知识分类与数学教学

1、知识分类与数学教学知识分类与数学教学人民教育出版社中学数学室人民教育出版社中学数学室章建跃章建跃一、陈述性知识与程序性知识一、陈述性知识与程序性知识 1.1.基本定义基本定义 陈述性知识：关于事物及其关系的知识，陈述性知识：关于事物及其关系的知识，包括事实、规则、事件等，包括事实、规则、事件等，用于回答用于回答“是是什么什么”的问题。的问题。 程序性知识：关于完成某项任务的程序性知识：关于完成某项任务的行为或行为或操作步骤的知识，用于回答操作步骤的知识，用于回答“怎么办怎么办”的的问题。问题。 程序性知识程序性知识一般领域的一般领域的程序性知识程序性知识特殊领域的特殊领域的程序性知识程序性知识

2、自动化基本技能自动化基本技能 策略性知识策略性知识 2. 对程序性知识的进一步分类对程序性知识的进一步分类 “自动化的基本技能自动化的基本技能”是那些可以是那些可以“熟能熟能生巧生巧”的程序性知识，例如数学中关于运的程序性知识，例如数学中关于运算、推理、作图等的基础知识；算、推理、作图等的基础知识； 策略性知识是一种关于如何学习、如何思策略性知识是一种关于如何学习、如何思维的知识，是关于如何用陈述性知识和程维的知识，是关于如何用陈述性知识和程序性知识来学习、记忆和解决问题的一般序性知识来学习、记忆和解决问题的一般方法，这种程序性知识是受使用者的意思方法，这种程序性知识是受使用者的意思控制的，因

3、而被称为控制的，因而被称为“有控制的程序性知有控制的程序性知识识”。 3. 3. 两类知识的主要区别两类知识的主要区别 第一，陈述性知识是关于第一，陈述性知识是关于“是什么是什么”的知识，程的知识，程序性知识是关于序性知识是关于“怎么做怎么做”的知识；的知识； 第二，陈述性知识是相对静止的知识，其运用形第二，陈述性知识是相对静止的知识，其运用形式往往是输入信息的再现，程序性知识是体现在式往往是输入信息的再现，程序性知识是体现在动态操作过程中的知识，其运用往往要对信息进动态操作过程中的知识，其运用往往要对信息进行变形和运算，结果往往得出不同于输入刺激的行变形和运算，结果往往得出不同于输入刺激的信

4、息；信息； 第三，陈述性知识的提取和建构是有意识地、主第三，陈述性知识的提取和建构是有意识地、主动地激活有关命题的过程，速度较慢，程序性知动地激活有关命题的过程，速度较慢，程序性知识一旦熟练，则可以自动执行，速度较快。识一旦熟练，则可以自动执行，速度较快。 二、数学知识的分类二、数学知识的分类 数学知识数学知识概念性知识概念性知识方法性知识方法性知识自动化数学技能自动化数学技能 数学思想方法数学思想方法 数学的概念和原理（包括性质、法则、数学的概念和原理（包括性质、法则、公式、公理、定理等）公式、公理、定理等） 陈述性知识；陈述性知识； 由内容所反映的数学思想方法由内容所反映的数学思想方法 策

5、略性知识；策略性知识； 按照一定程序与步骤进行运算、处理按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、推理、作图、绘制图表等数学数据、推理、作图、绘制图表等数学技能技能 自动化基本技能。自动化基本技能。三、对数学知识分类的进一步考察三、对数学知识分类的进一步考察 程序性知识中包含了对认知行为的控制机制。程序性知识中包含了对认知行为的控制机制。 这一观点对理解数学知识的意义在于，当个体面这一观点对理解数学知识的意义在于，当个体面临某种数学问题情境时，需要使用一定的数学思临某种数学问题情境时，需要使用一定的数学思想方法或数学技能，其中包含了关于在相应的条想方法或数学技能，其中包含了关于在相应的条件下应当如

6、何采取行动的调控机制。这里实际上件下应当如何采取行动的调控机制。这里实际上涉及到数学思想方法、数学技能与数学思维活动涉及到数学思想方法、数学技能与数学思维活动的调控之间的关系。的调控之间的关系。 数学思维策略不能离开数学知识而独立存在。于数学思维策略不能离开数学知识而独立存在。于是，在获得数学知识的过程中，需要采取切实的是，在获得数学知识的过程中，需要采取切实的措施来保证所获得的数学思想方法、数学技能既措施来保证所获得的数学思想方法、数学技能既准确又可靠。准确又可靠。一般领域的程序性知识的数学意义一般领域的程序性知识的数学意义 这类知识与任何知识领域的联系都是松散这类知识与任何知识领域的联系都

7、是松散的，抽象程度高，适用范围广但针对性差。的，抽象程度高，适用范围广但针对性差。 从数学教学角度看，这类知识的学习对于从数学教学角度看，这类知识的学习对于学生数学认知结构发展的作用并不显著。学生数学认知结构发展的作用并不显著。实际上，这类知识的获得主要靠学生自己实际上，这类知识的获得主要靠学生自己在数学学习过程中的个人领悟。在数学学习过程中的个人领悟。特殊领域程序性知识的数学意义特殊领域程序性知识的数学意义 典型特征：力度强、作用大，可以导致迅速且可典型特征：力度强、作用大，可以导致迅速且可靠的操作。靠的操作。 常用的数字事实（如常用的数字事实（如“九九表九九表”、特殊角的三角、特殊角的三角

8、函数值、常用的数学公式函数值、常用的数学公式、某些数字表示方式的、某些数字表示方式的转换等）、数学的概念、公式、法则、定理、定转换等）、数学的概念、公式、法则、定理、定义、公理等，义、公理等，储存在长时记忆中，并达到一定的储存在长时记忆中，并达到一定的熟练程度，是使用方法性知识的前提，没有数学熟练程度，是使用方法性知识的前提，没有数学基础知识的牢固掌握就不可能有数学思想、方法基础知识的牢固掌握就不可能有数学思想、方法的准确、迅速、灵活的运用。的准确、迅速、灵活的运用。哪些数学知识应达到自动化水平哪些数学知识应达到自动化水平 概念性知识一定要达到自动化水平；概念性知识一定要达到自动化水平； 在建

9、立数学认知结构的过程中，有一些方在建立数学认知结构的过程中，有一些方法性知识需要达到自动化水平，这样才能法性知识需要达到自动化水平，这样才能胜任常规问题解决，并把更多的精力用于胜任常规问题解决，并把更多的精力用于周密的思考。但有些方法性知识不能自动周密的思考。但有些方法性知识不能自动化。化。 否定双基训练，笼统地反对技能训练是不否定双基训练，笼统地反对技能训练是不科学的。科学的。 数的运算程序、常用的代数变换方法（如数的运算程序、常用的代数变换方法（如消元、降次、配方、换元等数学方法）、消元、降次、配方、换元等数学方法）、用字母表示数、几何中用用字母表示数、几何中用“基本几何图形基本几何图形”

10、（如等腰三角形、矩形、圆、正四面体、（如等腰三角形、矩形、圆、正四面体、长方体等）分析复杂几何体的方法、数与长方体等）分析复杂几何体的方法、数与形的结合及转换、基本的作图方法、基本形的结合及转换、基本的作图方法、基本的三角变换方法等等，都必须达到熟练、的三角变换方法等等，都必须达到熟练、自动化程度。自动化程度。必须达到自动化水平的方法性知识必须达到自动化水平的方法性知识四、数系扩张与教学设计四、数系扩张与教学设计1. 自然数及其运算律自然数及其运算律 自然数是从计算有限集合中元素个数的过程中抽自然数是从计算有限集合中元素个数的过程中抽象出来的：象出来的： 在积累大量数数经验的基础上，通过在积累

11、大量数数经验的基础上，通过 2+3=3+22+3=3+2，2 23 33 32 2 等而直观地认识到，如果等而直观地认识到，如果a，b表示自然数，那么表示自然数，那么就有就有 1）a + b= b + a； 2）a b= b a；类似地，对于自然数类似地，对于自然数a，b，c，有，有3）a +（b+ c）=（a + b）+ c；4）（）（ab）c= a（bc）；）；5）a（b+ c）= ab + ac。2.2.数系扩张的实际需要数系扩张的实际需要 实践中，需要度量像长度、面积、重量和实践中，需要度量像长度、面积、重量和时间这样的量。为了能自由地度量这种能时间这样的量。为了能自由地度量这种能任意

12、细分的量，需要对算术的范围进行扩任意细分的量，需要对算术的范围进行扩张。其过程大致是：张。其过程大致是： 第一步，把度量的问题变为计数的问题：第一步，把度量的问题变为计数的问题：先任意地选择一个度量单位（如米、千克、先任意地选择一个度量单位（如米、千克、时等等），并规定它为时等等），并规定它为1 1。如果被度量的量。如果被度量的量恰好是单位的整数倍，则完成度量。恰好是单位的整数倍，则完成度量。 被度量的量不是单位的整数倍，这时就进被度量的量不是单位的整数倍，这时就进行第二步：把原单位分成行第二步：把原单位分成n等分，引进一个等分，引进一个新的小单位新的小单位分数概念的引入。分数概念的引入。 怎

13、样定义分数的运算怎样定义分数的运算加法和乘法？原加法和乘法？原则：则： 关于自然数的加法和乘法的运算律在有理关于自然数的加法和乘法的运算律在有理数范围内继续成立。数范围内继续成立。 分数加法和乘法的定义：分数加法和乘法的定义： 相等的定义：相等的定义：;bdacdcbabdbcaddcbababcacaa , 13.3.数系扩张的数学需要数系扩张的数学需要 核心：运算的封闭性，保持运算律不变。核心：运算的封闭性，保持运算律不变。 在自然数的范围内，符号在自然数的范围内，符号ba仅在仅在ba时时有意义。通过有意义。通过aa=0引进符号引进符号0，不仅消除，不仅消除了这个限制，更重要的是由此引进了

14、符号了这个限制，更重要的是由此引进了符号1，3，以及对以及对ba的情况定的情况定义：义：ba=（ab）。）。 这样就保证了减法在整数集内的封闭性。这样就保证了减法在整数集内的封闭性。 如何定义整数集内的乘法运算，才能保证如何定义整数集内的乘法运算，才能保证自然数范围内的运算律保持不变？自然数范围内的运算律保持不变？ 例如，为什么规定例如，为什么规定 (1)(1)=1？希望保持分配律希望保持分配律a（b+ c）= ab + ac的结的结果。果。 让让(1)(1)=1行不行？行不行？不行！会出现矛盾：不行！会出现矛盾： 令令a=1，b=1，c=1，就会有，就会有 1(11)=11=2。 而另一方面

15、又有而另一方面又有 1(11)=10=0。 正如引进负整数和正如引进负整数和 0 扩张了减法运算的范扩张了减法运算的范围一样，分数的引进为除法消除了类似的围一样，分数的引进为除法消除了类似的算术上的障碍。算术上的障碍。4.4.有理数的教学设计有理数的教学设计 认知基础：自然数及其运算、运算律；关认知基础：自然数及其运算、运算律；关于度量的直观经验；等等。于度量的直观经验；等等。 教学目标：教学目标： 概念性知识：有理数的概念；运算概念性知识：有理数的概念；运算重重点在符号法则；运算律；等等。点在符号法则；运算律；等等。 运算技能：熟练运算，必须达到自动化水运算技能：熟练运算，必须达到自动化水平

16、。平。数学思想方法：关于如何扩张数系的思想数学思想方法：关于如何扩张数系的思想 这是一个具有普适性的数学思想。这是一个具有普适性的数学思想。教学过程设计的两种思路教学过程设计的两种思路 以度量的需要为出发点的教学过程以度量的需要为出发点的教学过程（1 1）问题情境：度量问题、相反意义的量等）问题情境：度量问题、相反意义的量等（单位长的整数倍和非整数倍）。（单位长的整数倍和非整数倍）。思考题：用单位长量不完怎么办？思考题：用单位长量不完怎么办？（2 2）引进分数单位，定义分数概念；引进负）引进分数单位，定义分数概念；引进负数表示相反意义的量。数表示相反意义的量。（3 3）引进有理数加法和乘法的定

17、义。）引进有理数加法和乘法的定义。思考题：如何定义新引进的数的运算？思考题：如何定义新引进的数的运算？与实际意义相吻合。与实际意义相吻合。（4 4）探究：有理数的加法与乘法具有怎样的）探究：有理数的加法与乘法具有怎样的运算律？运算律？（5 5）讨论有理数的减法、除法等运算。）讨论有理数的减法、除法等运算。（6 6）一些应用。）一些应用。 以数学知识发展的内在需要为出发点的教以数学知识发展的内在需要为出发点的教学过程学过程（1 1）问题情境：解方程）问题情境：解方程x+5=3；2x=1；（2 2）引进负数和分数：为了使得运算能够进）引进负数和分数：为了使得运算能够进行，需要引进新的符号表示新的数

18、。行，需要引进新的符号表示新的数。（3 3）在新的数集内定义加法和乘法。）在新的数集内定义加法和乘法。 明确引进新的运算的原则。明确引进新的运算的原则。（4 4）研究运算律。）研究运算律。（5 5）定义其他运算。）定义其他运算。五、数学课堂教学设计的几个要点五、数学课堂教学设计的几个要点 保持学生高水平的数学思维保持学生高水平的数学思维 根据学生数学思维发展水平和认知规律，数学知识根据学生数学思维发展水平和认知规律，数学知识的发生发展过程设计课堂教学进程，以问题引导学的发生发展过程设计课堂教学进程，以问题引导学习，尽量采用习，尽量采用“归纳式归纳式”，让学生经历概念的概括，让学生经历概念的概括

19、过程，思想方法的形成过程，这是最基本的。要做过程，思想方法的形成过程，这是最基本的。要做到到“讲逻辑又讲思想讲逻辑又讲思想”，引导学生通过类比、推广、，引导学生通过类比、推广、特殊化等思维活动，促使他们找到研究的问题，形特殊化等思维活动，促使他们找到研究的问题，形成研究的方法；促进他们在建立知识之间内在联系成研究的方法；促进他们在建立知识之间内在联系的过程中领悟本质。的过程中领悟本质。 搞好课堂教学设计的搞好课堂教学设计的“321”321”三个基础三个基础 理解数学理解数学对数学的思想、方法及其对数学的思想、方法及其精神的理解；精神的理解； 理解学生理解学生对学生数学学习规律的理对学生数学学习

20、规律的理解，核心是理解学生的数学思维规律；解，核心是理解学生的数学思维规律； 理解教学理解教学对数学教学规律、特点的对数学教学规律、特点的理解。理解。学生思维过程的规律学生思维过程的规律 从具体到抽象，由此及彼、由表及里，从具体到抽象，由此及彼、由表及里，从个别到一般，从片面到全面，其中类从个别到一般，从片面到全面，其中类比、联想、特殊化、推广等是主要的逻比、联想、特殊化、推广等是主要的逻辑思考方式。辑思考方式。 数学教学中，应当根据学生的数学思维数学教学中，应当根据学生的数学思维规律，通过丰富的、具有典型性的素材，规律，通过丰富的、具有典型性的素材，引导学生进行充分的类比、联想、特殊引导学生进行充分的类比、联想、特殊化和推广等思维活动，经历概念的归纳化和推广等思维活动，经历概念的归纳和概括过程。和概括过程。 两个关键两个关键 提好的问题提好的问题在学生思维最近发在学生思维最近发展区内，有意义；展区内，有意义； 设计好的过程设计好的过程数学知识发生发数学知识发生发展的原过程（再创造），学生对数展的原过程（再创造），学生对数学知识的认识过程。学知识的认识过程。好问题的境界好问题的境界 度度道而弗牵道而弗牵强而弗抑强而弗抑开而弗达开而弗达案例：三角函数诱导公式的推导案例：三角函数诱导公式的推导 你能利用圆