太原理工大学微积分和数学模型11-4ppt课件

1、第四节第四节 三重积分的计算三重积分的计算一一 问题的提出问题的提出二二 直角坐标系下三重积分的计算直角坐标系下三重积分的计算三三 柱面坐标系下三重积分的计算柱面坐标系下三重积分的计算四四 球面坐标系下三重积分的计算球面坐标系下三重积分的计算一、问题的提出一、问题的提出例例 非均匀物体的质量非均匀物体的质量此此物物体体的的质质量量。上上的的连连续续正正值值函函数数，求求是是，体体密密度度域域角角坐坐标标系系中中占占有有空空间间区区的的物物体体，在在空空间间直直设设有有一一质质量量非非均均匀匀分分布布 ),( zyx积积元元素素叫叫做做直直角角坐坐标标系系中中的的体体其其中中 dxdydz的的物

2、物体体的的质质量量表表达达为为密密度度为为)z ,y,x( dxdydzzyxdVzyxM,),(直角坐标系下将三重积分化为三次积分直角坐标系下将三重积分化为三次积分xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx,Dxoy的的投投影影为为闭闭区区域域面面上上在在闭闭区区域域 ),( :),( :2211yxzzSyxzzS ,),(lDyx作直线作直线过点过点 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz二、直角坐标系下三重积分的计算二、直角坐标系下三重积分的计算1. 1. 先先“一后一后“二截线法二截线法l的的函函数数，只只看看作作看看作作

3、定定值值，将将先先将将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重积积分分在在闭闭区区间间计计算算DyxF),( DyxzyxzDddzzyxfdyxF ),(),(),(),(21,),()(:21bxaxyyxyD 得得 dvzyxf),( baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx)()(),(),(2121),(类似可以得类似可以得 dczyzyyzxyzxdxzyxfdydz)()(),(),(2121),( dvzyxf),(解：解： 得得交交线线投投影影区区域域122 yxDxy： ,22222dzzyxfdxdyIxyDx

4、yx ,11221122222 xyxxxdzzyxfdydx解：解：11, 10 222 xyxyxz： xdxdydz xyDyxxdzdxdy210 xozy2111 xdxdydz 12 zyx轴轴方方向向积积分分，得得先先沿沿 z所所围围成成的的区区域域。与与直直线线面面上上，由由坐坐标标轴轴是是其其中中12 yxxoyDxy10 ,210 xxyDxy：1y21xoxyD 21010)21(xydyxxdx 102481141dxxxxozy2111 xdxdydz xyDyxxdzdxdy210z2. 2. 先先“二后二后“一截面法一截面法截面法的普通步骤：截面法的普通步骤： z

5、,21cc(1) 把积分区域把积分区域 向某轴例如向某轴例如 轴轴 投影，得投影区间投影，得投影区间 ；,21ccz zxoy zD 对对 用垂直用垂直 轴且平行轴且平行 平面的平面去截平面的平面去截 得截面得截面 计算二重积分计算二重积分 其结果为其结果为 的函数的函数 ； zDdxdyzyxf),(z)(zF 最后计算单积分最后计算单积分 21)(ccdzzF即得三重积分值。即得三重积分值。 xyzozD解：解： zDccdxdydzzdxdydzz22 )1()1(222222czbczadxdyzD )1(22czab ccdzzczab222)1( 3154abc 原式原式。的的柱柱

6、面面坐坐标标就就叫叫点点三三个个数数，则则这这样样的的的的极极坐坐标标为为面面上上的的投投影影在在并并设设点点为为空空间间内内一一点点设设Mzr,r,PxoyMz,y,xM),()( , ) ( ,0 r,20 ， z规定：规定：xyzo),(zyxM),( rP r留意：柱面坐标系就是平面留意：柱面坐标系就是平面 极坐标系加上极坐标系加上 轴。轴。z三、柱面坐标系下三重积分的计算三、柱面坐标系下三重积分的计算1. 1. 柱面坐标系柱面坐标系 zzryrx sincos柱面坐标与直角坐标的柱面坐标与直角坐标的关系为：关系为：柱面坐标系的三坐标面是柱面坐标系的三坐标面是 为为常常数数r圆柱面；圆

7、柱面； 为常数为常数半平面；半平面； 为常数为常数z平平 面。面。),(zyxM),(rPrzxyzo zzxyyxr tan22或或2. 2. 柱面坐标系下三重积分的计算柱面坐标系下三重积分的计算 dxdydzzyxf),( dzrdrdzrrf),sin,cos( drxyzodzdr rd利用柱面坐标系的三组坐标利用柱面坐标系的三组坐标面来分割积分区域，如图，面来分割积分区域，如图，dzrdrddv 体积元素为体积元素为棱棱的的长长方方体体体体积积，所所以以为为，积积近近似似等等于于以以所所围围成成的的小小柱柱体体的的体体和和，和和和和由由zrrzzzrrr , 解：解： zrzr342

8、223 , 1 rz球面与抛物面交线为球面与抛物面交线为把闭区域把闭区域 投影到投影到xoy面上面上 24322030 rrrzdzdrd 413 20 30 43 :22 rrzr zdxdydzI 2432 xyDrrzdzrdrd 解：解： 所围成的立体如图，所围成的立体如图， 22 dxdydzyxz计计算算例例6 6 由由圆圆是是中中其其 。所所围围成成的的区区域域与与锥锥面面1222 zzyx222zyx rz 20, 10, 1 : rzr 110220 rzdzdrrd )21(21022 drrr 152 122 xyDrzdzdrdrdzdrdzr 22 dxdydzyxz

9、所以所以四、球面坐标系下三重积分的计算四、球面坐标系下三重积分的计算1. 球面坐标系球面坐标系的球面坐标。的球面坐标。就叫做点就叫做点个数个数这样的三这样的三面上的投影面上的投影在在为点为点的角，这里的角，这里时针方向转到有向线段时针方向转到有向线段轴按逆轴按逆轴来看自轴来看自为从正为从正正向所夹的角，正向所夹的角，轴轴与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点为原点为原点其中其中来确定来确定三个有次序的数三个有次序的数可用可用则点则点为空间内一点为空间内一点设设MxoyMPOPxzzOMMOMzyxM , , , , , , , ),( ,0 20 ,0 规定：规定：如图，三坐标面

10、分别为如图，三坐标面分别为 为为常常数数 圆锥面；圆锥面； 为常数为常数 球球 面；面； 为常数为常数半平面。半平面。Pxyzo),(zyxM zyxA cossinsincossinzyx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，轴轴上上的的投投影影为为在在点点，面面上上的的投投影影为为在在设设点点AxPPxoyM ,zPMyAPxOA 则则Pxyzo),(zyxM zyxA2. 球面坐标系下三重积分的计算球面坐标系下三重积分的计算 ),( dxdydzzyxf sin )cos,sinsin,cossin(2 dddf 球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为

11、 ddddvsin2 drxyzodr dsinr rd d d sinr解：解： 由锥面和球面围成由锥面和球面围成， 采采用用球球面面坐坐标标， 4 20 ,40 ,20 : ar例例7 7 计算计算 zdv其中其中 是是 与与 所围成的立体。所围成的立体。22yxz 22222azyx 2 ar 22222azyx zdv addd2022040sincos ad2040|41cossin2 42a 解：解： cos2cos32020sin dddI 23 204sincos215 d az cos a 222zyx 4 20,40,cos0 : a解法一：采用球面坐标解法一：采用球面坐标

12、 dxdydzyxI)(22 ddda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403 510a dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(2 54254aaa 510a 222zyx , rz 20 ,0 , : arazr解法二：采用柱面坐标解法二：采用柱面坐标 补充补充 利用对称性化简三重积分计算利用对称性化简三重积分计算运用对称性时应留意运用对称性时应留意. 积分区域关于坐标面的对称性；积分区域关于坐标面的对称性；. 被积函数在积分区域上关于三被积函数在积分区域上关于三 个坐标的奇偶性。个坐标的奇偶性。 1)1ln( 222222 dxdydzzyxzyxz解：解：积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的奇函数的奇函数z0 解