第三章 §4 反证法

1、第第三三章章4 4 理解教材新知理解教材新知把握热点把握热点考向考向应用创新演练应用创新演练 考点一考点一 考点二考点二 考点三考点三第一页，编辑于星期日：八点 二十三分。第二页，编辑于星期日：八点 二十三分。第三页，编辑于星期日：八点 二十三分。第四页，编辑于星期日：八点 二十三分。 1问题：在今天商品大战中问题：在今天商品大战中,广告成了电视节目中的广告成了电视节目中的一道美丽的风景线一道美丽的风景线,几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术如宣传某种食品换艺术如宣传某种食品,其广告词为：其广告词为：“拥有的人们都幸福拥有的人们都幸福,幸福的人们都拥有该广

2、告词实际说明了什么？幸福的人们都拥有该广告词实际说明了什么？提示：说的是提示：说的是“不拥有的人们不幸福不拥有的人们不幸福第五页，编辑于星期日：八点 二十三分。 2正整数正整数a,b,c满足满足a2b2c2.求证：求证：a,b,c不可能都不可能都是奇数是奇数 问题问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？：你能利用综合法和分析法给出证明吗？ 提示：不能提示：不能 问题问题2：a,b,c不可能都是奇数的反面是什么？此时不可能都是奇数的反面是什么？此时,还满足还满足条件条件a2b2c2吗？吗？ 提示：提示：a,b,c都是奇数此时不满足条件都是奇数此时不满足条件a2b2c2.第六页，编辑于星期日：八

3、点 二十三分。 1反证法的定义反证法的定义 在证明数学命题时在证明数学命题时,先假定先假定 成立成立,在这个前在这个前提下提下,假设推出的结果与假设推出的结果与 、 、 相相矛盾矛盾,或与命题中的或与命题中的 相矛盾相矛盾,或与或与 相矛盾相矛盾,从而从而断定断定 不可能成立不可能成立,由此断定由此断定 成立成立,这种证明方法叫作反证法这种证明方法叫作反证法命题结论的反面命题结论的反面定义定义公理公理定理定理条件条件假定假定命题的反面命题的反面命题命题的结论的结论第七页，编辑于星期日：八点 二十三分。2反证法的证题步骤反证法的证题步骤(1)作出作出 的假设；的假设；(2)进行推理进行推理, ；

4、(3) ,肯定结论肯定结论否认结论否认结论导出矛盾导出矛盾否认假设否认假设第八页，编辑于星期日：八点 二十三分。 1反证法就是通过否认命题的结论而导出矛盾来到达肯反证法就是通过否认命题的结论而导出矛盾来到达肯定命题结论的目的定命题结论的目的 2可能出现矛盾的四种情况：可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；与题设矛盾；(2)与假与假定矛盾；定矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在在证明过程中证明过程中,推出自相矛盾的结论推出自相矛盾的结论第九页，编辑于星期日：八点 二十三分。第十页，编辑于星期日：八点 二十三分。 思路点拨思路点拨此题为否

5、认形式的命题此题为否认形式的命题,可选用反证法可选用反证法,证证题关键是利用等差中项、等比中项题关键是利用等差中项、等比中项第十一页，编辑于星期日：八点 二十三分。第十二页，编辑于星期日：八点 二十三分。 一点通一点通 (1)对于这类对于这类“否认型命题否认型命题,显然从正面证明需要证明显然从正面证明需要证明的情况太多的情况太多,不但过程繁琐不但过程繁琐,而且容易遗漏而且容易遗漏,故可以考虑采用反故可以考虑采用反证法一般地证法一般地,当题目中含有当题目中含有“不可能不可能“都不都不“没没有等否认性词语时有等否认性词语时,宜采用反证法证明宜采用反证法证明 (2)反证法证明反证法证明“肯定型命题适

6、宜于结论的反面比原结论更肯定型命题适宜于结论的反面比原结论更具体更容易研究和掌握的命题具体更容易研究和掌握的命题 第十三页，编辑于星期日：八点 二十三分。第十四页，编辑于星期日：八点 二十三分。2a是整数是整数,a2是偶数是偶数,求证：求证：a也是偶数也是偶数证明：假设证明：假设a不是偶数不是偶数,那么那么a为奇数为奇数设设a2m1(m为整数为整数),那么那么a24m24m1.4(m2m)是偶数是偶数,4m24m1为奇数为奇数,即即a2为奇数为奇数,与矛盾与矛盾a一定是偶数一定是偶数.第十五页，编辑于星期日：八点 二十三分。例例2求证函数求证函数f(x)2x1有且只有一个零点有且只有一个零点思

7、路点拨思路点拨一般先证存在性一般先证存在性,再用反证法证唯一性再用反证法证唯一性第十六页，编辑于星期日：八点 二十三分。第十七页，编辑于星期日：八点 二十三分。第十八页，编辑于星期日：八点 二十三分。 一点通一点通 (1)结论以结论以“有且只有、有且只有、“只有一个、只有一个、“唯一存在等形唯一存在等形式出现的式出现的“唯一型命题唯一型命题,由于反设结论易于导出矛盾由于反设结论易于导出矛盾,所以用所以用反证法证明简单而又明了反证法证明简单而又明了 (2)“有且只有的含义有两层存在性：此题中只需找到有且只有的含义有两层存在性：此题中只需找到函数函数f(x)2x1的一个零点即可唯一性：正面直接证明

8、较为的一个零点即可唯一性：正面直接证明较为困难困难,故可采用反证法寻求矛盾故可采用反证法寻求矛盾,从而证明原命题的正确性从而证明原命题的正确性第十九页，编辑于星期日：八点 二十三分。3过平面过平面上一点上一点A,作直线作直线a,求证：求证：a是唯一的是唯一的证明：假设证明：假设a不是唯一的不是唯一的,那么过点那么过点A至少还有一条直线至少还有一条直线b满足满足b.a,b是相交直线是相交直线,a,b可以确定一个平面可以确定一个平面.设设和和相交于过点相交于过点A的直线的直线c.a,b,ac,bc,又又abA,c.这与这与c矛盾矛盾故过点故过点A垂直于平面垂直于平面的直线有且只有一条的直线有且只有

9、一条,即即a是唯是唯一的一的第二十页，编辑于星期日：八点 二十三分。4用反证法证明：过直线用反证法证明：过直线a外一点外一点A只有一条直线只有一条直线b与直线与直线a平行平行证明：假设过点证明：假设过点A还有一条直线还有一条直线b与直线与直线a平行平行,即即bbA,ba.因为因为ba,由平行公理知由平行公理知bb.这与假设这与假设bbA矛盾矛盾,所以过直线外一点只有一条直线与直线所以过直线外一点只有一条直线与直线平行平行.第二十一页，编辑于星期日：八点 二十三分。精解详析精解详析假设假设a,b,c都不大于都不大于0,即即a0,b0,c0.所以所以abc0.而而abc第二十二页，编辑于星期日：八

10、点 二十三分。第二十三页，编辑于星期日：八点 二十三分。 一点通一点通(1)对于否认性命题或结论中出现对于否认性命题或结论中出现“至多至多“至少至少“不可能等字不可能等字样时样时,常用反证法常用反证法(2)常用的常用的“原结论词与原结论词与“反设词归纳如下表：反设词归纳如下表：原结论词原结论词 至少有一个至少有一个至多有至多有一个一个至少有至少有n个个至多有至多有n个个反设词反设词一个也没有一个也没有(不存在不存在)至少有至少有两个两个至多有至多有n1个个至少有至少有n1个个第二十四页，编辑于星期日：八点 二十三分。第二十五页，编辑于星期日：八点 二十三分。6用反证法证明：假设函数用反证法证明

11、：假设函数f(x)在区间在区间a,b上是增函数上是增函数,那么方程那么方程f(x)0在区间在区间a,b上至多有一个实根上至多有一个实根证明：假设方程证明：假设方程f(x)0在区间在区间a,b上至少有两个实根上至少有两个实根,不妨设不妨设,为其两个实根为其两个实根,且且,那么那么f()f()0.因为函数因为函数f(x)在区间在区间a,b上是增函数上是增函数,又又,所以所以f()f(),这与假设这与假设f()f()0相矛盾相矛盾所以方程所以方程f(x)0在区间在区间a,b上至多有一个实根上至多有一个实根第二十六页，编辑于星期日：八点 二十三分。用反证法证题要把握三点：用反证法证题要把握三点： (1)必须先否认结论必须先否认结论,对于结论的反面出现的多种可能对于结论的反面出现的多种可能,要逐一要逐一论证论证,缺少任何一种可能缺少任何一种可能,证明都是不完全的证明都是不完全的 (2)反证法必须从否认结论进行推理反证法必须从否认结论进行推理,且必须根据这一条件进行且必须根据这一条件进行论证论证,否那么