课题8含和的多项式的解的个数.

1、课题 8：含 a x 和 x的多项式的解的个数（本课题适合高二数学选修课）机型： TI 92plus教学过程：一导入： 求方程2x=x+2 解的个数。解：原方程解的个数即为函数y=2 x 与 函数 y=x+2 图象交点的个数。1 按Y=，输入函数y 1= 2 x ，y2 =x+2; （如图 1）2 按GRAPH，显示函数图象。 （如图 2）从图 2 可以看出，两个函数的图象有两个交点，所以原方程有两解。（图 1）（图 2）二典型例题：例：（1989 年全国高考题）设f(x) 是定义在区间（-，+）上以2 为周期的函数，对kZ，用I k 表示区间2k1,2k1，已知当xI 0 时 ,f(x)=x

2、 2.(1) 求 f(x)在 Ik 上的解析式 ;(2)对自然数k，求集合M k =a| 使方程f(x)=ax在 I k 上有两个不相等实根 。解： (1)略解。 f(x)=(x-2k)2 x2k1,2k1kZ(2) 设 y 1=f 1 (x)=(x-2k)2x2k1,2k1kNy2=f 2(x)=ax要使f1(x)= f 2(x)在 Ik 有两个不等根，必须使f1(x) 与 f2(x)的图象在Ik 上有两个交点.注：作图时不妨设k=1.1 按Y=，输入函数y 3=(x-2) 2|1<xandx3，同时把光标分别对准y1、 y2 ，按 F 4 ，取消选择y1 、 y 2。（如图 3）2

3、按GRAPH显示函数图象。（如图 4 ）3 按 F2 ，选中 1 ；ZoomBox ，定义观察窗口； （如图 5）4 按 ENTER确定；（如图 6）（图 3）（图 4）（图 5）（图6）5 按 F7 ，选择 7 ：Text ，标出抛物线左端点所对应自变量取值2K-1 及右端点自变量取值 2K+1 ；（如图 7）6 按 F 7，选择3： Line ，光标移至原点处，按ENTER移动光标，画出直线，且使直线绕原点旋转，观察何时直线和抛物线有两个交点；（如图 8）（图 7）（图 8）观察可得：当动直线绕原点从x 轴逆时针方向Y旋转至图8 中直线位置时，直线和抛物线有两1个 交 点 ， 结 合a的

4、几 何 意 义 ， 可 得10<a.0X2k1三方法辨析：例：已知方程2x-1=-2x 2-2a 有两个不等实根，求 a 的范围。解：原方程等价于2x=-4x 2-2a设 y1 =f1（ x）=2 x，y2 =f 2（x） = -4x 2-2a要得原方程有两个不等实根，则需f 1（x）与（图 9）f 2（ x）的图象有两个不同交点，如图（9）所示。1由图可知： -2a>1 ，即 a<-2思考：上述解法对吗？提示：在 a=1时,f1 (x)与 f 2(x) 图象的交点到底是一个还是两个呢？21 按 Y= ，输入函数 y4 = -4x 2+1 同时取消选择函数y2 , y 3；（

5、如图 10 ）2 按 F2 ，选中 6 ：ZoomStd （恢复窗口至标准状态）;（如图 11 ）3 按 F2 ，选中 1 ：ZoomBox ，对可能产生交点的区域定义观察窗口；（如图 12 ）4 按 ENTER 。（如图 13 ）很显然， y1=2x ,y2= -4x 2+1 的图象有两个交点。（图 10）（图11）（图 12）（图13） 学生继续活动 进一步尝试： a=-0.49 时， y1=2x ,y2= -4x 2+0.98 的图象是否有两个交点？（方法同上，如图14）（图 14）结论：本题及解答摘自一参考书，从上面分析本题原来的解法是错误的，究其原因是借助了不精确的手工作图。至于 a 等于何值时，两图象有且仅有一个交点，则是我们中学阶段无法解决的。四方法小结1用数形结合确定方程f(x)=g(x) 解的个数是一条捷径；2手工作图时，要注意图形的相对精确，否则容易得出错误的结论。五练习1 试确定方程lgx=sinx 解的个数 ;2 设函数f(x)=log a (1-x) ，若 g(x)= log a (1+x)(a>0且 a1), 试讨论关于x 的方程 . a g( x2x 1)a f ( k)x 的实数解的个数。华东理工大学附中汪海峰评：用传统方法解含a x 和 x 多项式的的方程是很困难的，因为用手工作图来估计误差太大，有时