教程案例物理

1、1机机 械械 振振 动动普通物理教案普通物理教案普通物理教案2第五章第五章 机 械 振 动5.1 简谐振动的描述简谐振动的描述 一、简谐振动的解析表示一、简谐振动的解析表示 振幅、相位和频率振幅、相位和频率 简谐振动是一种最简单、最基本的振动形式。复杂的振动可分解为许多不同频率的简谐振动，而许多不同频率的简谐振动也可叠加为复杂振动。 弹簧振子的振动是简谐振动的一种理想模型。简谐振动的数学关系式有余弦或正弦形式：cos()xAt普通物理教案普通物理教案普通物理教案3mmmx0 x1x2A 振幅物体的最大位移； 初相决定物体初始时刻的位移； )(t 相位决 定 任意时刻物体的位移。初相和相位也能决

2、定初始或任意时刻物体的速度、加速度。称为角频率，它与频率的关系为： ()2ttcos()xAt普通物理教案普通物理教案普通物理教案4sin()dxAtdtv（2）222cos()d xaAtdt（3）普通物理教案普通物理教案普通物理教案对振动方程求导，可得速度和加速度：物体做一次完整的振动，余弦宗量 将增加2，因 、为常数，因而： ，物体做一次完整振动的时间称为周期: )(t21/2/T 25比较（1）式和（3）可得： 如果一个物体做简谐振动，它的加速度和位移成正比，但方向相反。2ax 二、简谐振动的振幅矢量图示法二、简谐振动的振幅矢量图示法 为了帮助理解，简谐振动方程可用简单的几何图示来说明

3、；如旋转矢量法或称参考圆表示法：如下图所示，参考点Q以o为圆心，A为半径，做逆时针匀速圆周运动,角速度为。初始时刻（t=0）位置矢量oQ与x轴的夹角为，任意时刻t，oQ与x轴的夹角为 ，此时Q点在x轴的投影相当于（1）式所表示的简谐振动方程。)(t普通物理教案普通物理教案普通物理教案6xyQ(t)Qt+xx0ot=0普通物理教案普通物理教案普通物理教案7x相位的超前与落后：研究两个振动的迭加时，相位差起决定作用，设有两个同频率的振动： 和 两者的相位差为：)cos(111tAx)cos(222tAx普通物理教案普通物理教案普通物理教案xQ(t)t+o amaQ(t)t+ovmvyy82121(

4、)()tt 当 时，两振动同相位；), 2 , 1 , 0(2kk当 时，两振动反相位；), 2 , 1 , 0() 12(kk当 ，这时说x2比x1超前900，也可说x1比 x2 落后900。将振动位移、速度、加速度比较，速度比位移超前/2，加速度比速度移超前/2。2/普通物理教案普通物理教案普通物理教案9xvattT/4T/4T/4T/2T/2T/23T/43T/4TTT3T/4t-A-A-A2ooo如把位移、速度、加速度都用余弦形式表达，设=0则： cos()xAtcos(/2)Atv2cos()aAt可见速度的最大值比位移的最大值早1/4周期，加速度的最大值比速度最大值早1/4周期。普

5、通物理教案普通物理教案普通物理教案10普通物理教案普通物理教案普通物理教案 解解: 由已知条件可画出该谐振动在t0时刻的旋转矢量位置，如图所示：由图可以看出3231所以该物体的振动方程为:20.10cos(2)3txTt=o-52/3ot1t2X 一物体沿X轴作简谐振动。其振幅A10cm，周期 T2s，t0时物体的位移为x05cm，且向 X 轴负方向运动。试求：（l）t 0.5s时物体的位移；（2）何时物体第一次运动到 x5cm处；（3）再经过多少时间物体第二次运动到 x5cm处。例题111（l）将 T2s，代入振动方程可得 t 0.5s 时质点的位移为:)(087. 0)322cos(10.

6、 0mx（2）当物体第一次运动到 x5cm处时，旋转矢量转过的角度为，如图所示，所以有 sTtt12111即（3）当物体第二次运动到x5cm处时，旋转矢量又转过2 /3，如图所示，所以有sTtttt32313232)(12即普通物理教案普通物理教案普通物理教案t=o-52/3ot1t2X125.2 简谐振动的动力学表述简谐振动的动力学表述一、弹簧振子的运动微分方程及其解一、弹簧振子的运动微分方程及其解 在弹簧振子系统中，物体受弹性力为：Fkx 按牛顿第二定律，得：22d xFkxmamdt 或 ：22()d xkxdtm 普通物理教案普通物理教案普通物理教案mx0 xFo13上述方程的解有三种

7、形式：titiBeAextAxtBtAx)cos(sincos其中 mk选用的通解形式为： cos()xAt上式中当t=0时， cos0Ax sin0Av由此可求得：2200Axv00arctanxv普通物理教案普通物理教案普通物理教案14 水面上浮沉的木块可看作简谐振动吗？如果所示，周期为多少？解：解：木块偏离平衡位置距离为x 时，所受浮力与重力之差为：Sgxf水普通物理教案普通物理教案普通物理教案xSf例题2152mTSg水此力相当于弹性系数k 为 的准弹性力，木块受一相当于弹性恢复力的作用，因而是简谐振动，其周期为：Sg水普通物理教案普通物理教案普通物理教案16二、谐振动的能量二、谐振动

8、的能量 设弹簧振子的物体位移为x，速度为v，系统的弹性势能和动能分别为：)(cos2121222tkAkxEp)(sin21)(sin2121222222tkAtAmmEkv上式中我们利用了公式 ，系统的总机械能为：mk /2222111222EkxmkAv普通物理教案普通物理教案普通物理教案17系统的势能和动能的总量守恒，而系统的势能和动能的总量守恒，而且总能量与振幅的平方成正比。且总能量与振幅的平方成正比。弹簧振子的能量曲线图： 物体在平衡位置附近振动时，物体在平衡位置时，势能为零，动能最大，物体通过平衡位置，动能逐渐减小，势能逐渐增大，动能为零时，势能最大，物体静止。然后物体往回运动。物

9、体在周而复始的运动中，总能量保持不变。普通物理教案普通物理教案普通物理教案EEPEPEkxA-Aox18 弹性系数为k，质量为M的弹簧振子，静止的放在光滑的水平面上，一质量为m的子弹以水平速度v1射入M中，与之一起运动。选M、m开始共同运动的时刻t=0,求固有的角频率、振幅和初相位？解：解：碰撞后振子的质量为M+m，固有的角频率为：MxFov1mMk0有碰撞过程的动 量守恒，得碰撞后的初速度为：普通物理教案普通物理教案普通物理教案例题319mMm10vv这里v1和v0都是负值，初始动能 ，在最大位移处全部转化为弹性势能，由此得 12()Mm20v212kA120)(vvmMkmkmMA在t =

10、 0时刻，有：)2(0sin) 1 (0cos0000vvAAx有(1)式得： ，再有(2)判断2/02/0普通物理教案普通物理教案普通物理教案20 质量为M的物块A在离平板为h的高度处自由下落，落在质量也是M的平板B上，平板B与一弹簧相连并处于平衡态，如图所示，已知轻质弹簧的劲度系数为K，物体与平板为完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量。普通物理教案普通物理教案普通物理教案解：解：设弹簧的最大压缩量为x，开始时弹簧已被压缩了x0，则mBg = Kx0，x0 = Mg/K 物块A自由下落，机械能守恒， gh2AvA与B完全非弹性碰撞，动量守恒， hAB例题421A与B一起压缩弹簧，机械能守

11、恒： 2020BA2BA2121)()()(21KxKxxxgmmVmm03422hKMgKMgxKMgx解得 ：22MgMgMgxhKKK（负号舍去，因必须有x x0） 普通物理教案普通物理教案普通物理教案mAvA = (mA+mB)V，V = vA/2 作业作业:5-2、5-6、5-10、5-18、5-19、5-24225.3 几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动1.单摆 GsinGcosGTlo普通物理教案普通物理教案普通物理教案23单摆所受的重力的切向分力： sinmg单摆小球的切向加速度： )/(22dtdla由牛顿第二定律：22sindtdmlmgGsinGcosGTlo当 很小时

12、， sin222lgdtd普通物理教案普通物理教案普通物理教案24可得：振动方程为 cos()mt其中 /g l2.复摆（物理摆） loMC普通物理教案普通物理教案普通物理教案25一个可绕水平轴摆动的刚体构成的物理摆。选如图O为支点，则sinlmgM2mlJJCloMC运动方程为： 22dMJdt即： 0sin22mgJldtd普通物理教案普通物理教案普通物理教案26振动方程： cos()mt其中： mglJ对于单摆 ,2mlJ 代入即可得单摆的表达式。3.扭摆 扭转力矩和运动方程分别为：普通物理教案普通物理教案普通物理教案kM22dtdJM27由以上两式可得：Jkdtd22可知其振动的角频率

13、为 kJ扭摆的周期为： 2TJ k已知k，再测得T可决定转动惯量。 普通物理教案普通物理教案普通物理教案28稳定平衡附近的运动：EPxooFx在许多系统中，回复力包含非线性项，势能曲线如图所示：在图中稳定平衡点o点，x=0处，势能有极小值：2002()0,()0ppdEd Edxdx与势能相应的作用力为： ( )pdEF xdx 普通物理教案普通物理教案普通物理教案29在x=0附近，F(x)-x曲线如图所示。在原点附近对F(x)做泰勒级数展开，得：220021( )(0)()()2dFd FF xFxxdxdx有平衡位置的极值条件，可知：2200022(0)0()()0,()ppd Ed Ed

14、FFkdxdxdx 令在x较小，可略去二阶以上项：( )F xkx 普通物理教案普通物理教案普通物理教案30物体在回复力作用下，在稳定平衡位置附近的运动，可近似看作简谐震动。对于单摆：所受的重力势能为：)cos1 ( mglEp)(sin1lddxmgddEldxdEpp22cospd Emgdxl有以上两式可知，当 220,0,0ppdEd Edxdx普通物理教案普通物理教案普通物理教案31可见o点是稳定平衡位置，在平衡位置附近，sinpdEFmgdx 普通物理教案普通物理教案普通物理教案32 半径为r的实心小球，在半径为R 的半球形大碗内做纯滚动。如小球来回滚动所对应的角度 很小，求它的周

15、期。Rro解：解：设角位移为 时ramrfrmamgfcc52sin2解得： )75(sin)75(ggac例题533小球绕碗球面中心o做圆周运动的角加速度为：)(7522rRgrRadtdc小球来回滚动， 很小时近似为简谐振动，角频率为：)(75rRg 周期 ：grRT5)(722普通物理教案普通物理教案普通物理教案34在某些双原子分子中，两原子间的相互作用力可以用 表示，其中a与b均为正的常数，而r为两原子间隔的距离。图中表示了F随r的变化曲线。（1）证明在平衡时原子间距为a/b；（2）证明原子在平衡位置附近的微 振动是简谐振动，劲度系数为a4/b3;（3）试求振动的周期。Fror0=b/

16、a解:（1）原子在平衡位置受力为零，故:23abFrr 普通物理教案普通物理教案普通物理教案例题635032rbra所以平衡时原子间距为:0bra (2)设原子在平衡位置附近位移为x，所受到的力F可展开为幂级数:22200)(21)()0()(xdrFdxdrdFFxFrrrr式中 xr- r0，F(0)为原子在平衡位置所受的力，故 F(0) 0。若忽略二阶及二阶以上的微小量，则有：xdrdFxFrr0)()(普通物理教案普通物理教案普通物理教案363443)32()(0barbradrdFabrrr故：kxxbaF34所以，原子在平衡位置附近的振动为谐振动，且劲度系数为43akb（3）分子中

17、原子的振动周期为：3422mbTmka普通物理教案普通物理教案普通物理教案37 质量为M 的水银，装在U型管中，管截面为S，若使管中水银面相差2y0，水银上下振动，忽略摩擦。 证明： 此振动为谐振动；求振动周期写出振动方程。(设t=0,左液面位移最大)解题方法一解题方法一 动力学方法动力学方法普通物理教案普通物理教案普通物理教案例题738图形分析:t=0时刻位移y0t时刻位移y普通物理教案普通物理教案普通物理教案39由动力学知(参见上页图形分析):222dtydmysgF) 1 (222 mysgdtyd角频率 : 2sgmsgmT22初相: 00,00tyyv (参见上页图形分析)谐振动方程

18、: 0cosyyt普通物理教案普通物理教案普通物理教案40解题方法二解题方法二 能量法能量法选平衡位置势能为零, 左液面升高 y 时,右液面下降 y , 液体总势能增加： 222)21(21sgysgysgy液体势能： 2sgyEp与 221kyEp相比，得 sgk2msg20cosyyt证明物体作谐振动.普通物理教案普通物理教案普通物理教案415.4 阻尼振动阻尼振动一、运动方程及其解一、运动方程及其解物体在流体（气体或液体）中受到摩擦阻力时的振动。如速度不太大时，其阻力满足：dxfbbdt v振子受到弹性力和阻力作用下，应用牛顿定理得：22d xdxmkxbdtdt 22()()d xb

19、dxkxdtm dtm 普通物理教案普通物理教案普通物理教案42上述阻尼振动的方程的解为：cos()txAet上式中为阻尼系数阻尼系数，为阻尼振动的角频率：2bm220()2bm0kmxtx0=A0A =A0e t如图：为物体在离开平衡位置为x0处由静止释放，它的位移随时间的变化曲线。虚线为振幅随时间的衰减曲线。 teAA0普通物理教案普通物理教案普通物理教案43由于振动能量与振幅的平方成正比：20tEE e为表征能量衰减的快慢。引进时间常数时间常数：它等于振动能量减为原来的1/e所需的时间：12mbb越小，振动能量衰减越慢。系统振动次数越多。讨论阻尼振动的频率问题：普通物理教案普通物理教案普

20、通物理教案/0tEE e44当 时，称为欠阻尼状态，此时振子做振幅逐渐衰减的振动。mb 2/0当 时，称为过阻尼状态，此时振子不能振动，需要很长时间才能回到平衡位置。mb 2/0当 时，称为临界阻尼状态，此时振子在较短的时间内回到平衡位置，但不再振动。 mb 2/0 xt临界阻尼过阻尼欠阻尼普通物理教案普通物理教案普通物理教案45在不同的阻尼情况下，灵敏电流计的指针可绕平衡位置（读数）做上述三种之一的运动。为尽快得到读数，欠阻尼与过阻尼都是不可取的。这时需要调整电路参量，使电流计处于临界阻尼状态。二、品质因素二、品质因素为描述弱阻尼振动所受阻尼大小引入品质因素（Q）2EQEQ为一个周期内能量的

21、相对衰减率。Q值高，表示能量损耗小。普通物理教案普通物理教案普通物理教案46由于：,TdtdEE 由：20tEE e可得：ETE2代入Q的表达式，得：12222QTT/T表示阻尼振动能量衰减为1/e以前所能正动的次数，Q值表示经过这么多振动次数所对应的相位变化。例：根据地震波的传播可得品质因素，1976年4月唐山地震，震前Q平均=666；震后Q平均=180，表明震后岩石破碎，地震波衰减增大。普通物理教案普通物理教案普通物理教案47 如图为测量液体阻尼系数的装置简图，将一质量为m 的物体挂在弹簧上，在空气中测量得振动的频率为1，置于液体中测得的频率为2，求此系统的阻尼因数解：解：物体在空气中振动

22、时，可近似为无阻尼自由振动，其振动频率为：mk21201物体在液体中，由于阻尼作用，周期增大了，在阻尼较小的情况下：220普通物理教案普通物理教案普通物理教案例题848故此时物体的振动频率为：22212220220244)2(22由此得到：2222124() 5.5 受迫振动受迫振动 共振共振由于阻尼的存在，要维持等幅振动，需加一周期性的驱动力，此时的振动称为受迫振动。驱动力的形式： 0cosFFt普通物理教案普通物理教案普通物理教案49现在物体受三种力的作用，即： 弹性力= kx阻力 =dtdxb驱动力= tFcos0牛顿运动定律为：202cosd xdxmkxbFtdtdt 在上式中除m，

23、并令 20/k m2/b m便有方程： tmFxdtdxdtxdcos202022普通物理教案普通物理教案普通物理教案50上式的解可分为两项： Fdxxx上式第一项，包含一个衰减因子，在足够长的时间内变为零，我们感兴趣的是第二项，称为稳态解：)cos(tAx)2cos(4)(/2022222020arctgtmFx上式中，振幅与初相位都与驱动力的频率有关，当为某一适当值时，振幅A将出现一个峰值。这一现象称为共振，此频率称为共振频率。 普通物理教案普通物理教案普通物理教案51当阻尼为零 时， )0( 时发生共振，此时A 。 0A0无阻尼过阻尼当阻尼不为零 时， )0(将振幅A对 求导：得：220

24、2共振现讨论受迫振动速度与驱动力频率的关系：对振动方程求导：普通物理教案普通物理教案普通物理教案52)2/cos()sin(tAtAv速度的振幅为：222202004)(/mFAv或 22202004)(/mFAv普通物理教案普通物理教案普通物理教案53可见，速度v0也随发生变化，= 0时，速度振幅v0最大，同时系统动能也最大，亦即，上述共振点也是能量共振点。不同频率的振动可能激起人体不同部位的共振： 人体的共振频率人体的共振频率部 位共振频率/Hz胸-腹36头-颈-肩2030眼球6090下颚-头盖骨100200普通物理教案普通物理教案普通物理教案54普通物理教案普通物理教案普通物理教案5.6

25、 振动的合成振动的合成一、同方向同频率简谐振动的合成一、同方向同频率简谐振动的合成 设物体沿x轴同时参与两个独立振动：)cos(111tAx)cos(222tAx则合振动为：)cos()cos(221121tAtAxxx合成后仍然为简谐振动：cos()xAt55其中合振幅和初相可从矢量图求出：21AA1A2xxx1x2221212212cos()AAAA A11221122sinsincoscosAAarctgAA讨论： x1和x2同相，即 ), 2, 1, 0(212mm时，则； 普通物理教案普通物理教案普通物理教案56A=A1+A2当A1=A2时，合振幅为分振幅的两倍，能量为4倍。 x1和

26、x2反相，即 ), 2, 1, 0() 12(12mm时，则A=A1-A2 当 A1=A2 时，合振幅为零，能量也最小。对于多个振动矢量的合成，我们同样可用旋转矢量法迭加而得：普通物理教案普通物理教案普通物理教案57xxxoootttx1x2x2x12110202)(AAAka211020) 12()(AAAkb任意角度)(c普通物理教案普通物理教案普通物理教案58 N个同方向，同频率的简谐振动，他们的振幅相等，初相分别为0、2 振动表达式为：a2a1APMQCOxNa3a4a5taxcos1)cos(2tax)2cos(3tax) 1(cosNtaxN求他们的合振动的振幅和初相。普通物理教案

27、普通物理教案普通物理教案例题959解：解：如图所示，在图中做a1、a2 的垂线，两线相交于C点，则C点顶角为，所以 a2a1APMQCOxNa3a4a5NOCM ，又令 RQCPCOC得： ,OCCMR从等腰三角形OCM，可得：2sin2NRA 在三角形OCP中： 2sin2Ra 普通物理教案普通物理教案普通物理教案60于是可得； 2sin2sinNaA 又因为： )(21NCOM)(21COP所以： 21NCOMCOP最终合振动的表达式为： sin12cos()cos()2sin2NNxAtat普通物理教案普通物理教案普通物理教案61如果各分振动的初相相同；即=0，于是有：0sin2lim0

28、sin2NAaNa普通物理教案普通物理教案普通物理教案 一手电筒和屏幕的质量均为m，用倔强系数相同的弹簧悬挂在同一水平面上。当平衡时，手电光恰好照在屏幕的中心已知屏和手电筒相对于地面的上下振动表达式分别为：)cos()cos(2211tAxtAx例题1062问若要求:（1）在屏上的光点相对于屏静止不动；（2）在屏上的光点相对于屏作振幅A2A的振动，则初位相1、2应满足什么条件？用何方式起动，方能得到上述结果？ox 解：解：根据相对运动公式，有:屏对地光对屏光对地xxx有题意：)cos()cos(1122tAxxtAxx屏对地光对地普通物理教案普通物理教案普通物理教案63所以：) 1 (2sin

29、)2sin(2)cos()cos(12121212tAtAtAxxx光对屏（1）要求光点相对于屏不动，即：x光对屏=0，由式（1）可知：211202sin即（2）当光点相对于屏的振幅为2A时，由（1）式得：2112, 12sin所以普通物理教案普通物理教案普通物理教案64 可见，要使光点相对于屏不动，则要求1=2，即手电筒和屏的振动始终要同步（同位相），为此，把它们往下拉A位移后，同时释放即可；同理，要使光点对屏有2A振幅。两者必须位相相反，为此。让手电筒位于平衡点O上方（-A）处，而屏则位于（+A）处，同时释放，即可实现。二、同方向不同频率的两简谐振动的合成二、同方向不同频率的两简谐振动的合

30、成 拍拍 设两振动方程为：111cos()xAt222cos()xAt两者的合振动为：普通物理教案普通物理教案普通物理教案6521xxx)cos(11tA)cos(22tA为简单起见：设 021aAA则：21212 cos() cos()22xatt上式中第一项 taA)2cos(212可看作随时间变化的振幅。普通物理教案普通物理教案普通物理教案66上式表明，两个频率相近的简谐振动合成时，合振动的振幅已不再保持恒定，而是做缓慢的周期性改变，合振幅的这种周期性的变化称为“拍”。单位时间内振幅强弱的变化次数称为“拍频”相当于：1)2cos(12t其中拍频为： 212122拍普通物理教案普通物理教案

31、普通物理教案67x1x2xttt减弱减弱加强普通物理教案普通物理教案普通物理教案68三、相互垂直的简谐振动的合成三、相互垂直的简谐振动的合成两个振动分别在x、y方向上进行，则位移方程分别为：11cos()xAt22cos()yAt此合成振动的振幅应限制在2A1和2A2的矩形内，在直角坐标系中的轨迹方程因为：22212122212122cos()sin ()xyxyAAA A普通物理教案普通物理教案普通物理教案69证明：111sinsincoscosttAx 222sinsincoscosttAy 以 和 分别乘两式，然后相减，得：2cos1cos)sin(sincoscos121221tAyAx普通物理教案普通物理教案普通物理教案70以 和 分别乘两式，然后相减，得：2sin1sin)sin(cossinsin121221tAyAx两式平方后相加，得：22212122212122cos()sin ()xyxyAAA A证毕 普通物理教案普通物理教案普通物理教案71讨论：讨