概率论与数理统计期末考试试卷答案

1、概率论与数理统计试卷A一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)1、A, B为二事件，则 AUBA AB B、 AB C、 AB D 、 AUB2、设A, B, C表示三个事件，则ABC表示A、A, B, C中有一个发生B、A, B, C中恰有两个发生G A, B, C中不多于一个发生 D、A, B, C都不发生3、A、B 为两事件，若 P(AUB) 0.8, P(A) 0.2, P(B) 0.4,则 成立A、P(AB) 0.32 B 、P(A B) 0.2 C、P(B A) 0.4 D、P(B A) 0.484、设A, B为任二事件，则A、P(A B) P(A) P(B) B、

2、P(AU B) P(A) P(B)G P(AB) P(A)P(B) D 、P(A) P(AB) P(AB)5、设事件A与B相互独立，则下列说法错误的是A、A与B独立、A与 B 独立 C、P(AB) P(A)P(B) D、A与 B一定互6、设离散型随机变量X的分布列为其分布函数为F(x),则F(3)A 0 B 、0.3设离散型随机变量C 、0.8 D 、1X的密度函数为f(x)cx4 ,0,谭1 ,则常数8、设XN(0,1),密度函数(x)2xe亍，则(x)的最大值是A、09、设随机变量X可取无穷多个值0,1,2,，其概率分布为p(k；3)3k一 e k!3,k 0,1,2,L ,则下式成立的是

3、一1A EX DX 3 B、EX DX 131_1_G EX 3, DX D、EX - , DX 9 3310、设X服从二项分布B(n,p),则有A E(2X 1) 2np B 、D(2X 1) 4np(1 p) 1G E(2X 1) 4np 1 D 、D(2X 1) 4np(1 p)11、独立随机变量X,Y,若XN(1,4) , YN(3,16),下式中不成立的是4 B、EXY 3 C、DXY 12 D、EY2 16DP XA 1 B 、0 C 、1 D 、-1 214、已知 EX 1, DX 3 ,贝U E 3 X2 2 =A、9 B 、6 C、30 D、3615、当X服从()分布时，EX

4、 DX。A、指数 B、泊松C、正态 D、均匀16、下列结论中，不是随机变量X与Y不相关的充要条件A、E(XY) E(X)E(Y) B 、D X Y DX DYG Cov X ,Y 0X与Y相互独立17、设 X b(n, p)且 EX 6,DX 3.6 ,则有An10, p0.6 B、n20, p0.3Cn15, p0.4 D、n12, p0.518、设p x,y , p x ,p y分别是二维随机变量，的联合密度函数及边缘密度函数,则 是与 独立的充要条件。A EE E B、DD DC 与不相关 D 、对x, y,有px,y p x p y19、设是二维离散型随机变量，则 X与Y独立的充要条件

5、是A E(XY) EXEy B、D(X Y) DX DY C 、X 与Y不相关D t X ,Y的任何可能取值x *Pj PgPgj20、设X,Y的联合密度为p(x,y)4xy0,0 x,y 1其它若F(x,y)为分布函数，则F(0.5,2)A 0 B 、1 C 、1 D 、1 42、计算题(本大题共6小题，每小题7分，共42分) 1、若事件 A 与 B相互独立，P(A) 0.8 P(B) 0.6。求：P(A B)和 PA|(A B)2、设随机变量 X: N(2,4),且 (1.65) 0.95。求 P(X 5.3)0, x 03、已知连续型随机变量的分布函数为F(x)0 x 4,求E和D41,

6、 x 44、设连续型随机变量X的分布函数为F(x) A Barctgxx求：(1)常数A和B;(2) X落入(-1 , 1)的概率；(3) X的密度函数f (x)5、某射手有3发子弹，射一次命中的概率为2,如果命中了就停止射击，3否则一直独立射到子弹用尽。求：(1)耗用子弹数X的分布列；(2) EX ; (3) DX4xv. 0 x.y 16、设，的联合密度为P* J其:求：(1)边际密度函数P (x), p (y); (2) E , E ; (3) 与 是否独立三、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)0 其它1 -2、设 f(x, ) 一 e x 0(0) XjX2，,xn。为的一

7、组观察值，求 的极大似然估计概率论与数理统计试卷答案及评分标准单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）题号12345678910答案BDCDDDDCAD题号11111111121234567890答案CCBBBDCDDB计算题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1、解：:A与B相互独立 . P(A B) P(A) P(B) P(AB) ( 1 分)又 P(AA B)PA(A B)P(A B)(1分)P(AB)P(A B)P(A)P(B)P(A B)(2分)0.13(1分)2、:P(X 5.3)/5.3-21 2(5分)(1.65) 1 0.95 0.053、:由已知有U 0,4

8、(3分)则:4、:由5(F(有:_ B 2_ B 2P(1)F(1)F(f(x)F (x)(1 x2)解之有:(3分)1)(2分)(2分)5、:X123P2/32/91/93(3分)EX139(2分) V EX22/xi Pi12232239 一 2DX EX_ 2 (EX)2393881(2分)6、解：(1) ; p (x)p(x, y)dy10 4xydy 2xp (x)2x, 0 x 10, 其它同理：p （x）2y, 0 y 10, 其它(3分)一1222(2) E xp (x)dx 2x dx 一 同理：E 一 033 P(x,y) p (x)p (y):与独立三、应用题（本大题共2

9、小题，每小题9分，共18分）1、解：x1,x2，,xn的似然函数为:1 nn 131 xL（x1, x2，,xn，）-e e （3 分）i 1n_解之有：$ - xi X （6分）n i 14、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且已知E（X 1）（ X 2）1求解：E(X) D(X) ,E(X 1)(X2) E(X2 3X 2)D(X) E(X)2 3E(X) 2 1所以2 21 0,得 1.三、（共18分，每题6分） 1、设总体X N （52,62），现随机抽取容量为36的一个样本，求样本均值X落入（50.8,53.8）之间的概率.解：XN(52,1),P50.8 X 53.8 = (53.

10、8 52)(50.8 52)(1.8)( 1.2)=0.9641 1 0.88490.8492、设随机变量X的分布函数为F(x)Aex,xB,01 Ae (x 1), x.3分1分0, x 1,1.1求：(1) A , B的值；(2) PX -.3解：(1)由连续型随机变量分布函数的连续性，得lim F(x) F(0), lim F(x) F (1), x 0x 1A B即解得A B 0.5B 1 A(2) PX11、, 八八1 1 F(1) 1 0.5 0.5333、箱子中有一号袋1个，二号袋2个.一号袋中装1个红球，2个黄球，二号 袋中装2个红球，1个黄球，今从箱子中任取一袋，从中任取一球

11、，结果为红 球，求这个红球是从一号袋中取得的概率.解：设Ai =从箱子中取到i号袋, i 1,2B=抽出的是红球P(B) P(A1)P(B|A。P(A2)P(B|A2).2分112 2 53 3 3 3 9P(A1|B)P(A)P(B|A1)2P(A)P(B| Ai) i 1四、(8分)设随机变量X具有密度函数f(x)Ax, 0 x 1,0, 其它.(1)常数A; (2) X的分布函数.(1)因为f (x)dxXxd oXxd2X o1ks 0X1X o X,2a X 3级班题试B计统理数与论率概五、(8分)某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为60、30、10件，现从中随机抽取一件，

12、记Xi1,若抽到i等品，0,没有抽到i等品.求Xi, X 2的联合分布律.解：设Ai,A2, A3分别表示抽到一、二、三等品,P(Xi 0,X2 0) P(A3) 0.1, P(Xi 1,X20) P(A1) 0.6P(X1 0,X2 1) P(A2) 0.3, P(X1 1,X21) 0X1, X2的联合分布律为X2X01010.10.30.60.0.8分(每个2分)六、(10分)设随机变量X和Y的联合概率密度为(1)求边缘概率密度；(2)判断随机变量X和Y是否独立.7、已知随机向量(X, Y)的联合密度函数一 、3xy2, 0 x 2,0 y 1 ,则旦X)=f f (x, y)230,其

13、他-8、随机变量X的数学期望EX ，方差DX 2, k、b为常数，则有E(kX b)=_kb,； D(kX b)=k2 29、若随机变量XN(2, 4), YN(3, 9),且X与Y相互独立。设Z= 2X-丫+ 5,则ZN(-2, 25)10、？，？是常数 的两个无偏 估计量,若D(?) D(2),则称？比？有效。1、设 A、B为随机事件，且 P(A)=0.4, P( B)=0.3, P(AU B)=0.6 ,则 P( AB )=_0.3 02、设 X?B(2, p) , Y?B(3, p)，且 PX1= 5 ,则 PY 1= 19 0 9273、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Y =3

14、X -2,则E(Y)=L。4、设随机变量X服从0,2上的均匀分布，Y=2X+1,则D(Y)= 4/3。5、设随机变量X的概率密度是：f(x) 3x 0 x 1，且 PX0.784 ，则=0.6 Of (X)0 其他6、利用正态分布的结论，有1 / 2 / 人 (171。-(x 4 x 4)e dx -7、已知随机向量(X, Y)的联合密度函数f(x y) |xy2, 0 x 2,0 y 1 ,则E(Y)= 3/4。0,其他8、设(X, Y)为二维随机向量，口冲、口 Y)均不为零。若有常数a0与b使P Y aX b 1,则X与Y的相关系数 xy工。9、若随机变量XN (1 , 4), YN(2

15、, 9),且X与Y相互独立。设Z= X- 丫+ 3,则ZN (2, 13)。10、设随机变量XN(1/2 ,2),以丫表示对X的三次独立重复观察中“X 1/2”出现的次数，则PY 2 = 3/81、设 A, B为随机事件，且 P(A)=0.7 , P(AB)=0.3,则 P(A B) 06。2、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1111,则密码能被译出的概率是11/2454365、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且3P X 2 P X 4 ,则=66、设随机变量 X N (1,4),已知(0.5)=0.6915 ,(1.5)=0.9332，则 P X 20.6247。7、随

16、机变量X的概率密度函数f(x)1 x2 2x 1e则 E(X)=n8、已知总体X N (0, 1),设X, X ，Xn是来自总体X的简单随机样本，则Xi2x2(n)i 19、设T服从自由度为n的t分布，若P T，则PTxy, 0 x 2,0 y 1 ,则 E(X)= 4/3。0,其他10、已知随机向量(X, Y)的联合密度函数f(x,y)1、设 A, B为随机事件，且 P(A)=0.6, P(AB尸 P( AB ),则 P(B)= 0.4 2、设随机变量X与Y相互独立，且X1- , Y1-,则P(X =Y)= 0.5P 0.5 0.5 P 0.5 0.5一 ,3、设随机变量X服从以n, p为参

17、数的二项分布，且 EX=15, DX=10,则n= 45。/x2 4x 4、.、一C一14、设随机变重X N(,),其密度函数f (x) 褒e，则 =-2。5、设随机变量X的数学期望EX和方差DX0都存在，令丫 (x ex )/ jk ,则DY=J6、设随机变量X服从区间0, 5上的均匀分布，丫服从5的指数分布，且X, 丫相互独立，则(X Y)的联合密度函数 f ( x, y)= e 5y 0 x 5,y 00 其它7、随机变量X与Y相互独立，且D(X)=4, D(Y)=2,则D(3X -2Y )= 44。8、设Xi,X2, ,Xn是来自总体X N (0, 1)的简单随机样本，则(Xi X)2

18、服从的分布为x2(n 1)。9、三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为1,1,1 ,则目标能被击中的概率是3/55 4 310、已知随机向量(X Y)的联合概率密度f(x,y) 4xe2y, 0 1,y0 其它则 EY = 1/21、设 A,B 为两个随机事件，且 P(A)=0.7, P(A-B)=0.3,则 P(AB)=0.6。2、设随机变量X的分布律为XP1,且X与Y独立同分布，则随机变量Z = maxX, Y的分布律为Z3、设随机变量 X N (2 ,2),且 P2 X 4 = 0.3 ,则 PX 0 =024、设随机变量X服从2泊松分布，则PX 1 =1 e205、

19、已知随机变量X的概率密度为fX(x),令Y 2X ,则Y的概率密度fY(y)为fX(-) 226、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4 ,则D(X) 24n2(X i X )2c7、X, X ，X是取自总体N , 2的样本，则x2(n 1)。22y8、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度f(x,y) 4xe , 0 x 1,y 0,则EX = 2/3。0 其它9、称统计量以参数 的无偏估计量,如果E()=。10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的,这个原理称为小概率事件原理。1、设 A、B为两个随机事件，若 P(A)=0.4 , P(B)=0.3 , P

20、(A B) 0.6,则 P(AB) 0.3。2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4,则E(X2) 18.4 o3、设随机变量XN(1/4 ,9),以Y表示对X的5次独立重复观察中“X 1/4”出现的次数，则PY 2 = 5/164、已知随机变量X服从参数为 的泊松分布，且P(X=2)=P(X=4),则 =2V3 o5、称统计量为参数 的无偏估计量，如果E( )=0 。6、设 X N(0,1),Y x (n),且 X, Y相互独立，则 P2D.p1与p2的关系无法确定5、设随机变量X的密度函数为f （x）,则Y = 7 5 X的密度函数为（B1、对任意两个事件A和B

21、,若P（AB） 0,则（D ）A. ABB. ABC. P(A)P(B) 0D. P(A B) P(A)1, P(B| A) P(B| A),则必有(B )02、设A、B为两个随机事件，且0 P(A) 1, 0 P(B)A. P(A|B) P(A | B) B. P(AB) P(A)P(B) C.P(AB)P(A)P(B)D. A、B互不相容3、设(x)为标准正态分布函数,Xi ：,蓝i 1, 2,100，且 P(A) 0.7,Xi, X2100,X100相互独立。令Y Xi ,则由中 i 1心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于(B )A. (y) By 70(y - ) C；21(y 70

22、) D(-707)3和2 , 4上服从均匀分布，则E(XY) ( A )04、已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间1,A. 3B. 6 C. 10 D. 125、设随机变量 X N( N , 9) , Y NU , 25),记 6 P X 3, p? Y 5,则(B )A. P1VP2B.p = p2C.p1p2D.P1 与 P2的关系无法确定1、设A1,A2两个随机事件相互独立，当 A1,A2同时发生时，必有A发生，则(A )。A. P(A1A2) P(A) B.P(A1A2) P(A) C. P(A1 A2) P(A) D.P(A1)P(A2) P(A)2、已知随机变量X的概率密度

23、为fX(x),令Y2X 3,则Y的概率密度fY(y)为(A )。A.，(fB.(1)C.，(守 D.2fX(y73)3、两个独立随机变量X,Y,则下列不成立的是(C )A. EXY EXEY B. E(X Y) EX EY C. DXY DXDY D. D(X Y) DX DY 1 事件A发生一4、设(x)为标准正态分布函数，Xi -Ii 1, 2, 100,且 P(A) 0.9, X1, X2, , X100i 0,否则100相互独立。令Y Xi ,则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于(B )。 i 1A. (y) B .(产)C . (y 90) D .(-90)395、设总体X的

24、数学期望EX=仙，方差DX= 1, X, X K是来自总体X的简单随机样本，则下列 卜的估计量中最有效的是(B )1、若事件A1, 4 , A3两两独立，则下列结论成立的是(B )。A. A1,A2,A3相互独立B.从，&，囚3两两独立C. P(A1A2A3) P(A1)P(A2)P(A)D. A, A2, A3相互独立2、连续型随机变量X的密度函数f (x)必满足条件(C )03、设X1,X2是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x),分布函数分别为E(x)和 F2(x)，则(B )。A. f1(x) f2(x)必为密度函数B.F(x) F2(x)必为分布

25、函数C. E(x) Fz(x)必为分布函数D.f1(x) f2(x)必为密度函数4、设随机变量X, Y相互独立，且均服从0, 1上的均匀分布，则服从均匀分布的是(B )。A X Y B .(X, YC.X - YD. X + Y5、设(x)为标准正态分布函数，1 事件A发生一n Xi ,hmi 1, 2, , n,且P(A) p, Xi, X2, L , Xn相互独立。令YXi,则由中心极限0,否则i 1定理知Y的分布函数F(y)近似于(B )。A. (y) B .( / np ) C . (y np) D .( y np ),np(1 p)np(1 p)三(5)、市场上出售的某种商品由三个厂

26、家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的两倍，第二、第三厂家相等，且第一、第二、第三厂家的次品率依次为2%, 2%, 4%。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率为多少？ 解 设A表示产品由第i家厂家提供，i=1,2, 3 ; B表示此产品为次品则所求事件的概率为P(A |B)P(AJB)P(AJP(B| A)P(B)P(A)P(B | A1) P(A2)P(B | A2) P(A3)P(B | A3)11 0.0221110.020.020.042440.4答：该件商品是第一产家生产的概率为0.425% 35% 40% 次品率分别为 0.03、0.02、(6)、甲、

27、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的0.01 o现从所有的产品中抽取一个产品，试求(1)该产品是次品的概率；(2)若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少?解：设A, A, A3表示甲乙丙三车间加工的产品，B表示此产品是次品（1）所求事件的概率为(2) P(A|B)0.38P(A2)P(B|A2) _ 0.35 0.02P(B) -0.0185答：这件产品是次品的 概率为0.0185,若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率为0.38。三（7）、一个机床有1/3的时间加工零件A,其余时间加工零件Bo加工零件A时停机的概率是0.3,加工零件A时停机的概率是 0.4

28、。求（1）该机床停机的概率；（2）若该机床已停机，求它是在加工零件A时发生停机的概率。解：设G, C2,表示机床在加工零件A或B, D表示机床停机（1）机床停机夫的概率为（2）机床停机时正加工零件 A的概率为三（8）、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5: 3: 2,各机床所加工的零件合格率依次为94%, 90% , 95%。现从加工好的整批零件中随机抽查一个，发现是废品，判断它是由 甲机床加工的概率。解设A1, A2, A3表示由甲乙丙三机床加工，B表示此产品为废品。（2分）则所求事件的概率为P(A |B)P(AJB)P(B)P(A)P(B|A)3P(A)P(B

29、| A)i 11 0.0620.5 0.06 0.3 0.10 0.2 0.05答：此废品是甲机床加工概率为 3/7(9)、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5%、15%、30%、50%,乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%、70%、60%、90%已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。(10 分)解：设Ai , A2 , A3, A4分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具,B表示误期到达。则 P(A2 | B)P(A2|B)P(A2)P(B|A2)0.15 0.3P(B) 4()P(A)P(B|Ai)i 10.05 0 0.15 0.3 0.

30、3 0.4 0.5 0.10.209答：此人乘坐火车的概率为0.209。(10)、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5%、15%、30%、50%,乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%、70%、60%、90%。求该人如期到达的概率。解：设A, M A3, A4分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示如期到达。4则 P(B)P(Ai)P(B|A)0.05 1 0.15 0.7 0.3 0.6 0.5 0.9 0.785i 1答：如期到达的概率为0.785。四(1)设随机变量X的概率密度函数为求(1) A；(2) X 的分布函数 F (x)；(3) P (0.5 X 2 )。1A 2 .1 Af (x)dx Axdx x |0 1(1/2X2) =F(2) F(1/2)=3/4四(2)、已知连续型随机变量X的概率密度为求(1) k ; (2)分布函数 F (x) ；(3) P (1.5 X 2.5)2k 22解：(1) f(x)dx 0(kx 1)dx (-x2 x)|0 2k 2 1k 1/2