第三讲导热微分方程的应用

1、平壁导热平壁导热圆柱壁导热圆柱壁导热球壳导热球壳导热肋片导热肋片导热第三讲第三讲 导热微分方程的应用导热微分方程的应用本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和圆柱内的导热。板和圆柱内的导热。直角坐标系：直角坐标系：ztzytyxtxtc)()()(1 单层平壁的导热单层平壁的导热oxa 几何条件：单层平板；几何条件：单层平板； b 物理条件：物理条件： 、c、 已知；已知；无内热源无内热源 c 时间条件：时间条件： 0 :t稳态导热 d 边界条件：第一类边界条件：第一类0dd22xtxot1tt221 , , 0wwttxttx直

2、接积分，得：直接积分，得：211 cxctcdxdt根据上面的条件可得：根据上面的条件可得：第一类边条：第一类边条：xtxtc)(控制控制方程方程边界边界条件条件带入边界条件：带入边界条件：12121tcttc)(dd1212112Attttqttxttxttt带入带入Fourier 定律定律ARr线性分布线性分布热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况2 多层平壁的导热多层平壁的导热t1t2t3t4t1t2t3t4三层平壁的稳态导热三层平壁的稳态导热v 边界条件：边界条件：1110nniittxttxv 热阻：热阻：nnnrr,111由热阻分析法：

3、由热阻分析法：niiinniinttrttq111111问：现在已经知道了问：现在已经知道了q q，如何计算其中第，如何计算其中第 i i 层的右侧壁温？层的右侧壁温？第一层：第一层： 11122111)(qttttq第二层：第二层：22233222)(qttttq第第 i 层：层： iiiiiiiiqttttq111)(2112111hhttqniiiff2mW 单位：单位：tf1t2t3tf2t1t2t3t2三层平壁的稳态导热三层平壁的稳态导热h1h2tf2tf1？传热系数？传热系数？多层、第三类边条多层、第三类边条3 单层圆筒壁的导热单层圆筒壁的导热圆柱坐标系：圆柱坐标系：ztztrrt

4、rrrtc)()(1)(12一维、稳态、无内热源、常物性：一维、稳态、无内热源、常物性：0)dd(ddrtrr第一类边界条件：第一类边界条件：2211wwttrrttrr时时(a)假设单管长度为假设单管长度为l，圆筒壁的外半，圆筒壁的外半径小于长度的径小于长度的1/10。对上述方程对上述方程(a)积分两次积分两次:211ln crctcdrdtr22122111ln ;lncrctcrctww)ln(ln)( ;)ln(121121212121rrrtttcrrttcwwwww第一次积分第一次积分第二次积分第二次积分应用边界条件应用边界条件获得两个系数获得两个系数)ln()ln( 112121

5、rrrrtttt将系数带入第二次积分结果将系数带入第二次积分结果显然，温度呈对数曲线分布显然，温度呈对数曲线分布)ln()ln()(121211rrrrttttwww212212212211)ln( ;1)ln(rrrttdrtdrrrttdrdtwwww向上凹若 0 : 2221drtdttww向上凸若 0 : 2221drtdttww下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况21221mW)ln(ddrrttrrtqwwW 2)ln( 2211221Rttlrrttrlqwwww)ln()ln()(121211rrrrttttwwwrrrt

6、tdrdtww1)ln(1221长度为长度为 l 的圆筒的圆筒壁的导热热阻壁的导热热阻虽然是稳态情况，但虽然是稳态情况，但热流密度热流密度 q 与半径与半径 r 成反比！成反比！mW ln21W ln2111)1(111)1(1niiiinwwlniiiinwwrrttqrrLtt通过单位长度圆筒壁的热流量通过单位长度圆筒壁的热流量 )(2ln21 )(222222122111111fwrlwwlwfrltthrqrrttqtthrqmW 21ln21212122121121lfffflRttrhrrrhttqh1h2(1) 单层圆筒壁单层圆筒壁思考：温度分布应如何求出？思考：温度分布应如何求

7、出？(2) 多层圆筒壁多层圆筒壁121111211ln211nniiiiffldhdddhttq通过球壳的导热自己推导通过球壳的导热自己推导5 其它变面积或变导热系数问题其它变面积或变导热系数问题求解导热问题的主要途径分两步：求解导热问题的主要途径分两步：(1) 求解导热微分方程，获得温度场；求解导热微分方程，获得温度场；(2) 根据根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量；定律和已获得的温度场计算热流量； 对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热 问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。此时，问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。此时， 一维一维Fourier定律：定律：xtxAtdd)()(当当 (t), A=A(x)时，时，xtAdd分离变量后积分，并注意到热流量分离变量后积分，并注意到热流量与与x 无关无关(稳态稳态)，得，得1221)(ttdtttt21)()(21xxxAdxttxtxAtdd)()()()()()()(12121212212121tttttttttdttxAdxttttxx当当 随温度呈线性分布时，即随温度呈线性分布时，即 0at，则，则221