课堂导学222反证法

1、课堂导学三点剖析一,用反证法证明数学中的基本命题【例1】 求证:质数有无穷多.证明:如果质数的个数有限，那么我们可以将全体质数列举如下：p1，p2，pk，令q=p1p2pk+1.q总是有质因数的，但我们可证明任何一个pi（1ik）都除不尽q.假若不然，由pi除尽q,及pi除尽p1p2pk可得到pi除尽（q-p1p2pk），即pi除尽1,这是不可能的.故任何一个pi都除不尽q.这说明q有不同于p1，p2,pk的质因数.这与只有p1，p2，pk是全体质数的假定相矛盾.所以质数有无穷多.温馨提示 用反证法证明结论是B的命题，其思路是：假定B不成立，则B的反面成立，然后从B的反面成立的假定出发，利用一

2、些公理、定理、定义等作出一系列正确的推理，最后推出矛盾的结果，若同时承认这个结果与题设条件，则与学过的公理、定理或定义矛盾，这矛盾只能来自“B的反面成立”这个假设，因此B必定成立.可见反证法的步骤是：否定结论推出矛盾否定假设肯定结论，其中推出矛盾是证明的关键.二,某些数学问题的证明可用反证法【例2】 已知a、b、c(0,1),求证：（1-a）b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于v.证明一:假设三式同时大于，即（1-a）b>,(1-b)c>,(1-c)a>,三式相乘，得：（1-a）a·(1-b)b·(1-c)c>.又(1-a)a()2=.同理，（

3、1-b）b，(1-c)c.以上三式相乘得（1-a）a(1-b)b(1-c)c，这与(1-a)a(1-b)b(1-c)c>矛盾，故结论得证.证明二:假设三式同时大于.0<a<1，1-a>0.同理，.三式相加得>,矛盾，原命题成立.温馨提示 与原命题相反的判断，如“是”的反面是“不是”，“有”的反面是“没有”，“等”的反面是“不等”，“成立”的反面是“不成立”，“有限”的反面是“无限”，以上这些都是相互否定的字眼，较容易找.应注意以下的否定：“都是”的反面为“不都是”，即“至少有一个不是”（不是“都不是”）；“都有”的反面为“不都有”，即“至少一个没有”（不是“都没有

4、”）；“都不是”的反面为“部分是或全部是”，即“至少有一个是”（不是“都是”）；“都没有”的反面为“部分有或全部有”，即“至少一个有”（不是“都有”）.三,综合应用【例3】 已知平面M内有两相交直线a,b(交点为P)和平面N平行.求证:平面M平面N.证明:假设平面M不平行平面N,则M和N一定相交,设交线为c.a平面N,ac.同理bc.则过c外一点P有两条直线与c平行.这与公理“过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾.所以假设不成立.所以平面M平面N.温馨提示 本结论是空间两平面平行的判定定理,推出的矛盾与几何公理相矛盾.各个击破类题演练 1 证明:1,2不能为同一等差数列的三项.证

5、明:假设1,2为某一等差数列的三项,设这一等差数列的公差为d,则1=-md,2=+nd.其中m,n为某两个正整数,由上面两式消去d,得2m+n=(m+n),因为n+2m为有理数,而(m+n)为无理数,所以n+2m(n+m),因此假设不成立,即1,2不能为同一等差数列的三项.变式提升 1 a、b是平面内的两条直线，求证：它们最多有一个交点.证明:假设直线a、b至少有两个交点A和B，则通过不同的两点有两条直线，这就与公理“经过两点有且只有一条直线”相矛盾，所以平面内的两条直线最多有一个交点.类题演练 2证明：方程2x=3有且只有一个根.证明：2x=3，x=log23,这说明方程有一个根.下面用反证

6、法证明方程2x=3的根是唯一的.假设方程2x=3有两个根b1、b2（b1b2）.则2=3,2=3.两式相除得2-=1.如果b1-b2>0，则2->1,这与2-b2=1相矛盾.如果b1-b2<0,则2-<1，这也与2-=1相矛盾.因此b1-b2=0,则b1=b2.这就同b1b2相矛盾.如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾.故2x=3有且只有一个根.变式提升 2 反证法证明：已知a是整数,a2是偶数,求证:a也是偶数.证明：假设a不是偶数,则a为奇数.设a=2m+1(m为整数),则a2=4m2+4m+1.4(m2+m)是偶数,4m2+4m+1为奇数,即a2为奇数与已知矛盾.a一定是偶数.类题演练 3 直线a平面M,平面N过a且和平面M相交于直线b,求证ab.证明：假设aDb.a,b共面,则它们相交,设交点为A.bM,点A也在平面M内(点A在直线b上).又A点在直线a上,故a与平面M有公共点A,这与题设a平面M相矛盾.假设aDb不正确.ab.变式提升 3 已知a0，证明关于x的方程ax=b有且只有一个根.证明：由于a0，因此方程至少有一个根x=如果方程不只一