圆锥曲线有关焦点弦的几个公式定理及应用(老师)

1、圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相， 题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。定理1已知点尸是离心率为邑的圆锥曲线c的焦点，过点尸的弦乂8与C的焦点所在口 丸一日 cos 3 的轴的夹角为&且用0 =期变（21）。（1）当焦点户内分

2、弦送F时，有兑十1 ；C丸十1ecos&=（2）当焦点因外分弦时（此时曲线为双曲线），有/ 1。证明 设直线？是焦点尸所对应的准线，点在直线F上的射影分别为 4,与，点-在AFBF直线.招上的射影为血。由圆锥曲线的统一定义得，且4阻，又独=4啊兄之1）,所以朋二BF Aa AF ABF，网=二（1） 当焦点日内分弦乂召时。(2)当焦点户外分弦且B时(此时曲线为双曲线)。ABF BF 15 + l)EF,所以如图2,ABF EFr ，-AM zU+8 乱一毒 丁 _ 3+1 cos 曰=cos N A£4E = = -用 AFBF“，所以白 8*6 二 2T。cos日二二年上必

3、F 二 二9一3H反十3斤评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同, 这一点很容易不加区别而出错。C:1-彳=1（4>0）例1 （2009年高考全国卷n理科题）已知双曲线厘 b的右焦点为尸，过F且斜率为 扣的直线交C于乩£两点。若=,则0的离心率为（）4 1F? cos 60'=解这里人上领日二W，所以日二60口，又兄=4 ,代入公式得4十1 ,所c：£_42L=i（cl >八0）例2 （2010年高考全国卷n理科第 12题）已知椭圆 b的离# _ _心率为2。过右焦点且斜率为 冷 > 丹的直线于C相交于式方两点，若

4、AF = M ,则A1 842 C,3D,2一# Q& 一 cos 8 解这里见=3 ,2 ,设直线AB的倾斜角为6，代入公式得22 ,所以cos 6 -厂J3 ,所以k= tan6 = J2，故选入。例3 （ 08高考江西卷理科第15题）过抛物线x三2式以产 口）的焦点产作倾斜角为3仃的直线，与抛物线交于 凡支两点（点上在L轴左侧），则有 但同 解如图3,由题意知直线 AB与抛物线的地称轴的夹角 8 =期,当点工在L轴左侧时,啰13八七1巴设附 ，又后=1,代入公式得N+1 ,解得兄=J所以怛叫3。例4 （2010年高考全国卷I理科第 16题）已知因是椭圆。的一个焦点，刀是短轴的一个

5、端点，线段*的延长线交口于点，且"二2FD ,则。的离心率为3日二丝二J解设直线5口与焦点所在的轴的夹角为U ,则 RF 口 ，又工=2 ,代入0三一口:1（八0金,0）例5（自编题）已知双曲线 里 上的离心率为 3 ，过左焦点F且斜率为4口的直线交。的两支于a 8两点。若阿=3同，则=二援口 833解这里3 ,4 = 2,因直线AB与左右两支相交，故应选择公式NT ,处二0£日二 ill二史i = tan30° = 代入公式得33-1,所以 2所以日=30，所以3定理2已知点F和直线,是离心率为由的圆锥曲线白的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为 &

6、quot;。过点E1的弦/耳与曲线C的焦点所在的轴的夹角为 我九90），则有-卜-/，证明设点A瓦E在准线上的射影分别为A,过点产作轴产笈的垂线交直线AF BF =e= 且4于点M ,交直线咯于点H。由圆锥曲线的统一定义得，段忸可，所以 以尸司=首区划所以1詹侬8 1十厘匚05白1-6 COS & o（2）当焦点产外分弦工方时（此时曲线为双曲线）。所以较长焦半径明二一笆一四lCQgg ,较短焦半径印1+qC州日。（1）当焦点产内分弦3时。如图4, PM=l4M+MI="月2日,忸al=|"M-W司=尸一H户|匚0£日?图4所以AS = A-BF综合(1)(

7、2)知，较长焦半径焦点弦的弦长公式为特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距就是径之半，较长焦半径如图5,网=翻卜区蚱咐3日"叫|=|四卜陷=尸一网38所以网二或网。也分网四尸一网8画AF= 一笆一11 = 一宅一所以较长焦半径cos-1 ,较短焦半径32sd+1。epep _ 2epcos-1 <?cos + l 宓 cos 日T。口到二一三一BF 二一&一NB|=卓一1一必6 ,较短焦半径1十2© ,焦点弦的弦长公式为5口白。当曲线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为1121 1注由上可得，当焦点尸内分弦工8时，有加I3叩窗 网 H叩p .1 1 1

8、 _2cos -当焦点产外分弦工，时，有忸到M日却口口怛典 p 。例6 （2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线?三2尸工（尸的焦点产作倾斜角为4亨的直线，交抛物线于 凡石两点，若线段AB的长为8,则户二AB=-=8_9解由抛物线焦点弦的弦长公式为贪口白得,乳力45，解得尸二*。+ A - l（a > 方 > 0）例7 （2010年高考辽宁卷理科第 20题）已知椭圆口 上的右焦点为产，经过正且倾斜角为6仃的直线？与椭圆相交于不同两点乂田，已知方=2FB。AB =（1）求椭圆的离心率；（2）若 4，求椭圆方程。52 -12bcosoU = e =解（1）这里日=6° ,

9、为三2 ,由定理1的公式得2十1 ,解得 3 。15e = -fe=60 AB=1- （-）1 cos3 604（2）将 3M ,代入焦点弦的弦长公式得，3,解5 足 5c; 2得 2,即 c 2 ,所以2g ）三究，又曰3 ,设心=纭。=球，代人得七 =1,所以2 = 3 ,所以二/一（?=5 ,故所求椭圆方程为95例8 （2007年重庆卷第16题）过双曲线X 7 "的右焦点F作倾斜角为10寸的直线，交双曲线于f,Q两点，则"I忸制的值为解易知EQ均在右支上，因为厘三5三避，离心率/=血，点准距°仁虎，因倾斜角为1万，所以日=7九由焦半径公式得，阳户副二0P s

10、p44S/51-营。叱31-/匚。£5 1-2cos275' l-l+gsl5。13 -例9 （由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线 = 4的右焦点F作倾斜角为150°的直线，交双曲线于RQ两点，则卜耳,网的值为解因为里“三,离心率 =也，点准距'E,因倾斜角为i='：:?所以日=30"。注意到F，Q分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得,网闻=c cos 4*1 cos2 -1 2cosa 30'=8o工 y r-i-'=1例10（2007年高考全国卷I）如图 6,已知椭圆32 的左、右焦点分别为片区,过耳的直线交椭圆于EQ两点，过弓的直线交椭圆于上£两点，且HC ±BD。求四边形面积的最小值。解由方程可知，援小力士道，则了7? = = 2设直