数对(xi,yi)，则称(X,Y)为二维离散随机变量，称pij=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,为(X,Y)的联合分布列。0,0( , )1,0 xyG x yxy第三章 多维随机变量及其分布联合分布列的基本性质：非负性；正则性；例3.1.24、联合密度函数定义3.1.4 如果存在二元非负函数p(x,y)，使得二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)可表示为则称p(x,y)为二维连续随机变量(X,Y)的联合密度函数.(

4、 , )( , )xyF x ypd d 第三章 多维随机变量及其分布多项分布(二项分布推广)n次独立重复试验，如果每次试验有r个可能结果，每种可能结果Ai发生的概率为pi=P(Ai)，i=1,2,r记Xi为n次独立重复试验中Ai出现的次数，则其中n=n1+n2+nr，称为r项分布或多项分布。记为M(n,p1,p2,pr)。1211221212!(,.,)!rnnnrrrrnP Xn XnXnp ppn nn第三章 多维随机变量及其分布例3.1.4多维超几何分布袋中有N只球，其中有Ni只i号球，i=1,2,r.现从中任意取出n只，若记Xi为其中取出的i号球个数，则这里N=N1+N2+Nr， n

5、=n1+n2+nr。例3.1.512121122(,)rrnnnNNNrrnNC C CP Xn XnXnC第三章 多维随机变量及其分布多维均匀分布设D为Rn中的一个有界区域，其度量为SD，如果多维随机变量(X1,X2,Xn)的联合密度函数为则称(X1,X2,Xn)服从D上的多维均匀分布.记(X1,X2,Xn)U(D).例3.1.612121,( ,),( ,)0,nDnx xxDSp x xx其他第三章 多维随机变量及其分布二元正态分布如果二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为则称(X,Y)服从二元正态分布，记为(X,Y)N(1,2,1,2,).例3.1.721222112()11( , )exp2(1)21xp x y 21222122()()()2,xyyx y 二元标准正态密度函数图(1)-4-2