《经济数学》-第4章

1、4.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质4.2 不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法4.3 不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法4.4 积分表的用法积分表的用法第第4章章 不定积分不定积分结束前页前页结束结束后页后页 又如又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以所以sec x是是sec x tan x的原函数的原函数.定义定义 设设f (x) 在某在某区间上区间上有有定义定义，如果对该区间的任意，如果对该区间的任意点点x都有都有 F(x)=f (x) 或或 dF(x)=f (x)dx则称则称F(x)为为 f (x)在该区间上的一个原函数在该区间上的一个原函数.4.

2、1.1 原函数的概念原函数的概念 例如例如: ， 是函数是函数 在在 上的原函数上的原函数. ,sin x是是cos x在在 上的原函数上的原函数.(,) 32()3xx 2x33x(,) (sin )cos x x4.1 4.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质前页前页结束结束后页后页 (2) (2)如果如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数在某区间上存在原函数，那么原函数不是唯一的不是唯一的, ,且有无穷多个且有无穷多个注注:(1):(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在具体理由将在下一章给出在具体理由将在下一章给出 例如例如

3、而而在在 上上 是是 的原函数的原函数(,) sin1,sin2xxsin xcosxsin1,sin3xx也是它的原函数也是它的原函数即即 加任意常数都是加任意常数都是 的原函数的原函数.sinxcosx (3) 若函数若函数 f (x) 在区间在区间 I 上存在原函数，则其任上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项意两个原函数只差一个常数项.此结论由此结论由Lagrange定理推论可证定理推论可证前页前页结束结束后页后页定义定义2 2 如果函数如果函数F(x)是是f (x)在在区间区间 I 上上的一个原函数，那的一个原函数，那么么f (x)的全体的全体原函数原函数F(x) C(C为任

4、意常数为任意常数) )称为称为f (x)在在区区间间 I 上上的不定积分的不定积分. . 记作记作( )df xx其中记号其中记号 称为积分号称为积分号，f (x)称为被积函数，称为被积函数，f (x)dx称称为被积表达式，为被积表达式，x称为积分变量，称为积分变量，C为积分常数为积分常数. . ( )d( )f x xF xC，即2.不定积分的概念不定积分的概念前页前页结束结束后页后页例例2 求求21d .1xx21(arctan )()1 ，x xx解解2 1darctan.1 所所以以在在上上有有xxxCx例例1 求求.d4xx54()5由由于于，xx解解54d.5xCxx所所以以前页前

5、页结束结束后页后页例例3 求求.d1xx,1) 1(1)(1 )ln(0 xxxxxx 时，有当解解)0( lnd1 .1)(ln0 xCxxxxxx时，有当1dln (0).xxCxx所所以以, 0 )ln(, 0 lnlnxxxxx当当1dln().xxCx又又前页前页结束结束后页后页3 3 不定积分与微分的关系不定积分与微分的关系微分运算与积分运算互为逆运算微分运算与积分运算互为逆运算. . (1) ( )d ( ) d( )d( )df xx f xf xxf xx或或，特别地，有特别地，有d.xx C(2) ( )d( ) d ( )( )F xxF xCF xF xC或或，前页前页

6、结束结束后页后页(6) sin dcosxxxC (1) d kxkxC4.1.24.1.2不定积分的基本积分公式不定积分的基本积分公式d(3) ln|.xxCx(5) d.eexxxC1(2) d (1).1xxxC (4) d.lnxxxCaaa前页前页结束结束后页后页22d(8) csc d cot .sinxxxxCx(10) sec tan dsec .xxxxC(7) cos dsin .xxxC22d(9) sec dtan .cosxxxxCx(11) csc cot dcsc .xxxxC 21(12) darcsin .1xxCx21(13) darctan.1xxCx前页

7、前页结束结束后页后页例例4 计算下列积分计算下列积分.d1(3) .d1(2) .d) 1 (23xxxxxx.43131134131CCxxxxxxd d1(2)21解解xxxxd d(1) 313xxxxdd1(3)22.22111 211CxCx.112112CxCx前页前页结束结束后页后页例例5 计算下列积分计算下列积分(1) 2.( ).21d ( 2)d ( 3)dxxxxxex解解 (1)22 dln 2xxxC(3). deexxxC11111( ) d( )( )122ln 2 2ln2xxxxCC (2)前页前页结束结束后页后页4.1.3 不定积分的性质不定积分的性质性质性

8、质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面号的前面. .( )d( )dkf xxk f xx).0(kk是常数，性质性质2可以推广到有限多个函数的情形，即可以推广到有限多个函数的情形，即1212( )( )( ) d ( )d( )d( )d .nnxxxxxxxxxxffffff性质性质2 两个函数的和两个函数的和(或差或差)的不定积分等于各函数的不定积分等于各函数不定积分的和不定积分的和(或差或差)，即，即 ( )( )d( )d( )d .f xg xxf xxg xx前页前页结束结束后页后页例例6 求求32543)d .(2xxxx32

9、 2d5d4d3 dxxx xxxx3232 543)d 2d5d4 d3d(2xxxxx xxxxxx解解43215 23.23xCxxx 注注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可要写出一个任意常数即可 前页前页结束结束后页后页例例7 求求xxxd )sin23(xxxxxxxdsin2d d)sin233(解解2 ( cos )2cos.ln3ln333xxxCxC 例例8 求求2d .(1)xxx 531222221()(所所以以xxxxxx

10、xd) d53122222,(1) xxxxx解解xxxxxxdd2d212325.325472232527Cxxx前页前页结束结束后页后页例例9 求求2cosd2xx21cos1cosdddcos d222xxxxxxx1(sin )2xxC解解.arctanCxx例例10 求求xxxd122xxxxxd)11(1 d1222解解xxxd11d2前页前页结束结束后页后页.arctan33Cxxxxxxd 11) 1( 22xxxxxxxd11) 1)(1(d1222224解解xxxxd11 d) 1(22.d1224xxx例例11 求求前页前页结束结束后页后页.dtan2xx.tan Cxx

11、例例12 求求xxxx)d1(secdtan 22解解xxxddsec2 有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数的积分后，便可逐项积分求得结果如例的积分后，便可逐项积分求得结果如例9 91212。 前页前页结束结束后页后页 函数函数f (x)的原函数图形称为的原函数图形称为f (x)的的积分曲线积分曲线, ,不定积分表示的不是一个原不定积分表示的不是一个原函数函数, ,而是无穷多个而是无穷多个( (全部全部) )原函数原函数, ,通常通常说成一族函数说成一族

12、函数, ,反映在几何上则是一族反映在几何上则是一族曲线曲线, ,这族曲线称为这族曲线称为f (x)的的积分曲线族积分曲线族. .4.1.4.4.1.4.不定积分的几何意义不定积分的几何意义 在相同的横坐标处在相同的横坐标处, ,所有积分曲线的斜率均为所有积分曲线的斜率均为k, ,因此因此, ,在每一条积分曲线上在每一条积分曲线上, ,以以x为横坐标的点处的为横坐标的点处的切线彼此平行（如图）切线彼此平行（如图）. .f (x)为积分曲线在为积分曲线在( (x, f (x)处的切线斜率处的切线斜率. .前页前页结束结束后页后页 21d2所所以以 yx xxC (2,3) 1 C 把把代代入入上上

13、述述方方程程，得得，例例13设曲线通过点设曲线通过点(2,3),(2,3),且其上任一点的切线且其上任一点的切线斜率等斜率等于这点的横坐标，求此曲线方程于这点的横坐标，求此曲线方程. .解解 设所求的曲线方程为设所求的曲线方程为 ,依题意可知依题意可知( ) yf x ，yx因此所求曲线的方程为因此所求曲线的方程为21.2xy前页前页结束结束后页后页.d2cosxx求4.2.1 4.2.1 第一类换元法第一类换元法例例11dd2，xu 原因在于被积函数原因在于被积函数cos 2x与公式与公式 中的被积中的被积函数不一样函数不一样.如果令如果令u=2x，则，则cos2x=cos u，d u=2d

14、x，从，从而而xx d cos11 cos2 dcosdcos d22xxuuuu所以有所以有？1cos2 dsin2.2x xxC分析分析4.2 4.2 换元积分法换元积分法前页前页结束结束后页后页.sin21dcos21 cossincossinddCuuuuuuuuu的原函数，因此有被积函数是而言，即对新的积分变量由于.2sin21sin21 2CxCuxu代回，得再把综合上述分析，此题的正确解法如下：综合上述分析，此题的正确解法如下：前页前页结束结束后页后页,d2d,2xuxu得令uuxxdcos21d2cos 解解.2sin21sin21CxCu，则有得uxd21d .d2cosxx

15、求前页前页结束结束后页后页 )()()d( 有具有连续导数，则如果，设xuCuFuuf ( )( )d ( ) (1)fx xxFxC定理定理1证证依题意有依题意有 )()d(，CuFuuf即有即有),()(ddufuFx又由复合函数微分法可得又由复合函数微分法可得)()(xuf. )()(xxf)(ddxFuxuuFudd)(dd)(xx令 前页前页结束结束后页后页根据不定积分的定义，则有根据不定积分的定义，则有.)(d)( )(CxFxxxf 公式公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元用第一换元积分公式计

16、算不定积分的方法称第一换元积分法积分法.也称也称“凑微分凑微分”法法 应用定理应用定理1 1求不定积分的步骤为求不定积分的步骤为 ( )d( )( )d( ) d ( )g xxfxxxfxx凑微分( )d( )( )( )( )f uuF uCFxCxuux变量代换还原前页前页结束结束后页后页例例2 求求.d) 13(2008xx d31 d 20082008) 13(uxux于是有，得，得令uxxuxud31d3dd13解解uud31=200820092009111(31).320096027CxCu.d 42xxx d2d4 2则，则令xxuux解解 d21 d42uuxxx例例3 求求

17、Cu233221=.31)4(223Cx前页前页结束结束后页后页例例4 4 求求2dxxex解解222211ddd22xxuxexexeuxu变量代换凑微分221122uxeCeCux还还原原例例5 求求 .d tanxx=ln |cos|.xC类似地，有类似地，有 dln sincot|.xxxC dcossin d tan xxxxx解解)d(cos cos1xx前页前页结束结束后页后页(1)(1)22d xax=1arctanxCaa0a221 dxab arcsin.xCa(2)(2)2211 d ln.2xaxCaxaxa(3)(3)cscdln csccotxxxxC(4)(4)s

18、ec dxxln sectanxxC(5)(5)此外还可以得到一组积分公式：此外还可以得到一组积分公式： 前页前页结束结束后页后页4.2.2 第二类换元积分法第二类换元积分法12dd 11txttx1d .1xx例例6 求求22d1tt22ln 1.xxC12 d2d(1)1ttt22ln 1ttC解解 作变量代换作变量代换,令令 ,可将无理函数化为可将无理函数化为 有理函数的积分有理函数的积分,所以有所以有,xt前页前页结束结束后页后页 一般的说，若积分一般的说，若积分 不易计算可以作适当的不易计算可以作适当的 变量代换变量代换 ，把原积分化为，把原积分化为 的形的形式而可能使其容易积分式而

19、可能使其容易积分.当然在求出原函数后，当然在求出原函数后， 还要还要将将 代回代回.还原成还原成x的函数，这就是第二换元的函数，这就是第二换元积分法计算不定积分的基本思想积分法计算不定积分的基本思想.xxfd)()(txtxxfd )()()(1xt前页前页结束结束后页后页设设 是单调可导的函数，是单调可导的函数， 且且定理定理2)(tx( )0t( )( )d( )ftttF tC那么那么( )d( )( )d( ) f xxftttF tC1( ) FxC应用第二类换元法求不定积分的步骤为应用第二类换元法求不定积分的步骤为 ( )d( )( )d( )d( )( )f xxftttg tt

20、F tCxt 换换元元( ) tx 还还原原1( )FtC 前页前页结束结束后页后页例例7 求求.d1xxxtt)d1(22，所以有，得，得令ttxxtxtd2d112解解tttxxtd21d11 2 .1)1 (3212CxxxCtt3322前页前页结束结束后页后页).0( d22axxa，例例8 求求ttattataxxadcos dcoscosd 2222解解 ).22( x cos sin1 sin dcosdsin222222tatataaxattaxtax，而，设）（tttattad2cosd2d22cos122.cossin22sin21222CtttaCtta前页前页结束结束后

21、页后页并有，则，因为,arcsinsinsinaxtaxttax,1sin1cos2222axaaxxtCxaxaxaxxa2arcsin2d 22222.cos ,cos2222axataxat斜边邻边直接写出：角形也可由图所示的直角三上面axtax22前页前页结束结束后页后页0).( d22axax，例例9 求求ttataxaxdseccos1d1222解解，于是令tataataxataxcos1sec1tan11 ,tan22222，ttaxdsecd2.tansecln dsecCtttt前页前页结束结束后页后页，邻边斜边可得，利用图所示三角形，根据aaxtaxt22sec tan).

22、ln( ln lnd1 12212222aCCCxaxCaxaaxxax其中ax22ax t前页前页结束结束后页后页0).( d122axax，例例10 求求，令 sec tax 解解，于是tttaxtaataaxd tansecd tan1sec1122222 d sec=tt dtantansec=d 22ttattaaxx.|tansec|ln=Ctt前页前页结束结束后页后页，邻边对边得利用图所示三角形，易根据aaxtaxt22tan ,sec).ln( ln ln d1 12212222aCCCxaxCaaxaxxax其中ax22ax t前页前页结束结束后页后页.),(2222根号的是

23、去掉被积函数中的函数，三角换元法的目构成的有理和表示由其中xaxxaxR 例例8例例10中的解题方法称为三角代换法或三角中的解题方法称为三角代换法或三角换元法换元法.dtansecd,sec,d ),(dsecd,tan,d ),(dcosd,sin,d ),(2222222tttaxtaxxaxxRttaxtaxxxaxRttaxtaxxxaxR可令；可令；可令 一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如下情形：下情形：前页前页结束结束后页后页(14) tan dln|cos|.x xxC 补充的积分公式：补充的积分公式：(15) cot dln|sin

24、|.x xxC(16) sec dln|sectan|.x xxxC22d1(19) ln|.2xxaCxaaxa(17) csc dln|csccot|.x xxxC22d1(18) arctan.xxCaxaa前页前页结束结束后页后页22d(20) arcsin.xxCaax2222d(21) ln|.xxxaCxa2222d(22) ln|.xxxaCxa前页前页结束结束后页后页由函数乘积的微分公式由函数乘积的微分公式d()d( )d( )uvvuuv，移项得移项得d( )d()d( )uvuvvu，dd (1)u vuvv u对上式两端同时积分，得对上式两端同时积分，得公式公式(1)或

25、公式或公式(2)称为分部积分公式称为分部积分公式 . dd (2)uv xuvu v x或或4.34.3 分部积分法分部积分法前页前页结束结束后页后页注意：注意： 使用分部积分公式的目的是在于化难为使用分部积分公式的目的是在于化难为易，解题的关键在于恰当的选择易，解题的关键在于恰当的选择u和和v.选选u的法则是的法则是: 指多弦多只选多指多弦多只选多 反多对多不选多反多对多不选多 指弦同在可任选指弦同在可任选 一旦选中要固定一旦选中要固定前页前页结束结束后页后页.d, dedcosdsin. 1vxuxxxkxxxkxxnkxnnn余下的为令的不定积分，形如.,dd darcsin,darct

26、an,dln. 2uxxvxxxxxxxxxnnnn余下的为定积分，令的不形如即一般情况下，即一般情况下，u与与dv按以下规律选择按以下规律选择.d ,d dcose,dsine. 3应保持一致和部积分公式，两次选择因为要使用两次分，但应注意和任意选择的不定积分，可以形如vuvuxbxxbxaxax前页前页结束结束后页后页例例1 求求.dsinxxx cosdddsind ，则，则，令xvxuxxvxu解解xxxxxxxd )cos(cos dsin.sincosCxxxxxxxd coscos前页前页结束结束后页后页.de2xxx例例2 求求 d2dddee2xxvxxuxvux，则，令解解

27、d 2d eeee22xxxxxxxxx则 dd eee22xxxxxxxx则eedd d d xxvxuxvxu，则，令继续使用分部积分法 . )22 (22 22eeeeCxCxxxxxxx前页前页结束结束后页后页例例3 求求.dtanarcxxx解解 ddarctan，令xxvxuxxxxxxxxd112arctan21 darctan 222 d)111 (21arctan2122xxxx.arctan 21 2arctan21 2Cxxxx 2d11d22，则，则xxvxu前页前页结束结束后页后页.dln4xxx例例4 求求 )5(dlndln 54xxxxx解解xxxxd51ln545 .25ln555Cxxx例例5 求求.dlnxx)ln(dlndln xxxxxx解解.lndlnCxxxxxx前页前页结束结束后页后页.dcosexxx例例6 求求 )(dcos dcos eexxxxx解解xxxxxdsincosee)(dsincos eexxxxxxxxxxxdcossincoseee,dcossincosdcos eeeexxxxxxxxxx这样便出现了循环公式,sincosdcos2 1eeeCxxxxxxx移项得).2( )sin(cos2dcos1eeCCCxxxxxxCxxxxxx)cos(