（定）八年级下123勾股定理的逆定理

1、湘教版八年级（下册）第1章 直角三角形肖鹏1.直角三角形有哪些性质?2.如何判断三角形是直角三角形?1直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角互余互余2直角三角形斜边上的直角三角形斜边上的中线中线等于斜边的一半等于斜边的一半3勾股定理勾股定理:如果直角三角形两如果直角三角形两直角边直角边分别为分别为a，b，斜边为斜边为c，那么有那么有a2+b2=c21有一个是有一个是直角直角的三角形叫直角三角形的三角形叫直角三角形2有两个角有两个角互余互余的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形3如果三角形如果三角形一边上的中线一边上的中线等于这条边的等于这条边的一半一半，那么这个三角形是直角，那么这个三角形

2、是直角三角形。三角形。 在古代，没有直尺、圆规等作图在古代，没有直尺、圆规等作图工具，人们是怎样画直角三角形的呢？工具，人们是怎样画直角三角形的呢？引入： 古人把一根绳子打上等距离的古人把一根绳子打上等距离的1313个结，个结，然后把第然后把第1 1个结和第个结和第1313个结用木桩钉在一个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第个结和第个结起，再分别用木桩把第个结和第个结钉牢（拉直绳子）。钉牢（拉直绳子）。三角形的三边有什么关系呢？三角形的三边有什么关系呢？（1）（3）（2）（4）（5） （6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）你能猜想出其中的数学道理吗？你能猜想出其中的数学道理吗

3、？探索新知请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?345324252+=3 32 2 + 4+ 42 2 = 5= 52 2直角三角形直角三角形按照这种做法真能得到一个按照这种做法真能得到一个直角三角形直角三角形吗？吗？ 345ACBABC34想一想ABC中， BC=3、 AC=4、AB=5这两个三角形有什么关系？这两个三角形有什么关系？BAC我们作RT ，使 =3、 =4CBCA345ACBABC34在在 中根据中根据勾股定理有勾股定理有CBART222A BA CB C 55434, 32222BABACACBABCCBA 太棒了！ 构造了满足某些条件的图形进行比对 C= C=90由

4、以上实践，我们发现：由以上实践，我们发现：如果围成的三角形的三边分别是，如果围成的三角形的三边分别是，有下列的关系：，有下列的关系：“3 32 2+4+42 2=5=52 2”，那么围，那么围成的三角形是直角三角形成的三角形是直角三角形三角形的三边长三角形的三边长a、b、c满足：满足：a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2那么这个三角形是那么这个三角形是直角三角形直角三角形。cabBCA勾股定理的逆命题 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为斜边为c，那么有，那么有a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2勾股定理勾股定理 如果三角形的三

5、边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足那么这个三角形是直角三角形。那么这个三角形是直角三角形。a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2互逆命题已知已知:在在ABC中，中，AB=c BC=a CA=b 且且a2+b2=c2求证求证: ABC是直角三角形是直角三角形证明证明:画一个画一个ABC,使使 C=90,BC=a, CA=b勾股定理的逆命题勾股定理的逆命题ACBABCbabac 先构造满足某些条件的图形，然后根据所求证的图形与所构造图形这间的关系完成证明。这也是常用的问题解决策略。. C=900 AB2= a2+b2 a2+b2=c2 AB 2=c2 AB =c 边长取正值边长

6、取正值 ABC ABC（SSS） C= C=90BC=a=BCCA=b=CAAB=c=AB已知已知:在在ABC中，中，AB=c BC=a CA=b 且且a2+b2=c2求证求证: ABC是直角三角形是直角三角形证明证明:画一个画一个ABC,使使 C=90,BC=a, CA=b在在 ABC和和 ABC中中则则 ABC是直角三角形是直角三角形（直角三角形的定义）（直角三角形的定义）勾股定理的逆命题勾股定理的逆命题ACBABCbabac勾股定理的逆勾股定理的逆定理定理 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为斜边为c，那么有，那么有a a2 2 + b+ b2 2 =

7、c= c2 2勾股定理勾股定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足那么这个三角形是直角三角形。那么这个三角形是直角三角形。a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2互逆定理驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸定理与逆定理我们已经学习了一些互逆的定理我们已经学习了一些互逆的定理,如如:勾股定理及其逆定理；勾股定理及其逆定理；两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等;内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行.如果一个如果一个定理定理的逆命题经过证明是真命题的逆命题经过证明是真命题,那么它那么它是一个是一个定理定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆定理互逆定理,其中一个其中

8、一个定理称另一个定理的定理称另一个定理的逆定理逆定理.a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2直角三角形直角三角形cabBCA （1）勾股定理主要反映了直角三角形三）勾股定理主要反映了直角三角形三边之间的数量关系，它是解决直角三角形边之间的数量关系，它是解决直角三角形中有关计算与证明的主要依据；中有关计算与证明的主要依据；（2）勾股定理的逆定理主要的应用是把）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形，关系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据它可作为直角三角形的

9、判定依据（3）勾股定理是直角三角形的性质定理，）勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理。逆定理是直角三角形的判定定理。如果三角形的三边长如果三角形的三边长a，b，c满足满足 a2+b2=c2那么这个三角形是那么这个三角形是直角三角形直角三角形.勾股定理的逆定理：勾股定理的逆定理：我们发现这个定我们发现这个定理可以用来判定理可以用来判定一个三角形是直一个三角形是直角三角形角三角形. .cabBCA例例1 判断由判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：组成的三角形是不是直角三角形：(1) a6, b 8 , c10(2) a12, b 15 , c20分析：由勾股定理的

10、逆定理，判断三角形是分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条不是直角三角形，只要看两条较小边较小边的平方的平方和是否等于和是否等于最大边最大边的平方。的平方。解：（解：（1）628236+64100 102100 6282102 这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形cabBCA例例1 判断由判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：组成的三角形是不是直角三角形：(1) a6, b 8 , c10(2) a12, b 15 , c20解：（解：（2）122152144+225369 202400 122152202 这个三角形不是直角三角形这个三角形不是直角三

11、角形 像像6,8,10,能够成为直角三角形三能够成为直角三角形三条边长的三个条边长的三个正整数正整数，称为，称为勾股数勾股数.cabBCA 下面的二组数分别是勾股数下面的二组数分别是勾股数吗：吗：5，12，13； 7，24，25。这二组数都满足这二组数都满足a2+b2=c2，且均，且均为正整数。所以都是为正整数。所以都是勾股数勾股数 判断由线段a、 b 、 c 组成的三角形是不是直角三角形： (1) a=15, b=8, c=17 (2) a=13, b=14,c=15; (3) a:b: c=3:4:5 2222221158225642891728915817这个三角形是直角三角形解： 22

12、222221314169 19636515225131415这个三角形不是直角三角形 2222222222233.3425,525axxxabxxxcxxabc 设，则b=4 ,c=5这个三角形是直角三角形辅元法辅元法. .例2 已知：在已知：在ABC中，三条边长分别为中，三条边长分别为：a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n1，n为正整数为正整数）. .求证：求证：ABC为直角三角形为直角三角形. .22222(1)(2 )abnn证明：4224221421nnnnn22242121cnnn222abc 所以ABC为直角三角形分析：在a、b、c三边中，哪一条边是最大的边？需要得出什么，才能

13、证明ABC为直角三角形？可以代n为满足条件的特殊值来试，n=4.则a=15,b=8,c=17,c最大。 例例 3.在在ABC中，中，a=15, b=17, c=8,求此三角求此三角形的面积形的面积。为直角三角形为直角三角形,且且B=90 ABC的面积为的面积为1115 860.22a c 解：解：15152 2+8+82 2=17=172 2a a2 2+c+c2 2=b=b2 2cabBCA注意：由勾股定理的逆定理，判断三角形是注意：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条不是直角三角形，只要看两条较小边较小边的平方的平方和是否等于和是否等于最大边最大边的平方。的平方。例例

14、4 4 如图的一块地如图的一块地,090 ,4,ADCAD3,13,12,CDABBC求这块地的面积CABD43513120ADC=90ADC解：连接AC,，是直角三角形4,3,ADCD所以根据勾股定理有：222222432555.ACADCDAC13,12ABBC2222512169,ACBC2213169AB 2220,90 ,ACBCABACBABCD30 624ACBACDSSS 四边形12ACDSAD14 362CD 12ACBSAC15 12302CB 练练 习习 1在已知下列三组长度的线段中，不能构 成直角三角形的是 ( ) (A)5、12、13 (B)2、3、 (C)4、7、5

15、 (D)1、 、 523C 2下列命题中，假命题是 ( )(A)三个角的度数之比为1 : 3 : 4的三角形是直角三角形(B)三个角的度数之比为3 :4 : 5的三角形是直角三角形(C)三边长度之比为1 : : 2的三角形是直角三角形(D)三边长度之比为 : : 2的三角形是直角三角形 322B 3.,12,10,13,ABCABcm BCcm BCADcmAC中边上的中线求的长度ABCD解:AD是BC边的中线,且BC=10cmBD=CD=5cmAB=12cm，AD=13cmAB2+BD2=122+52=169=132=AD2 是直角三角形，即B=90OAC2=AB2+BC2=122+102=

16、244 AC=ABC2 61 4 如图. 中,ABCCDAB于D,且2CDAD求证:ABC是直角三角形.ADBC证明CDABADCBDC和是直角三角形222BCBDCD222,ACADCD两式相加得：222222ACBCADBDCD2222()ACBCADBDABABC是直角三角形.BD2CDADBD22222ACBCADBDADBD收获 心得知识：勾股定理的逆定理即:三角形的三边长a、b、c满足：a2 + b2 = c2那么这个三角形是直角三角形。利用勾股定理的逆定理解决实际问题。方法： 从特殊到一般法 构造直角三角形的方法 思想：数形结合的思想 P16习题习题1.2A组组 2，4 P7习题习题1.1A组组 1，21.如图：如图：A