微积分x二重积分的计算方法学习教案

1、会计学1微积分微积分x二重积分的计算方法二重积分的计算方法第一页，共52页。为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积曲曲面面为为底底，以以的的值值等等于于以以时时当当),(),(,0),(yxfzDdxdyyxfyxfD 用平面用平面x=x0截立体截立体，截得，截得A(x0). 应用计应用计算算(j sun)“平行截平行截面面积为已知的立体面面积为已知的立体求体积求体积”的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xA),(yxfz )(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf得得注意注意(zh y)D的特殊之处。的特殊之处。第2页/共52页第二页，共52页。定理1

2、3-1（基本定理） 函数(hnsh)f(x,y)在闭矩形区域D:,axb cyd可积,若每一个(y ) , ,( , ) , ,xa bf x yyc d关于 在是可积的( , )( , )( , ).dbdbcacaDf x y df x y dx dydyf x y dx 若每一个(y ) , ,( , ) , ,yc df x ya b关于x在是可积的( , )( , )( , )bdbdacacDf x y df x y dy dxdxf x y dy 第3页/共52页第三页，共52页。*( , )( , )0( , )DDDDDF x y df x y ddf x y dxyodca

3、 b2( )yyxD1( )yyx( , )( , )( , )0( , )f x yx yDF x yx yD如果如果(rgu)积分区域积分区域为：为：, bxa 12( )( ).y xyyx21( )( )( , )( , ).byxayxDf x y dxdydxf x y dy第4页/共52页第四页，共52页。*( , )( , )bdacDF x y dF x y dy dx 1212( )( )( )( )0( , )0byxbyxbdacayxayxdy dxf x y dy dxdy dx 21( )( )( , )( , ).byxayxDf x y dxdydxf x y

4、 dy第5页/共52页第五页，共52页。如果如果(rgu)积分区域积分区域为：为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,baX型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X X型区域的特点：型区域的特点： 穿过穿过(chun u)(chun u)区域且平行于区域且平行于y y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. .),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf第6页/共52页第六页，共52页。.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf

5、 如果积分如果积分(jfn)区域为：区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D Y Y型区域的特点型区域的特点(tdin)(tdin)：穿过区域且平：穿过区域且平行于行于x x轴的直线与区域边界相交不多于两个轴的直线与区域边界相交不多于两个交点交点. .第7页/共52页第七页，共52页。若区域若区域(qy)如如图，图，3D2D1D在分割后的三个区域上分在分割后的三个区域上分别使用积分别使用积分(jfn)公式公式.321 DDDD则必须则必须(bx)分分割割.对非对非X、Y型区域型区域第8页/共52页第八页，共52页。xy 1例例

6、1 1 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分积分(jfn)区域区域如图如图第9页/共52页第九页，共52页。xy 222xxy 例例 2 2 改改变变积积分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解积分积分(jfn)区域区域如图如图第10页/共52页第十页，共52页。xy211xy o221d y,dDyxI其中(qzhng)D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域(qy). x解法解法1. 将D看作X型区域, 则:DI

7、21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将D看作Y型区域, 则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y例例3 3计算下列二重积分计算下列二重积分第11页/共52页第十一页，共52页。解解两曲线的交点两曲线的交点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 第12页/共52页第十二页，共52页。D解解221.,2DxdDyx yxyx(3)计算其中由围

8、成X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD第13页/共52页第十三页，共52页。,dDyx其中(qzhng)D 是抛物线xy 2所围成的闭区域(qy). 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy 22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 第14页/共52页第十四页，共52页。 dyey2无法用初等函数表示无法用初等函数表示解解 积积分分时时必必须

9、须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 第15页/共52页第十五页，共52页。,ddsinDyxxx其中(qzhng)D 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域(qy).oxyDxxy 解解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.第16页/共52页第十六页，共52页。解解 dxexy不不能能用用初初等等函函数数表表示示先先改改变变积积分分次

10、次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 数数表表示示。的的原原函函数数不不能能用用初初等等函函注注意意：xxeexxx1,ln1,sin2第17页/共52页第十七页，共52页。1111( )xxdxf u du 20()4( )(1):| 1,| 12Duf yx df uduDxy令y-x=u交换(jiohun)积分次序u -1 o 1 x2101( )uf u dudx0121( )uf u dudx 2002( )(2)( )(2)f uu duf uu du令u=-t第18页/共52页第十八页，共52页。2( , )( , )

11、( , ),0,1( , ).Df x yf x yxyf u v dudvDyyxxf x y例5：设连续，且其中 是由所围区域，求 Dcdudvvuf),(解：设解：设cxyyxf ),(则则 DDDdxdycxydxdydxdyyxf),( DDdxdycxydxdyc即即 1020 xydyxdx 1020 xdydxccc 312181 c1第19页/共52页第十九页，共52页。6例计算二重积分：1|xyxy d111000044xyxyxyxxyyxydxydxyd解： 10104xydyxdx.612)1(4102 dxxx O 1 x y 1 第20页/共52页第二十页，共52

12、页。例例7 7解解. 10, 11:.2 yxDdxyD其中其中计算计算 1D2D3D先去掉先去掉(q dio)绝对值符号，绝对值符号，如图如图 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 第21页/共52页第二十一页，共52页。100( )( )yf y dyf x dx 10101010210)()()()()(dyyfxfdxdxxfdxxfdxxf分析：分析：,)()(010 xdyyfdxxfy o 1 x第22页/共52页第二十二页，共52页。故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf01

13、0)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf y o 1 x第23页/共52页第二十三页，共52页。121100( )( )( )2xf x dxdxf x f y dy 例：证明：110( )( )xf x dxf y dy证明：左1( )( )xF xf y dy设( )( )F xf x 10( )( )Fx F x dx 210( )2Fx 11(1)( )0Ff y dy10(0)( )Ff y dy120( )2f x dx第24页/共52页第二十四页，共52页。例例6 6.)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyy

14、fyxdx证明证明 证证 bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22 babynyxndyyf)(11)(1.)()(111 bandyyfybnDxy bbaa第25页/共52页第二十五页，共52页。Z=f2(x,y)Z=f1(x,y)Z=0dxdyyxfyxfVD),(),(12 利用二重积分计算空间利用二重积分计算空间(kngjin)立体体积立体体积第26页/共52页第二十六页，共52页。例例1.1. 6 4 2Vyxz限上的体积限上的体积所围成的立体在第一挂所围成的立体在第一挂及三个坐标面及三个坐标面，平面，平面求由抛物柱面求由抛物柱面 oxyz426解解

15、所求立体所求立体(lt)可以看成是一可以看成是一个个曲顶柱体，它的曲顶为曲顶柱体，它的曲顶为,42xz . 60, 20:yxD底为底为 dxVD )4(2 dyxdx 60220 )4( 20602)4( dxyx 202)4(6dxx.32 第27页/共52页第二十七页，共52页。xyzRRo解解: 设两个直圆柱设两个直圆柱(yunzh)方程为方程为,222Ryx利用对称性, 考虑第一(dy)卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222R

16、zxD第28页/共52页第二十八页，共52页。AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrr 2)(21 DiiiiiniiiiiiniiDrdrdrrfrrrrfyxfdxdyyxf)sin,cos()sin,cos(lim),(lim),(1010)211 (iiiiirrrr 第29页/共52页第二十九页，共52页。.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分二重积分(jfn)化为二次积分化为二次积分(jfn)的公式（的公式（）区域区域(qy)特征

17、如特征如图图, ).()(21 r第30页/共52页第三十页，共52页。.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(*( , )( , )0( , )DDDDDF x y df x y ddf x y d( , )( , )( , )0( , )f x yx yDF x yx yD第31页/共52页第三十一页，共52页。AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分二重积分(jfn)化为二次积分化为二次积分(jfn)的公的公式（）式（）区域区域(qy)特征如特征如图图, ).(0 r Drdrdrrf )si

18、n,cos(第32页/共52页第三十二页，共52页。 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域极坐标系下区域(qy)的面积的面积. Drdrd 二重积分二重积分(jfn)化为二次积分化为二次积分(jfn)的公的公式（）式（）区域区域(qy)特征特征如图如图).(0 rDoA)(r,2 0第33页/共52页第三十三页，共52页。例例1 1 写写出出积积分分 Ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sin

19、cosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd第34页/共52页第三十四页，共52页。)1 , 1( sin21)1(22 ryx cos21)1(22 ryx sin204/0)sin,cos(rdrrrfdI cos202/4/)sin,cos(rdrrrfd( , )Df x y dxdy化积分为极坐标形式的二次积分第35页/共52页第三十五页，共52页。例例 2 2 计算计算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原点，半径为原点，半径为a的圆

20、周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.解解在极坐标系下在极坐标系下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 第36页/共52页第三十六页，共52页。例例3 3 求求广广义义积积分分 02dxex.解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2第37页/共52页第三十七页，共52页。又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)

21、(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 第38页/共52页第三十八页，共52页。当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4 ,所求广义积分所求广义积分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 第39页/共52页第三十九页，共52页。例例 4 4 计算计算dxdyyxD)(22 ，其，其 D为由圆为由圆yyx222 ，yyx422 及直线及直线yx3 0 ，03 xy 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区

22、域.解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy第40页/共52页第四十页，共52页。例例5 求由球面求由球面(qimin)x2+y2+z2=4a2与柱面与柱面x2+y2=2ax所围所围立体的体积。立体的体积。解：解：122244DVaxy dxdyxyoxyz2 cos2220044adar rdr332032(1 sin)3.ad3322()323a第41页/共52页第四十一页，共52页。2222( , )( , )( , ):1( , ).Df x yf x yxyf x

23、 y dxdyD xyf x y例：设连续，且，求( , )Df x x dxdxc解：设22( , )f x yxyc则22( , )()DDDf x y dxdyxydxdycdxdy第42页/共52页第四十二页，共52页。值值。切切平平面面方方程程，并并求求最最小小所所围围体体积积最最小小，写写出出抛抛物物面面及及圆圆柱柱面面与与该该的的一一个个切切平平面面，使使得得它它例例：求求抛抛物物面面1)1(12222 yxyxz0122202000 yxzyyxx切切平平面面解解 Ddxdyyxyyxxyxv)1221(20200022 Ddxdyyxxxyx)2(2020022 )()2(2

24、020022yxdxdyxxyxD rdrrxrd)cos2(0cos20222 )(2020yx )22320200yxx （ 第43页/共52页第四十三页，共52页。例例 6 6 求曲线求曲线 )(2)(222222yxayx 和和222ayx 所围图形最右边一块的面积所围图形最右边一块的面积.解解在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D由由 arar 2cos2, 得得交交点点)6,( aA, 所求面积所求面积 Ddxdy 12Ddxdy 2cos2062aardrd).33(22 a D=2D1第44页/共52页第四十四页，

25、共52页。例例7 7解解）所围的面积（取圆外部所围的面积（取圆外部和圆和圆是由心脏线是由心脏线其中其中计算计算ararDdyxD )cos1(.22 )cos1(2222aaDrdrrddyx 22331)cos1(31da).2922(3 a第45页/共52页第四十五页，共52页。 .sin,cosryrx间的关系为间的关系为坐标与极坐标之坐标与极坐标之平面上同一个点，直角平面上同一个点，直角的一种变换，的一种变换，坐标平面坐标平面到直角到直角标平面标平面上式可看成是从直角坐上式可看成是从直角坐xoyro 换是一对一的换是一对一的，且这种变，且这种变平面上的一点平面上的一点成成，通过上式变换，变，通过上式变换，变面上的一点面上的一点平平即对于即对于),(),(yxMx