第5章被控对象的数学模型

1、过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章 控制系统的控制品质主要取决于系统的特性，而控制系统的控制品质主要取决于系统的特性，而系统的特性取决于系统结构和系统中各环节的特性。系统的特性取决于系统结构和系统中各环节的特性。系统特性系统特性是指控制系统输入输出之间的关系。是指控制系统输入输出之间的关系。环节特性环节特性是指环节本身输入输出之间的关系。是指环节本身输入输出之间的关系。第第5 5章章 被控过程的数学模型被控过程的数学模型给定值给定值被控量被控量干扰干扰f 控制器控制器 变送器变送器执行器执行器被控对象被控对象+e实测值实测值过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章给定值给

2、定值被控量被控量干扰干扰f 控制器控制器 变送器变送器执行器执行器被控对象被控对象+e实测值实测值 前几章的讨论中，我们已知变送器和执行器的前几章的讨论中，我们已知变送器和执行器的特性是比例关系，控制器的特性由控制规律决定。特性是比例关系，控制器的特性由控制规律决定。本章讨论被控对象的特性。本章讨论被控对象的特性。被控对象被控对象x r (t)x c (t)过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章 5.1被控过程数学模型的作用与要求被控过程数学模型的作用与要求被控对象大都是生产中的工艺设备，它是控制系被控对象大都是生产中的工艺设备，它是控制系统的重要环节。无论是设计、还是操作控制系统，

3、都统的重要环节。无论是设计、还是操作控制系统，都需要了解被控对象的特性。需要了解被控对象的特性。在经典控制理论中，被控对象的特性一般用单输在经典控制理论中，被控对象的特性一般用单输入、输出的数学模型描述。最常用的是传递函数。入、输出的数学模型描述。最常用的是传递函数。传递函数是指用拉氏变换式表示的对象特性。传递函数是指用拉氏变换式表示的对象特性。被控对象被控对象x r (t)x c (t)X c (s)X r (s)G (s) =过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章5.2建立被控过程数学模型的基本方法建立被控过程数学模型的基本方法求对象的数学模型有两条途径：求对象的数学模型有两条途

4、径：q机理法：根据生产过程的内部机理，列写出有机理法：根据生产过程的内部机理，列写出有关的平衡方程，从而获取对象的数学模型。关的平衡方程，从而获取对象的数学模型。q测试法：通过实验测试，来识别对象的数学模测试法：通过实验测试，来识别对象的数学模型。型。由于影响生产过程的因素较多，单纯用机理法由于影响生产过程的因素较多，单纯用机理法建模较困难，一般用机理法的分析结论，指导测试建模较困难，一般用机理法的分析结论，指导测试结果的辨识。结果的辨识。过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章5.3机理法建模机理法建模5.3.1机理法建模的基本原理机理法建模的基本原理通过分析生产过程的内部机理，找出

5、变量之间的通过分析生产过程的内部机理，找出变量之间的关系。如物料平衡方程、能量平衡方程、化学反应定关系。如物料平衡方程、能量平衡方程、化学反应定律、电路基本定律等，从而导出对象的数学模型。律、电路基本定律等，从而导出对象的数学模型。5.3.2单容过程建模单容过程建模当对象的输入输出可以用一阶微分方程式来描当对象的输入输出可以用一阶微分方程式来描述时，称为单容过程或一阶特性对象。述时，称为单容过程或一阶特性对象。 大部分工业大部分工业对象可以用一阶特性描述。对象可以用一阶特性描述。典型代表是水槽的水位特性。典型代表是水槽的水位特性。过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章 5.3.2.1

6、单容贮液箱液位过程单容贮液箱液位过程I 如图是一个贮液箱（水槽），工艺上要求其液位如图是一个贮液箱（水槽），工艺上要求其液位h保持定值。设计控制系统时，水槽就是被控对象，保持定值。设计控制系统时，水槽就是被控对象，液位液位h就是被控变量。如果想通过调节阀门就是被控变量。如果想通过调节阀门1来控制液来控制液位，就应了解进水流量位，就应了解进水流量Q1和液位和液位h之间的关系。之间的关系。 此时，对象特性的输入量此时，对象特性的输入量是流入水槽的流量是流入水槽的流量Q1，对象特，对象特性的输出量是液位性的输出量是液位h。G(S)Q1h过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章设水槽在设水槽在

7、Ql0=Q20时，时，系统处于平衡状态，液位系统处于平衡状态，液位稳定在稳定在h0机理法建模步骤：机理法建模步骤：从水槽的物料平衡关系考虑，找出表征从水槽的物料平衡关系考虑，找出表征h与与Q1关关系的方程式：系的方程式：h0阀门阀门1阀门阀门2Q10Q20A12dhAdtQQ01020dhA0dtQQ过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章 假定某一时刻，阀门假定某一时刻，阀门1突然开大突然开大1 ， 则则Q1突然突然增大，不再等于增大，不再等于Q2，于是，于是 h就发生变化。就发生变化。Q1与与Q2之差被囤积在水槽中，造成液位上升。之差被囤积在水槽中，造成液位上升。2shQRRS 阀

8、门阀门2阻力系数；阻力系数；K 阀门阀门1比例系数；比例系数；1 阀门阀门1的开度；的开度；A 水槽的底面积。水槽的底面积。式中：式中： Q1 = K1 h0阀门阀门1阀门阀门2Q1Q2hA12d hAdtQQ过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章111()sd hKhdtAR即即1 1RKhdthdARss 解得解得1 1 KhdthdT 写成标准形式写成标准形式 令：令：T = ARs 时间常数；时间常数； K = KRs放大倍数。放大倍数。 进行拉氏变换进行拉氏变换TS H(S) + H(S) = K1(S)传递函数为：传递函数为：1( )G(s)( )1H sKsTs过程控制

9、系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章1 11 1 TsKssH)()( 阶跃响应（飞升）曲线阶跃响应（飞升）曲线输入量输入量1作一阶跃变化（作一阶跃变化（1）时，其输出时，其输出（h）随时间变化的曲线。随时间变化的曲线。1(1)tThKe 11(s)s因因则则1G(s)1sKTs时域表达式时域表达式K、T 称对象的特性参数。称对象的特性参数。1tthK 1T过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章工艺对象对物质或能量的工艺对象对物质或能量的储存能力和传递阻力储存能力和传递阻力，影响对象特性参数影响对象特性参数K、T的大小。在对象特性的研究的大小。在对象特性的研究中，可以用中，可以用

10、容量系数容量系数和和阻力系数阻力系数来表示这种能力。来表示这种能力。（1）容量系数容量系数反映对象存储能量的能力反映对象存储能量的能力如水槽面积如水槽面积A，它影响时间，它影响时间常数常数 T 的大小。的大小。 T = ARS （2）阻力系数阻力系数反映对反映对象对物料或能量传递的阻力。象对物料或能量传递的阻力。如阀门阻力系数如阀门阻力系数 RS ，它影，它影响放大系数响放大系数 K 的大小。的大小。 K = RS 11tthKT过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章 有很多对象特性属于单容特性，如有很多对象特性属于单容特性，如RC电路的充电路的充电特性：电特性：ccu (t)i (

11、t)Cddtccru (t)RCu (t)u (t)ddtRCur (t)uR (t)uc (t)即即传递函数为：传递函数为：ccru (t)Tu (t)Ku (t)ddtG(s)1KTs过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章 如果如果u r (t) 是阶跃信号，则是阶跃信号，则当当t 时时: uc () = Uuc (t) = U(1e t /RC )t0URC 电路的阶跃响应电路的阶跃响应u ctu rU0RCur (t)uR (t)uc (t)过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章5.3.2.2被控过程的自衡特性与单容贮液箱液位过程被控过程的自衡特性与单容贮液箱液位过

12、程II从一阶惯性特性曲线可从一阶惯性特性曲线可以看出，以看出，对象在扰动作用下，对象在扰动作用下，其平衡状态被破坏后，在没其平衡状态被破坏后，在没有人工干预或调节器干预下，有人工干预或调节器干预下，能自动达到新的平衡状态，能自动达到新的平衡状态，这种特性称为这种特性称为“自衡特性自衡特性”。用用自衡率自衡率表征对象自表征对象自衡能力的大小。衡能力的大小。Kh1 11 1 )( 11tthKT过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章1K与放大系数与放大系数K互为倒数互为倒数如果如果大，说明对象的自大，说明对象的自衡能力大。即对象能以较小衡能力大。即对象能以较小的自我调整量的自我调整量h（

13、），），来抵来抵消较大的扰动量消较大的扰动量1。并不是所有被控过程都并不是所有被控过程都具有自衡特性。同样的单容具有自衡特性。同样的单容水槽如果出水用泵抽出，则水槽如果出水用泵抽出，则成为无自衡特性。成为无自衡特性。11tthKT过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章dthdAQQ 2 21 11 1 KdthdA 1 1 dthdkA令令Q2 =0 h0阀门阀门1Q1Q2h单容无自衡特性单容无自衡特性若阀门若阀门1突然开大突然开大1 ， 则则Q1增大，增大，Q2不变化。不变化。 Q1 = K1 称飞升速度称飞升速度则：则：1H(s)G(s)(s)s传函：传函：过程控制系统与仪表过程

14、控制系统与仪表 第第5章章即：即： h（t）= =1dt又称积分特性又称积分特性 若阀门若阀门1阶跃增大阶跃增大1 ， 则则h (t)持续增长。持续增长。 t1h0th图图5.5 非自衡单容液位控制过非自衡单容液位控制过程阶跃响应曲线程阶跃响应曲线0h0阀门阀门1Q1Q2h过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章5.3.3多容过程建模多容过程建模有一个以上贮蓄容量的过程称为多容过程。有一个以上贮蓄容量的过程称为多容过程。5.3.3.1多容液位过程多容液位过程如图所示为双容对象。如图所示为双容对象。由两个一阶惯由两个一阶惯性环节串联起来，性环节串联起来，操纵变量是操纵变量是1 ，被控变量

15、是第二个被控变量是第二个水槽的水位水槽的水位h2。1 1C2过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章可以求出传递函数：可以求出传递函数：由两个一阶惯性由两个一阶惯性特性乘积而成。特性乘积而成。又称二阶惯性。又称二阶惯性。2112H (s)KG(s)(s)(Ts 1)(T s 1)式中：式中： T1A1 R2 T2A2 R3 KK R31 1C2A1A2R2R3K过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章 当输入量是阶跃当输入量是阶跃增量增量1 时，时，二阶惯二阶惯性对象的性对象的被控变量被控变量h2的响应曲线呈的响应曲线呈S型。型。 所谓滞后是指输出量的变化落后于输入量的变化。所

16、谓滞后是指输出量的变化落后于输入量的变化。 为简化数学模型，为简化数学模型，可以用带滞后的单容过可以用带滞后的单容过程模型来近似双容过程程模型来近似双容过程模型。模型。0th2（）h20th2（）h2过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章 0tc cT0h2（）csKG(S)eTS 1在在S形曲线的拐点上作一切线，若将它与时间形曲线的拐点上作一切线，若将它与时间轴的交点近似为反应曲线的起点，则曲线可表达为轴的交点近似为反应曲线的起点，则曲线可表达为带滞后的一阶特性：带滞后的一阶特性：h2(t)= K1 (1e ) t c c -( tc)T0 t c cc c 称为容量滞后称为容量滞

17、后过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章h ()Othn=1 n=2 n=3 n=4 n=5 5.3.3.2容量滞后与纯滞后容量滞后与纯滞后1. 容量滞后容量滞后将对象的容量特性造成的微小响应区域近似成滞将对象的容量特性造成的微小响应区域近似成滞后后c 。是切线在时间轴上截出的时间段是切线在时间轴上截出的时间段。对象的容量系数对象的容量系数C越大，则越大，则c越大；容量个数越越大；容量个数越多（阶数多（阶数n越多），越多）， c也越大。也越大。0tc cThh（）过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章2. 纯滞后纯滞后由信号或能量的传输时间造成的滞后现象，是由信号或能量的传

18、输时间造成的滞后现象，是纯粹的滞后。纯粹的滞后。如图是一个蒸汽加热系统。蒸汽进入点与水温测如图是一个蒸汽加热系统。蒸汽进入点与水温测量点相距量点相距l ，设水的流速为，设水的流速为v ，蒸汽量阶跃增大引起，蒸汽量阶跃增大引起的水温升高，要滞后的水温升高，要滞后0才反应出来。才反应出来。0t0vl 0 0过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章v有些对象容量滞后与纯滞后同时存在，很难严有些对象容量滞后与纯滞后同时存在，很难严格区分。常把两者合起来，统称为滞后时间格区分。常把两者合起来，统称为滞后时间 = o +c0tc cT0h20 0h2（）sKG(S)eTS 1h2(t)= K1 (

19、1e ) t ( t)T0 t 过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章5.4测试法建模测试法建模根据工业过程中某对因果变量的实测数据，进行根据工业过程中某对因果变量的实测数据，进行数学处理后得到的数学模型。数学处理后得到的数学模型。测定对象特性的实验方法主要有三种：测定对象特性的实验方法主要有三种：（1）时域法）时域法输入阶跃或方波信号，测对象输入阶跃或方波信号，测对象的飞升曲线或方波响应曲线。的飞升曲线或方波响应曲线。（2）频域法）频域法输入不同频率的正弦波，测对输入不同频率的正弦波，测对象的频率特性。象的频率特性。（3）统计相关法）统计相关法输入随机噪音信号，测对输入随机噪音信号

20、，测对象输出参数的变化。象输出参数的变化。过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章5.4.1阶跃响应曲线法建模阶跃响应曲线法建模给对象输入阶跃信号或方波信号测其输出响应。给对象输入阶跃信号或方波信号测其输出响应。1阶跃响应曲线的直接测定阶跃响应曲线的直接测定在对象处于开环、稳在对象处于开环、稳态时，将选定的输入量做态时，将选定的输入量做一阶跃变化（如将阀门开一阶跃变化（如将阀门开大）大） ，测试记录输出量的，测试记录输出量的变化数据，所得到的记录变化数据，所得到的记录曲线就是被控过程的阶跃曲线就是被控过程的阶跃响应曲线。响应曲线。LT阀门阀门1阀门阀门2Q1Q2过程控制系统与仪表过程控

21、制系统与仪表 第第5章章有些工艺对象不允许长时间施加较大幅度的扰有些工艺对象不允许长时间施加较大幅度的扰动，那么施加脉宽为动，那么施加脉宽为t t的方波脉冲，得到的响应曲的方波脉冲，得到的响应曲线称为线称为“方波响应方波响应”。矩形脉冲法测定被控过程的阶跃响应曲线矩形脉冲法测定被控过程的阶跃响应曲线过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章 一个是在一个是在t = 0时加入的正阶跃信号时加入的正阶跃信号x1（t） 另另 一个是在一个是在 t =t 时加入的负阶跃信号时加入的负阶跃信号x2（t） x（t）= x1（t）+ x2（t）其中，其中， x2（t）= - x1（t -t）方波响应可

22、以转换成阶跃响应。方波响应可以转换成阶跃响应。原理：方波信号是两个阶跃信号的代数和。原理：方波信号是两个阶跃信号的代数和。tttttxxxx0 x0 x0=过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章 根据此式，方波响应曲根据此式，方波响应曲线可逐点拆分为阶跃响应曲线可逐点拆分为阶跃响应曲线线y1（t）和和 y2（t）。 对应的响应也为两个阶跃对应的响应也为两个阶跃响应之和：响应之和： y（t）= y1（t）+ y2（t） = y1（t）- y1（t-t）ty2(t)OtxOO tttx1(t)x2(t)= x1(t-t)txy1(t)y(t)y(t)过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表

23、第第5章章5.4.1.2由阶跃响应曲线确定被控过程传递函数由阶跃响应曲线确定被控过程传递函数 1 1 TsKesGs )()()(1 11 12 21 1 sTsTKesGs 大多数工业对象的特性可大多数工业对象的特性可以用具有纯滞后的一阶或二阶以用具有纯滞后的一阶或二阶惯性环节来近似描述：惯性环节来近似描述： xtt y0ty00过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章 对于少数无自衡特性的对象，可用带滞后的积对于少数无自衡特性的对象，可用带滞后的积分特性近似描述：分特性近似描述： TsKesGs )()()(1 12 21 1 sTsTKesGs xtt y0ty00 由对象的阶跃

24、响应曲线基由对象的阶跃响应曲线基本可以辨识对象的特性模型结本可以辨识对象的特性模型结构和特性参数。构和特性参数。过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章1、由阶跃响应确定一阶惯性加滞后模型的特性参数、由阶跃响应确定一阶惯性加滞后模型的特性参数 一阶对象的特性参数都具有明显的物理意义。一阶对象的特性参数都具有明显的物理意义。因此，可以在阶跃响应曲线上确定特性参数值。因此，可以在阶跃响应曲线上确定特性参数值。sKG(S)eTS 1v滞后时间滞后时间的物理意义的物理意义加入输入后，输出没有响加入输入后，输出没有响应的时间段，就是滞后时间应的时间段，就是滞后时间ttx0y( )yxa.若阶跃响

25、应是带纯滞后的一阶惯性曲线若阶跃响应是带纯滞后的一阶惯性曲线过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章ttx0y( )yxv放大倍数放大倍数K的物理意义的物理意义K表明了稳态时，输出对输入的放大倍数表明了稳态时，输出对输入的放大倍数 。为了简便，可将滞后时间切去：为了简便，可将滞后时间切去：vK 越大，表示对象的输入对输出的影响越大。越大，表示对象的输入对输出的影响越大。y( ) = K x00y( )x (1-)t-TtKe则：则： K = y( ) / x0过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章t0TxyeKddtT0y( )x (1-)t-TtKe0 xyy( )0Kdt

26、dtTT起点的斜率起点的斜率v时间常数时间常数的物理意义的物理意义对象受到阶跃输入后，若输出保持初始速度对象受到阶跃输入后，若输出保持初始速度变化，到新的稳态值所需时间就是时间常数。变化，到新的稳态值所需时间就是时间常数。曲线的斜率曲线的斜率ttx0y( )yxT以此斜率在起点作直线，与以此斜率在起点作直线，与y()相交时所需时间正好等于相交时所需时间正好等于T。过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章作图法求作图法求T：在阶跃响应起点上作切线，这条在阶跃响应起点上作切线，这条切线与切线与h（）相交时所需时间正好等于）相交时所需时间正好等于T。或：对象受到阶跃输入后，输出达到新的稳态或

27、：对象受到阶跃输入后，输出达到新的稳态值的值的63.2所需的时间，等于时间常数所需的时间，等于时间常数T。0y( ) x (1-)tTt TtKe-10y( )x (1-)TKe00.632xKtT0.632y)y计算法求计算法求T：取阶跃响应稳态变化幅值的取阶跃响应稳态变化幅值的63.2%，所对应的时间正好等于，所对应的时间正好等于T。过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章在相同的阶在相同的阶跃输入作用下，跃输入作用下，对象的时间常数对象的时间常数不同时，被控变不同时，被控变量的响应曲线如量的响应曲线如图所示图所示 。 vT反映了对象输出对输入的响应速度反映了对象输出对输入的响应速

28、度T越大，响应越慢。如水槽对象中越大，响应越慢。如水槽对象中 T=ARS ，说，说明水槽面积越大，水位变化越慢。明水槽面积越大，水位变化越慢。过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章vT也反映了响应时间也反映了响应时间被控变量变化到新的稳被控变量变化到新的稳态值所需要的时间理论上需态值所需要的时间理论上需要无限长。要无限长。当当t时，才有时，才有yKx0 ，但是当但是当t =3T 时，便有时，便有： 即即：经过：经过3T时间，输出已经变化了满幅值的时间，输出已经变化了满幅值的95。这时，可以近似地认为动态过程基本结束。这时，可以近似地认为动态过程基本结束。300y(3 )x (1-)0

29、.95 x0.95y()-TKeK0y( )x (1-)tTtKetTy)3T过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章b.若阶跃响应是一条若阶跃响应是一条 S 形单调曲线形单调曲线用有纯滞后的一阶环节模型近似描述时：用有纯滞后的一阶环节模型近似描述时： 作图法：作图法：1）在响应曲线的拐点）在响应曲线的拐点处作一条切线，该切线与时处作一条切线，该切线与时间轴的交点切出间轴的交点切出；2）以）以为起点，与为起点，与y()的交点切出的时间段为的交点切出的时间段为T；3）K= y()/x0sKG(S)eTS 10tTy（）y过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章将将y（t）转换成无

30、量纲转换成无量纲的形式的形式y*（t）)()()()(* ytyKXtyty0 00tKx0y(t)为了简化计算，先消去为了简化计算，先消去y(t)中的系数中的系数KX0计算法：计算法：根据曲线上已知的两点坐标解方程，求根据曲线上已知的两点坐标解方程，求T、。又称两点法：又称两点法：0t1y*(t)过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章对有滞后的一阶惯性环节，单位阶跃响应为：对有滞后的一阶惯性环节，单位阶跃响应为： 0 t T1)2 21 12 21 12 22 21 11 10 01 1TtTteTTTeTTTKXtyty )()(*阶跃响应：阶跃响应：从响应曲线上取两点列方程组，

31、求从响应曲线上取两点列方程组，求T1、T2过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章12121(tt )2.16TTy*（t1）=0.4=0.4 y*（t2）=0.8 =0.8 Oty (t)图图5.16 根据阶跃响应确定二阶根据阶跃响应确定二阶滞后环节时间常数滞后环节时间常数T1、T2t2t1y*(t)y ()0.80.4可以求出近似解：可以求出近似解：若适当选取若适当选取y*（t）的值，的值，取取1 212122t(1.740.55)()tTTTT过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章)(| )(|)()()( jGjGjxjyjG5.4.2 测定动态特性的频域法测定动态特性的频域法对象的频率特性反映了对象对不同频率信号的响对象的频率特性反映了对象对不同频率信号的响应特性。应特性。 方法：在对象的输入端加特定频率的正弦信号，方法：在对象的输入端加特定频率的正弦信号，同时记录输入和输出的稳定波形（幅度与相位）。在同时记录输入和输出的稳定波形（幅度与相位）。在选定范围的各个频率点上重复上述测试，选定范围的各个频率点上重复上述测试，y（t）x（t）过程控制系统与仪表过程控制系统与仪表 第第5章章5.4.3测定动态特性的统计相关分析法测定动态特性的统计相