【公开课课件】7.1.2复数的几何意义课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

1、7.1.2 复数的几何意义复数的几何意义课前复习课前复习1、若复数若复数z=(m+1)+(m2-9)i0，则实数则实数m的值为的值为 . 2、已知关于已知关于x的方程的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根有实数根，求实数求实数m的值的值.3010902 mmmz，解得，解得，所以，所以解析：因为解析：因为解：设解：设a是原方程的实数根，则是原方程的实数根，则a2+(1-2i)a+(3m-i)=0， 即即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i， 所以所以a2+a+3m=0且且2a+1=0，1210321)21(212 mma，所以，所以且且所以所以追问、追问、请请回忆回忆“复

2、数相等复数相等”的的定义定义.复数复数a+bi与与c+di相等相等，当且仅当当且仅当a=c且且b=d.问题问题1、我们知道实数与数轴上的点一一对应，那么复数我们知道实数与数轴上的点一一对应，那么复数z=a+bi(a， bR)，是否可以与点，是否可以与点Z(a, b)一一对应？一一对应？一、引入复平面一、引入复平面 如图，点如图，点Z的横坐标是的横坐标是a，纵坐标是，纵坐标是b，复数，复数z=a+bi可以可以用点用点Z(a，b)表示表示. 这个建立了直角坐标系来表示复数的平这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做面叫做复平面复平面，x轴叫做轴叫做实轴实轴，y轴叫做轴叫做虚轴虚轴. 显然，实轴上显

3、然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.Z(a，b)z=a+bixyabO 因为任何一个复数因为任何一个复数z=a+bi都可以用一个有序实数对都可以用一个有序实数对(a，b)唯一确定，并唯一确定，并且任意给一个复数也可以唯一确定一个有序数对，所以复数且任意给一个复数也可以唯一确定一个有序数对，所以复数z=a+bi与有序数与有序数对对(a，b)是一是一 一对应的，而有序数对一对应的，而有序数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一与平面直角坐标系中的点是一 一一对应的，所以复数与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一对应的，所以

4、复数与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一 一对应的关系一对应的关系.一、引入复平面一、引入复平面一、引入复平面一、引入复平面误区：误区：复数复数z=a+bi(a， bR)在复平面内对应点的坐标为在复平面内对应点的坐标为(a，b)，而不是，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内虚轴上的单位长度是，也就是说，复平面内虚轴上的单位长度是1，而不是，而不是i. 实轴上的点都表示实数实轴上的点都表示实数；除了原点外，；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数虚轴上的点都表示纯虚数，象限内象限内的点都表示非纯虚数的点都表示非纯虚数.反之，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在反之，表示实数的点都在实轴上，

5、表示纯虚数的点都在虚轴上，表示非纯虚数的点都在象限内虚轴上，表示非纯虚数的点都在象限内. 例如，复平面内原点例如，复平面内原点(0,0)表示实数表示实数0，实轴上的点，实轴上的点(2,0)表示实数表示实数2，虚轴上的点，虚轴上的点(0,-1)表示纯虚数表示纯虚数-i，点，点(-2,3)表示表示复数复数-2+3i等等.Z(a，b)z=a+bixyabO 由复平面的引入过程我们知道，由复平面的引入过程我们知道，每个复数，有复平面内唯一的一个点和每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应.

6、 复数集复数集C中的数与复平面内的点建立了一中的数与复平面内的点建立了一 一对应的关系，即一对应的关系，即复数复数z=a+bi 复平面内的点复平面内的点Z(a，b)一一对应一一对应二、研究复平面的几何意义二、研究复平面的几何意义这是复数的一种几何意义这是复数的一种几何意义与点对应与点对应.注意：注意：(1) 复数的实质是有序数对；复数的实质是有序数对；(2) 复数复数z=a+bi(a， bR)中的中的z，书写时应小写；复平面，书写时应小写；复平面内点内点Z(a，b)中的中的Z，书写时要大写，书写时要大写.练习练习1、在复平面内，描出表示下列复数的点、在复平面内，描出表示下列复数的点(每个小正方

7、格的边长每个小正方格的边长为为1).(1) 2+5i；(2)3+2i；(3)24i；(4)35i；(5) 5；(6) 3i；yOxABCDEFO练习练习2、说出复平面内各点所表示的复数、说出复平面内各点所表示的复数 (每个小正方格的边长为每个小正方格的边长为1).xyABCDEFGH练习练习3、已知复数、已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i，在复平面内所对应的点位，在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数于第二象限，求实数m的取值范围的取值范围. 1223mmm或或得得)2 , 1()2, 3( m 020622mmmm解解：由由二、研究复平面的几何意义二、研究复平面的几何意义 在

8、平面直角坐标系中，每一个在平面直角坐标系中，每一个平面向量平面向量都可以用一个都可以用一个有序实数对有序实数对来表示，来表示，而有序数对和复数又是一一对应的而有序数对和复数又是一一对应的. .这样我们就可以用这样我们就可以用平面向量平面向量来表示复数来表示复数. .一一对应一一对应 如图，设复平面内的点如图，设复平面内的点Z表示复数表示复数z=a+bi，连接，连接OZ，显，显然向量然向量 OZ由点由点Z唯一确定；反过来，点唯一确定；反过来，点Z也可以由向量也可以由向量OZ唯一确定，因此，复数集唯一确定，因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点中的数与复平面内以原点为起点的向量也建立了一一对应

9、的关系的向量也建立了一一对应的关系(实数实数0与零向量对应与零向量对应)，即，即 为了方便起见，我们常把复数为了方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点说成点Z或说成向量或说成向量 OZ，并且规定，并且规定， 相等的向量表示同一个复数相等的向量表示同一个复数.与向量对应与向量对应如果如果b=0，那么，那么z=a+bi是一个是一个实数实数a，它的，它的模就模就等于等于它它的绝对值的绝对值|a|.向量向量 的模叫做复数的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值的模或绝对值，记作记作|z|或或|a+bi|.三、三、复数的模复数的模OZRbababiaz ,|22，其中，其中即即(1)|z|0，任意，任意两

10、个复数的模可以比较大小；两个复数的模可以比较大小；(2)复数的模的几何意义：复数复数的模的几何意义：复数z=a+bi的模的模|z|表示复数在平面内对表示复数在平面内对应的点应的点Z(a,b)到原点的距离到原点的距离. 类比向量的模可以作推广：类比向量的模可以作推广：|z1-z2|表示表示点点Z1和点和点Z2之间的距离；之间的距离；(3)复数的模，复数在复平面内对应的点到原点的距离，复数所对复数的模，复数在复平面内对应的点到原点的距离，复数所对应向量的模，这三者是相等的应向量的模，这三者是相等的.注意：注意：实数实数a在数轴上所对应的点在数轴上所对应的点A到原点到原点O的距离的距离.实数绝对值的

11、几何意义实数绝对值的几何意义:复数的模其实是实数绝对值概念的推广复数的模其实是实数绝对值概念的推广xOAa|a| = |OA|a aa a(0)(0) xOz=a+biy复数复数 z=a+bi在复平面上对应的在复平面上对应的点点Z(a,b)到原点的距离到原点的距离.复数的模复数的模的几何意义的几何意义:Z(a,b)22|baOZz 解解：(1)复数复数z1，z2对应对应的点分别为的点分别为Z1，Z2，对应对应向量分别为向量分别为 ， .例例1、设复数、设复数z1=4+3i，z2=4-3i.(1)在复平面内画出复数在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量；对应的点和向量；(2)求复数求复数z1

12、，z2的模，并比较它们的模的大小的模，并比较它们的模的大小.共轭复数共轭复数四、应用举例四、应用举例1OZ2OZ534|34| )2(221 iz5)3(4|34|222 iz|21zz 思考：思考：设设z=a+bi (a,bR ),那么那么复数复数z=a+bi的共轭复数记作的共轭复数记作任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数.biazz ，即，即? zza2? zzbi2? zz22ba 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做复数叫做互为共轭复数互为共轭复数.虚部不等于虚部不等于0

13、的两个共轭复数也叫做的两个共轭复数也叫做共轭虚数共轭虚数.五、共轭复数五、共轭复数特别地，实数特别地，实数a的共轭复数仍是的共轭复数仍是a本身本身 互为共轭的两个复数在复平面内所对应的互为共轭的两个复数在复平面内所对应的点关于点关于实轴对称实轴对称. 特别地，实数和它的共轭复数特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.P(a,b)xyQ(a,-b)O 设复数设复数z=a+bi(a,bR )在复平面内所对应的点为在复平面内所对应的点为P(a,b)，z=a-bi 在复平面内对应的点为在复平面内对应的点为Q(a,-b)，如图所示，它们关于实轴

14、对称，如图所示，它们关于实轴对称.共轭复数的几何意义共轭复数的几何意义已知复数已知复数x2+x-2+(x2-3x+2)i是是4-20i的共轭复数，求的共轭复数，求实数实数x的值的值 解解: 因为因为4-20i的共轭复数是的共轭复数是4+20i，根据复数相等的定义，可得根据复数相等的定义，可得 .2023 , 4222xxxx 6323xxxx或或或或解得解得3 x所以所以练习练习例例2、设复数、设复数zC，在复平面内复数，在复平面内复数z对应的点为对应的点为Z，那么满足下列，那么满足下列条件的点条件的点Z的集合是什么图形？的集合是什么图形？(1)|z|=1； (2)1|z|2.解解：(1)以原

15、点为圆心以原点为圆心，1为半径的圆为半径的圆.(2)以原点为圆心以原点为圆心，1为半径为半径和和2为半径的为半径的两个圆所夹的圆环，不包括圆环的边界两个圆所夹的圆环，不包括圆环的边界.三、应用举例三、应用举例P73页练习页练习66、当实数当实数m取什么值时，复平面内表示复数取什么值时，复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点分别满足下列条件？的点分别满足下列条件？(1)位于第四象限位于第四象限(2)位于第一象限或第三象限；位于第一象限或第三象限；(3)位于直线位于直线y=x上上.解析：解析：1、由复数的几何意义，得由复数的几何意义，得 ， ，所以所以 ，所以，所以

16、对应的复数为对应的复数为0.课后练习课后练习题型二复数、共轭复数与复平面内的向量的关系题型二复数、共轭复数与复平面内的向量的关系1、向量向量 对应的复数是对应的复数是54i，向量，向量 对应的复数是对应的复数是54i，则则 对应的复数是对应的复数是()A.108i B.108i C.0D.108i1OZ2OZ21OZOZ C)4, 5(1 OZ)4 , 5(2 OZ)0 , 0()4 , 5()4, 5(21 OZOZ21OZOZ 解析：解析：2、由复数的几何意义，得、由复数的几何意义，得 ， ， .所以所以 对应的复数是对应的复数是55i.2、设设O是原点，向量是原点，向量 对应的复数分别为对应的复数分别为23i，32i，那，那么向量么向量 对应的复数是对应的复数是()A.55iB.55iC.55iD.55iOBOA，BAD)3, 2( OA)2 , 3( OB)5, 5()2 , 3()3, 2( OBOABABAA课后练习课后练习3、在复平面内，若复数在复平面内，若复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，对应的点在虚轴上，则则