高三数学(理科)综合内切球和外接球问题(附习题)

1、高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为解析：球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27n.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24,则该球的体积为4J3n.2、求长方体的外接球的有关问题例3（2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶

2、点上的三条棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为解析：体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为V14,故球的表面积为1型.例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为(C )A. 16二B. 20C. 24;D. 32解析：长、宽、高分别为2,2,43.求多面体的外接球的有关问题例5.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同91I x - - ,2_ h k、/3.一个球面上，且该六棱柱的体积为8,底面周长为3,则这个球的体积为6x=3,9.326xh,解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有54rd至，正六棱柱的底面圆的半径2

3、,球心到底面的距离2.外接球的半径R二r2d2=122.2小结本题是运用公式R=r+d求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式二、构造法（补形法）1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为J3,则其外接球的表面积是解把这个三棱锥可以补成一个棱长为J3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.24 .故表面积S = 4江R = 9江(2R)2=(百2+(6)2+M3s=9R2.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直222径.设其外接球的半径为R,则有2R=V

4、a+b+c.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。例6.一个四面体的所有棱长都为J2,四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A.3二b.4二C.3.3二口.6-解析：联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2,四面体满足条件，由此可求得正方体的棱长为1,体对角线为J3,从而外接球的直径也为3例7（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,/DAB=600,E为AB的中点，将MDE与ABEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P,则三棱车BP-DCE的外接球的体积为（C）.C. 8D. 244.3.6nnA.27b.2解析

5、：（如图3）,即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，这与例6AD=AE=EB=BC=DC=DE=CE=1就完全相同了DA _L 平面 ABC例8（2008年浙江高考题）已知球。的面上四点A、B、C、D,AB_LBC,DA=AB=BC=石，则球。的体积等于解析：DA=AB=BC=百,则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利971用直角三角形解出CD=3.故球0的体积等于2.（如图4）2、构造长方体例9.已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB_L平面BCD,BC_LDC,若AB=6,AC=2而,AD=8则球的体积是.解析：构造下面的长方体，于是AD为球的直径（如图5）D三.寻求轴截面圆半

6、径法例4正四棱锥S - ABCD的底面边长和各侧棱长都为 "点、S在同一球面上，则此球的体积为A B、C、D 都解球心。必在SO所在的直线上.AASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在 AASC 中，由 SA = SC = >/2, AC =2,得3 2 2 AC 2AASC是以AC为斜边的RtAAC12是外接圆的半径，也是外接球的半径4 二球=.故 3五.确定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB = 4,BC = 3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为（C ）125125125125nnnnA.

7、12B. 9C. 6D. 3解 点O到四面体的四个顶点 A、B、C、D的距离相等，即点。为-54 3 125R=OA=- V 球=-n R3 =n四面体的外接球的球心，2 .故36P【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球°的球面上,好3C日以=7 *5JzzL?PC=而,AC=I口，求球。的体积。解：+回,=10，所以知=+所以户W户CcR=-AC=5取斜边的中点°,即为该四面体的外接球的球心上500开所以该外接球的体积为1的球面上，其中底面的三个顶点1 .（陕西理？6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（A. 3-2B4答案 B3 4.

8、3722 .直三柱ABC-AB1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2,NBAC=120）则此球的表面积等于解:在AABC中AB=AC=2,/BAC=120',可得BC=2j3,由正弦定理，可得AABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O',球心为O,在RTAOBO'中，易得球半径R=J5,2故此球的表面积为4二R=20二.3 .正三棱柱ABC-AB1c1内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为冗，则正三棱柱的体积为.答案84 .表面积为2J3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为2Ji32、2ji3答案A【解析】此正八面体是每个面的边长均为

9、a的正三角形，所以由、.3a2-8x- 二 26知,4a=1,则此球的直径为J2,故选A。325 .已知正方体外接球的体积是32n，那么正方体的棱长等于（A.2 2B.234.3D.3答案 D6. （ 2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为A. 1 ： ，.3C. 1 ： 3 . 3D. 1 ： 93答案C7. （2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为答案底面周长为3,则这个球的体积为38. （2007天津理？12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则

10、此球的表面积为答案14九2 cm的球面上。如果正四9. （2007全国H理？15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为棱柱的底面边长为 1 cm,那么该棱柱的表面积为cm2.答案 2 - 4、.-210. （2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF ,则此正六棱锥的侧面积是PIIA答案 6.711. （辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形（正四面体的截面）的面积是 答案 212. （2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ）A.C.3 二16二D.以上都不对may13.（吉林省吉林市2008届上期末）设正方体的棱长为芈3,则它的外接球的表面积为（8A . 一冗3答案CB. 2兀C. 4兀