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文档简介
1、专题三几何图形的折叠与动点问题类型一 与特殊图形有关(2021·河南)如图,MAN90°,点C在边AM上,AC4,点B为边AN上一动点,连接BC,ABC与ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交AB所在直线于点F,连接AE.当AEF为直角三角形时,AB的长为_【分析】 当AEF为直角三角形时,存在两种情况:AEF90°,AFE90°进行讨论【自主解答】 当AEF为直角三角形时,存在两种情况:当AEF90°时,如解图,ABC与ABC关于BC所在直线对称,ACAC4,ACBACB.点D,E分别为AC,BC的中点,
2、D、E是ABC的中位线,DEAB,CDEMAN90°,CDEAEF,ACAE,ACBAEC,ACBAEC,ACAE4.在RtACB中,E是斜边BC的中点,BC2AE8,由勾股定理,得AB2BC2AC2,AB4;当AFE90°时,如解图,ADFADFB90°.ABF90°,ABC与ABC关于BC所在直线对称,ABCCBA45°,ABC是等腰直角三角形,ABAC4;综上所述,AB的长为4或4.文档收集自网络,仅用于个人学习图图1如图,四边形ABCD是菱形,AB2,ABC30°,点E是射线DA上一动点,把CDE沿CE折叠,其中点D的对应点为
3、D,连接DB. 假设使DBC为等边三角形,那么DE_. 2如图,在RtABC中,ACB90°,AB5,AC4,E、F分别为AB、AC上的点,沿直线EF将B折叠,使点B恰好落在AC上的D处当ADE恰好为直角三角形时,BE的长为_3(2021·河南)如图,在RtABC中,A90°,ABAC,BC1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠B,使点B的对应点B始终落在边AC上假设MBC为直角三角形,那么BM的长为_4(2021·新乡一模)菱形ABCD的边长是4,DAB60°,点M、N分别在边AD、AB上,且MNAC,垂足为P,把AMN
4、沿MN折叠得到AMN.假设ADC恰为等腰三角形,那么AP的长为_5(2021·三门峡一模)如图,在RtABC中,ACB90°,AB5,AC3,点D是BC上一动点,连接AD,将ACD沿AD折叠,点C落在点C,连接CD交AB于点E,连接BC.当BCD是直角三角形时,DE的长为_6(2021·盘锦)如图,RtABC中,B90°,A60°,AC24,点M、N分别在线段AC、AB上将ANM沿直线MN折叠,使点A的对应点D恰好落在线段BC上,当DCM为直角三角形时,折痕MN的长为_7(2021·乌鲁木齐)如图,在RtABC中,C90°,
5、BC2,AC2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置,BD交AB于点F,假设ABF为直角三角形,那么AE的长为_8(2021·洛阳一模)在菱形ABCD中,AB5,AC8,点P是对角线AC上的一个动点,过点P作EF垂直AC交AD于点E,交AB于点F,将AEF折叠,使点A落在点A处,当ACD为等腰三角形时,AP的长为_9(2021·濮阳一模)如图,在RtABC中,C90°,AC3,BC4,点D,E为AC,BC上两个动点假设将C沿DE折叠,点C的对应点C恰好落在AB上,且ADC恰好为直角三角形,那么此时CD的长为_类型二 点的
6、位置不确定(2021·河南)如图,ADBC,ABBC,AB3,点E为射线BC上一个动点,连接AE,将ABE沿AE折叠,点B落在点B处,过点B作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B为线段MN的三等分点时,BE的长为_【分析】 根据勾股定理,可得EB,根据相似三角形的性质,可得EN的长,根据勾股定理,可得答案【自主解答】 由翻折的性质,得ABAB,BEBE.当MB2,BN1时,设ENx,得BE.由BENABM,即,x2,BEBE;当MB1,BN2时,设ENx,得BE,BENABM,即,解得x2,BEBE,故答案为:或.1如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使D点落在B
7、C边上的点E处,折痕为GH.假设点E是BC的三等分点,那么线段CH的长是_2(2021·林州一模)在矩形ABCD中,AB4,BC9,点E是AD边上一动点,将边AB沿BE折叠,点A的对应点为A.假设点A到矩形较长两对边的距离之比为13,那么AE的长为_3(2021·河南)如图,矩形ABCD中,AD5,AB7,点E为DC上一个动点,把ADE沿AE折叠,当点D的对应点D落在ABC的平分线上时,DE的长为_4(2021·商丘模拟)如图,在矩形ABCD中,AD5,AB8,点E为射线DC上一个动点,把ADE沿直线AE折叠,当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时,那么
8、DE的长为_5如图,在矩形ABCD中,BC6,CD8,点P是AB上(不含端点A,B)任意一点,把PBC沿PC折叠,当点B的对应点B落在矩形ABCD对角线上时,BP_6(2021·河南模拟)如图,ABC中,AB,AC5,tan A2,D是BC中点,点P是AC上一个动点,将BPD沿PD折叠,折叠后的三角形与PBC的重合局部面积恰好等于BPD面积的一半,那么AP的长为_7在矩形ABCD中,AB6,BC12,点E在边BC上,且BE2CE,将矩形沿过点E的直线折叠,点C,D的对应点分别为C,D,折痕与边AD交于点F,当点B,C,D恰好在同一直线上时,AF的长为_类型三 根据图形折叠探究最值问题
9、如图,在矩形纸片ABCD中,AB2,AD3,点E是AB的中点,点F是AD边上的一个动点,将AEF沿EF所在直线翻折,得到AEF,那么AC的长的最小值是_【分析】 以点E为圆心,AE长度为半径作圆,连接CE.当点A在线段CE上时,AC的长取最小值,根据折叠的性质可知AE1,在RtBCE中利用勾股定理可求出CE的长度,用CEAE即可求出结论例3题解图【自主解答】 以点E为圆心,AE长度为半径作圆,连接CE,当点A在线段CE上时,AC的长取最小值,如解图所示根据折叠可知:AEAEAB1.在RtBCE中,BEAB1,BC3,B90°,CE,AC的最小值CEAE1.故答案为1.1(2021
10、183;原创)如图,在边长为10的等边三角形ABC中,D是AB边上的动点,E是AC边的中点,将ADE沿DE翻折得到ADE,连接BA,那么BA的最小值是_2在矩形ABCD中,AD12,E是AB边上的点,AE5,点P在AD边上,将AEP沿EP折叠,使得点A落在点A的位置,如图,当A与点D的距离最短时,APD的面积为_3如图,在边长为4的正方形ABCD中,E为AB边的中点,F是BC边上的动点,将EBF沿EF所在直线折叠得到EBF,连接BD.那么当BD取得最小值时,tanBEF的值为_4(2021·河南模拟)如图,在RtABC中,ACB90°,AC4,BC6,点D是边BC的中点,点
11、E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合),沿DE翻折DBE使点B落在点F处,连接AF,那么线段AF的长取最小值时,BF的长为_参考答案类型一针对训练1.1或22【解析】(1)当点E在边AD上时,过点E作EFCD于F,如解图,设CFx,第1题解图ABC30°,BCD150°.BCD是等边三角形,DCD90°.由折叠可知,ECDDCE45°,EFCFx,在直角三角形DEF中,D30°,DE2x,DFx,CDCFDFxx2,解得xx1,DE2x22.(2)当E在DA的延长线上时,如解图.第1题解图过点B作BFDA于点F,根据折叠可知,EDCD30&
12、#176;,又三角形BDC是等边三角形,DE垂直平分BC,ADBC.DEAD,ABC30°BAF30°,又AB2,AF.令DE与BC的交点为G,那么易知EFBGBC1,AE1,DE1,综上所述,DE的长度为1或22.2.或【解析】在RtABC中,C90°,AB5,AC4,BC3.沿直线EF将B折叠,使点B恰好落在BC上的D处,当ADE恰好为直角三角形时,根据折叠的性质:BEDE,设BEx,那么DEx,AE5x,当ADE90°时,那么DEBC,解得x;当AED90°时,那么AEDACB,解得x,故所求BE的长度为:或.3.或1【解析】如解图,当B
13、MC90°,B与A重合,M是BC的中点,BMBC;如解图,当MBC90°,A90°,ABAC,C45°,CMB是等腰直角三角形,CMMB.沿MN所在的直线折叠B,使点B的对应点为B,BMBM,CMBM.BC1,CMBMBMBM1,BM1,综上所述,假设MBC为直角三角形,那么BM的长为或1.图图第3题解图4.或22【解析】如解图,当ADAC时,ADCACD30°,AAD60°.又CAD30°,ADA90°,在RtADA中,AA,由折叠可得APAA;图图第4题解图如解图,当CDCA4时,连接BD交AC于O,那么RtC
14、OD中,COCD×cos 30°4×2,AC4,AAACAC44,由折叠可得APAA22;故答案为或22.5 .或【解析】如解图所示,点E与点C重合时在RtABC中,BC4.由翻折的性质可知;AEAC3、DCDE,那么EB2.设DCEDx,那么BD4x.在RtDBE中,DE2BE2DB2,即x222(4x)2.解得x.DE.图图第5题解图如解图所示:EDB90°时由翻折的性质可知:ACAC,CACD90°.CACDCDC90°,四边形ACDC为矩形又ACAC,四边形ACDC为正方形CDAC3.DBBCDC431.DEAC,BDEBCA
15、.,即.解得DE.点D在CB上运动,DBC90°,故DBC不可能为直角故答案为:或.6.或【解析】分两种情况:如解图,当CDM90°,CDM是直角三角形,在RtABC中,B90°,A60°,AC24,C30°,ABAC2,由折叠可得,MDNA60°,BDN30°,BNDNAN,BNAB,AN2BN,DNB60°,ANMDNM60°,ANM60°,ANMN.如解图,当CMD90°时,CDM是直角三角形,由题可得CDM60°,AMDN60°,BDN60°,BN
16、D30°,BDDNAN,BNBD,又AB2,AN2,BN,过N作NHAM于H,那么ANH30°,AHAN1,HN,由折叠可得AMNDMN45°,MNH是等腰直角三角形,HMHN,MN,故答案为或.文档来自于网络搜索图图第6题解图73或【解析】C90°,BC2,AC2,tan B,B30°,AB2AC4.点D是BC的中点,沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置,BD交AB于点F,DBDC,EBEB,DBEB30°.设AEx,那么BE4x,EB4x,当AFB90°时,在RtBDF中,cos B,BFcos 30°,E
17、F(4x)x.在RtBEF中,EBF30°,EB2EF,那么4x2(x),解得x3,此时AE为3;第7题解图当FBA90°时,作EHAB于H,连接AD,如解图,DCDB,ADAD,RtADBRtADC,ABAC2.ABEABFEBF90°30°120°,EBH60°.在RtEHB中,BHBE(4x),EHBH(4x),在RtAEH中,EH2AH2AE2,(4x)2(4x)22x2,解得x,此时AE为.综上所述,AE的长为3或.8.或【解析】四边形ABCD是菱形,ABBCCDAD5,DACBAC.EFAA,EPAFPA90°,
18、EAPAEP90°,FAPAFP90°,AEPAFP,AEAF.AEF是由AEF翻折,AEEA,AFFA,AEEAAFFA,四边形AEAF是菱形,APPA.当CDCA时,AAACCA3,APAA.当ACAD时,ACDADCDAC,ACDDAC,AC,AA8,APAA,故答案为或.资料个人收集整理,勿做商业用途9.或【解析】如解图,当ADC90°时,ADCC,第9题解图DCCB,ADCACB.又AC3,BC4,设CDCDx,那么AD3x,解得x,经检验:x是所列方程的解,CD;如解图,当DCA90°时,DCB90°,第9题解图由折叠可得,CDCE
19、90°,CB与CE重合,由CACD90°,AA,可得ADCABC,在RtABC中,AB5,设CDCDx,那么AD3x,解得x,CD.综上所述,CD的长为或.类型二针对训练14或【解析】设CHx,那么DHEH9x,当BEEC21时,BC9,CEBC3.在RtECH中,EH2EC2CH2,即(9x)232x2,解得x4,即CH4.当BEEC12时,CEBC6.在RtECH中,EH2EC2CH2,即(9x)262x2,解得:x,即CH.故CH的长为4或.2.或【解析】如解图,过点A作AMAD于M交BC于N,那么四边形ABNM是矩形,ABMN4.假设点A到矩形较长两对边的距离之比为
20、13,AM1,AN3或AM3,AN1.当AM1,AN3时,在RtBAN中,BN,AMBN.由AEMBAN,EM,AE;当AM3,AN1时,同理可得AE.,第2题解图)第3题解图3.或【解析】如解图,连接BD,过D作MNAB,交AB于点M,CD于点N,作DPBC交BC于点P.点D的对应点D落在ABC的平分线上,MDPD.设MDx,那么PDBMx,AMABBM7x,又由折叠图形可得ADAD5,x2(7x)225,解得x3或4,即MD3或4.在RtEND中,设EDa,当MD3时,AM734,DN532,EN4a,a222(4a)2,解得a,即DE;当MD4时,AM743,DN541,EN3a,a21
21、2(3a)2,解得a,即DE.综上所述,DE的长为或.个人收集整理 勿做商业用途4.或10【解析】分两种情况:如解图,当点F在矩形内部时,点F在AB的垂直平分线MN上,AN4.AFAD5,由勾股定理得FN3,FM2.设DE为x,那么EM4x,FEx,在EMF中,由勾股定理,得x2(4x)222,x,即DE的长为;图图第4题解图如解图,当点F在矩形外部时,同的方法可得FN3,FM8,设DE为y,那么EMy4,FEy,在EMF中,由勾股定理,得y2(y4)282,y10,即DE的长为10.综上所述,点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时,DE的长为或10.53或【解析】点A落在矩形对角线BD上,如解
22、图,在矩形ABCD中,AB8,BC6ABC90°,ACBD,ACBD10.根据折叠的性质,得PCBB,PBDBCP,BCPABD,即,解得BP;点A落在矩形对角线AC上,如解图,根据折叠的性质,得BPBP,BPBC90°,ABA90°,APBACB,即,解得BP3,故答案为:3或.图图第5题解图62或5【解析】分两种情况:当点B在AC的下方时,如解图,D是BC中点,SBPDSPDC,SPDFSBPD,SPDFSPDC.F是PC的中点,DF是BPC的中位线,DFBP,BPDPDF,由折叠得:BPDBPD,BPDPDF,PBBD,即PBBD,过B作BEAC于E,在Rt
23、ABE中,tan A2,AB,AE1,BE2,EC514,由勾股定理,得BC2,D为BC的中点,BD,PBBD,在RtBPE中,PE1,APAEPE112;资料个人收集整理,勿做商业用途图图第6题解图当点B在AC的上方时,如解图,连接BC,同理得:F是DC的中点,F是PB的中点,DFFC,PFFB,四边形DPCB是平行四边形,PCBDBD,AP5,综上所述,AP的长为2或5.782或82【解析】由折叠的性质得,ECDC90°,CECE.点B、C、D在同一直线上,BCE90°,BC12,BE2CE,BE8,CECE4,在RtBCE中,2,CBE30°.当点C在BC的上方时,如解图,过E作EGAD于G,延长EC交AD于H,那么四边形ABEG是矩形,EGAB6,AGBE8,CBE30°,BCE90°,BEC60°,由折叠的性质得,CEFCEF60°.ADBC,HFECEF60°,EFH是等边三角
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