线性代数B期末试卷及答案

1、第二学期线性代数B»试卷一二三四五六总分仔分、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）100 0，则A =1.设A2. A为n阶方阵，AAT = E且A 0,则A E :123.设方阵A 4 t3123 , B为三阶非零矩阵，且AB=O,则t14 .设向量组1, 2, , m线性无关，向量 不能由它们线性表示，则向量组 1, 2, m, 的秩为：5 .设A为实对称阵，且|A|w0,则二次型f =xTA x化为f =yTA-1 y的线 性变换是x=.T_6 .设 R3 的两组基为为 1,1,1 , a21,0, 1 , a31,0,1；1(1,2,1,)T,22,3,4 , 33,4

2、,3 ，则由基 212自到基 1, 2, 3的过渡矩阵为精品文档欢迎下载23.P1, P2,.单项选择题(共6小题，每小题3分，满分18分)1 .设Dn为n阶行列式，则Dn = 0的必要条件是.(A) Dn中有两行元素对应成比例；(B) Dn中各行元素之和为零；(C) Dn中有一行元素全为零；(D)以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解.2 .若向量组，线性无关，线性相关，则(A)必可由，线性表示；(B)必可由，线性表示；(C)必可由，线性表示；(D)必可由，线性表示.3 .设3阶方阵A有特征值0, -1, 1,其对应的特征向量为P3,令 P=(P1, P2, P3),则 P 1AP=.1

3、00000(A) 01 0 ;(B) 01 0 ;000001000100(C) 0 10 ;(D) 0 0 0 .00-100-14 .设a,吟03线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) 0C1, 02, 03- 0C1 ；(B) 00 , 0C1+ 02, 0C1+ 03；(C) 01 +02,02+03,0(3+ai ；(D)0(,1-02,02-0(3,03-Od.5 .若矩阵A3X4有一个3阶子式不为0,则A的秩R(A )=.(A) 1；(B)2;(C) 3;(D)4.6 f实二次型f = xTAx为正定的充分必要条件是.(A) A的特征值全大于零；(B) A的负惯性指数为零；(C

4、) |A| > 0 ；(D) R(A) = n .三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）1.求D1 h 01 1 匕b2011 b200100b3的值.1 b32 .求向量组 i (1,1,1,4), 2(2,1,3,5), 3 (1, 1,3,2), 4 (3,1,5,6)的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.00 ,若P=(见02,01 03 .设A、P均为3阶矩阵，且PTAP= 0 10 0Q = ( 0(1+02, 02, 03)，求 Q AQ .4 .设A是n阶实对称矩阵，A2 2A O ,若R(A) k (0 k n),求A 3E .23ai X3

5、ai ,23a2 X3a212323X3a?，23a4X3a4.(1)若ai, a2, a3, a4两两不等，问方程组是否有解，为什么？四、（本题满分i0分）对线性方程组XiXiXiXiaiX2a2X2a3X2a，X22 2 05.设矩阵A= 82 a相似于对角矩阵,求a00 6若aia3b, a2a,b (b 0),且已知方程的两个解i (1,1, 1)T,2 ( Ulf,试给出方程组的通解.五、(本题满分8分)设二次曲面方程axy 2xz2byz 1 (a 0)、b的值及正交矩x经正交变换y Q ,化成22 2 2 1 ,求az阵Q.六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵，a为A的对应于实

6、特征值人的特征向量，B为AT的对应于实特征值 小的特征向量，且 任内 证明a与0正交.2008 -2009学年第二学期线性代数 B试卷参考答案2009年6月22日一二三四五六总分得分、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）100 0、010 0m1 .设 A、则 A =200102 . A为n阶方阵，AAT = E且A 0,则A E 0.1 223.设方阵A4 t 3 , B为三阶非零矩阵，且AB=O ,则t 311-34.设向量组1, 2m线性无关，向量 不能由它们线性表示，则向量组1, 2, m, 的秩为m + 15 .设A为实对称阵，且|A|w0,则二次型f =xTA x化为f =

7、yTA-1 y的线性变换是x=A 1y.6 .设 R3的两组基为 ai1,1,1T, a21,0, 1, a31,0,1；1(1,2,1,)T 22,3,4, 33,4,3 ，则由基&色自到基 1, 2, 3,的过渡234矩阵P= 01 0 .101、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1 .设Dn为n阶行列式，则Dn=0的必要条件是D .（A） Dn中有两行元素对应成比例；（B） Dn中各行元素之和为零；（C）Dn中有一行元素全为零；（D）以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有 非零解.2 .若向量组，线性无关，线性相关，则C .（A）必可由，线性表示.（B）必可由，线性表示

8、.（C）必可由，线性表示.（D）必可由，线性表示.3 .设3阶方阵A有特征值0, 1, 1,其对应的特征向量为P1, P2,P3,令 P=(Pi, P2, P3),则 P 1AP= B .100000000100(A)01 0; (B)010; (C)010； (D)0 0 0.0 0 000100-10 0 -14 .设1,8线性无关，则下列向量组线性相关的是D .(A)0d,02,03 -0C1；(B)0C1, oa+02,01+ 0(3；(C) 0C1+02,02+ %, 03+a；(D)oa-o(2,e-03,g- 於.5 .若矩阵A3 4有一个3阶子式不为0,则C .(A)R(A)=

9、1; (B) R(A)=2; (C) R(A)=3; (D) R (A )=46 .实二次型f = xAx为正定的充分必要条件是A .（A） A的特征值全大于零；（B） A的负惯性指数为零;(C)|A| > 0 ；(D) R(A) = n.三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）1.求D解：D1 h1 1 b10100b21 b20b311 b31bl000 1b2001 1 b2b30 011t3的值1 b10 10 00 000b201b31 1 b311bl001b200100000 b311.2 .求向量组 i (1,1,1,4), 2(2,1,3,5), 3 (1, 1,

10、3,2), 4 (3,1,5,6)的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出解：极大无关组 1,2,32231,42 211 0 03 .设A、P均为3阶矩阵，且PTAP= 0 1 0 ,若0 0 0P=( 0C1, 02, 0(3),Q = ( 0(1+ 02, 02, 03)，求 Q AQ .解：由于1 0 01 0 0Q=( 0C1+ 02, 02, 03)= ( 0C1, 02, 03)1100 0 10 0 1于是QTAQ=T1 0 0P 1 1 00 0 11001A P110000101010010PTAP1100100110 0 10 00 10 1100 0 0

11、0 0 14.设A是n阶实对称矩阵,A2 2A 。，若 R(A) k (0 k n),求A 3E .解：由A2 2A O知，A的特征值-2或0,又R( A) k(0 kn),且A是2On阶实对称矩阵，则A2(k个-2),故0O0A 3E 3n k .2205.设矩阵A=82a相似于对角矩阵，求a.006解：由|A-汨=0 ,得A的三个特征值入='=6 , %= -2.由于A相似于对角矩阵，R (A-6E) =1 ,即84 a 0 0 a ,00 00 0 0显然，当a=0时,R (A-6E) =1, A的二重特征值6对应两个线性(本题满分10分)无关的特征向量.*2a X33a1，23

12、a2x2a2 X3a2.23a3x2a3x3a?,23a4x2a4x3a4.Xi对线性方程组x1XX1(1)若a1，a2, a3, a4两两不等，问方程组是否有解，为什么?若a1a3b, a2a,b (b 0),且已知方程的两个解1 (1,1, 1)T,2 ( 1,1,1)T,试给出方程组的通解.解：(1)因为a1a2a3a,2 a1 a； a；2 a,3a13 a?3a33 a,(a2 a1)(a3 a1)(a3 a2)(a, a1)(a4 a2)(a, a3)0,故 R(AMb)R(A),无解.(2) R(A)故通解x k(&a)11 , (k1五、（本题满分8分）设二次曲面的方程

13、axy2xz 2byz 1)a 0经正交变换，化成2求a、b的值及正交矩阵Q.解:时，(1, 1,2)T0, A2E1 0 12时，A 2E 0 110 0 012一 、-一1故正交阵Q 21.61-62-63 ( 1,1,11131国1V3六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵，a为A的对应于实 特征值人的特征向量，B为AT的对应于实特征值 小的特征向量，且 任内 证明a与0正交.证：依题意得A a=入a, AT田田将A a=入a的两边转置得，aTAT =晨, 在上式的两边右乘 B得，aTATB =入即 最由人亦即（的力aT芹0, 由于后国所以a f=0 ,故a与B正交.庄子云：“人生天地之间

14、，若白驹过隙，忽然而已。”是呀，春秋置换，日月交替，这从指尖悄然划过的时光，没有一点声响，没有一刻停留，仿佛眨眼的功夫，半生已过。人活在世上，就像暂时寄宿于尘世，当生命的列车驶到终点，情愿也罢，不情愿也罢，微笑也罢，苦笑也罢，都不得不向生命挥手作别。我们无法挽住时光的脚步，无法改变人生的宿命。但我们可以拿生活的画笔，把自己的人生涂抹成色彩靓丽的颜色。生命如此短暂，岂容随意挥霍！只有在该辛勤耕耘的时候播洒汗水，一程风雨后，人生的筐篓里才能装满硕果。就算是烟花划过天空，也要留下短暂的绚烂。只有让这仅有一次的生命丰盈充实，才不枉来尘世走一遭。雁过留声，人过留名，这一趟人生旅程，总该留下点儿什么！生活

15、是柴米油盐的平淡，也是行色匆匆的奔波。一粥一饭来之不易，一丝一缕物力维艰。前行的路上，有风也有雨。有时候，风雨扑面而来，打在脸上，很疼，可是，我们不能向生活低头认输，咬牙抹去脸上的雨水，还有泪水，甩开脚步，接着向前。我们需要呈现最好的自己给世界，需要许诺最好的生活给家人。所以，生活再累，不能后退。即使生活赐予我们一杯不加糖的苦咖啡，皱一皱眉头，也要饮下。人生是一场跋涉，也是一场选择。我们能抵达哪里，能看到什么样的风景，能成为什么样的人，都在于我们的选择。如果我们选择面朝大海，朝着阳光的方向挥手微笑，我们的世界必会收获一片春暖花开。如果我们选择小桥流水，在不动声色的日子里种篱修菊，我们的世界必会收获 一隅静谧恬淡。选择临风起舞，我们就是岁月的勇者；选择临阵脱逃，我们就是生活的懦夫。没有淌不过去的河，就看我