高等数学课件：9-6 多元微分学在几何上的应用

1、2022-1-121第六节 多元微分学在几何上的应用 第九章第九章 (Applications of differential calculus in geometry)一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线三、小结与思考练习三、小结与思考练习2022-1-122复习: 平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线)(xfy ),(00yx切线方程切线方程0yy 法线方程法线方程0yy 若平面光滑曲线方程为, 0),(yxF),(),(ddyxFyxFxyyx故在点),(00yx切线方程切线方程法线方程法线方程)(0yy ),(00yxFy)(

2、),(000 xxyxFx0)(00 xxxf)()(100 xxxf在点有有因 0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0 xx 2022-1-123一、空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法位置.空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.点击看动画TM (Tangent and normal plane of space curve)2022-1-124)(, )(, )(:tztytxzzzyyyxxx000, t上述方程之分母同除以得令, 0t切线方程切线方程000zzyyxx),(0000zyxMtt对应设 ),(0000

3、zzyyxxMttt对应)(0t)(0t)(0tTMM:的方程割线MM1. 曲线方程为参数方程的情况2022-1-125)(00 xxt此处要求)(, )(, )(000ttt也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量切向量 .)( )(00yyt0)(00zzt如个别为0, 则理解为分子为 0 .M不全为0, )(, )(, )(000tttTT因此得法平面方程法平面方程 说明说明: 若引进向量函数 ) )(, )(, )()(ttttr, 则 为 r (t) 的矢端曲线, 0t而在处的导向量 )(, )(, )()(0000ttttr就是该点的切向量.o)(trT2022-1-1

4、26解题思路解题思路:)(, )(, )(:tztytx),(0000zyxMtt对应设 切线方程切线方程000zzyyxx)(0t)(0t)(0t法平面方程法平面方程)(00 xxt)( )(00yyt0)(00zzt2022-1-127,( ),( ),xxyy xzz x00(1,(),()y xz xT2022-1-128光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF当0),(),(zyGFJ)()(xzxyxydd曲线上一点),(000zyxMxyz, 且有xzdd,),(),(1xzGFJ ,),(),(1yxGFJ 时, 可表示为处的切向量为 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,

5、),(),(1,1)(, )(, 100 xxT2. 曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况2022-1-129 000zzyyxxMzyGF),(),(则在点),(000zyxM切线方程切线方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy 0)(0 zzMMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(或或2022-1-12100)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxzG

6、FxxMzyGF0)(),(),(0zzMyxGF法平面方程法平面方程2022-1-12110,6222zyxzyx在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. MzyGF),(),(切线方程121zyx解法解法1 令,222zyxGzyxF则即2020 xzy切向量;0),(),(MxzGFMzy1122Mzy)(2;606xyz66),(),(MyxGF)6,0, 6(T例2 求曲线求曲线2022-1-12120) 1(6)2(0) 1(6zyx即0 zxxxzzxyydddd解法解法2. 方程组两边对 x 求导, 得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线

7、在点 M(1,2, 1) 处有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1法平面方程法平面方程2022-1-1213切线方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx点 M (1,2, 1) 处的切向量011)1,0, 1(T2022-1-12140),(:zyxF二、曲面的切平面与法线 设有光滑曲面通过其上定点),(000zyxM0tt 设对应点 M,)(, )(, )(000ttt切线方程为)()()(000000tzztyytxx不全为0 . 则 在, )(, )(, )(:tztytx且点 M 的切

8、向量切向量为任意引一条光滑曲线MT下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面. 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. )(, )(, )(000tttT(Tangent plane and normal line of surface)2022-1-1215MT在 上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttF,0处求导两边在tt ,0Mtt对应点注意 )(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx

9、令nT 切向量由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量n的平面上 , 从而切平面存在 .n证证:2022-1-1216曲面 在点 M 的法向量法向量),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx切平面方程切平面方程)( ),(0000 xxzyxFx法线方程法线方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn2022-1-1217)( ),(000 xxyxfx曲面时, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(则在点),(zyx故当函数

10、),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyfF 1zF令有在点),(000zyx在点有连续偏导数时, )( ),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程特别, 当光滑曲面当光滑曲面 的方程为显式的方程为显式 2022-1-1218,法向量法向量用将),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.为锐角则分别记为则向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx法向量的法向量的方向余弦：2211cosyxff,1cos,1cos2222yxyyxxffffff202

11、2-1-12193632222zyx在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法线方程法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令)6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n例3 求球面求球面2022-1-1220解题思路解题思路:)( ),(000 xxyxfx)( ),(000yyyxfy0zz切平面方程切平面方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程2022-1-12211. 空间

12、曲线的切线与法平面 切线方程切线方程 000zzyyxx法平面方程法平面方程)(00 xxt1) 参数式情况参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量切向量内容小结)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(000tttT2022-1-1222切线方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yy MyxGF)

13、,(),(0)(0 zzT2) 一般式情况一般式情况.2022-1-1223空间光滑曲面0),(:zyxF曲面 在点法线方程法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隐式情况隐式情况 .的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线2022-1-1224空间光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(00000

14、00yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff法线的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量) 1 ,(yxffn2) 显式情况显式情况.2022-1-1225思考与练习0453203222zyxxzyx在点(1,1,1) 的切线与法平面.（解答见下页）1. 求曲线2022-1-12260453203222zyxxzyx在点(1,1,1) 的切线解解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为)2,2, 1(因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线:111zyx1691法平面:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即与法平面.) 1 , 1 , 1 (1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl1. 求曲线2022-1-1227提示提示: 设切点为, ),(000zyxM则000226zyx3301633000zyx163202020zyx22. 如果平面01633zyx与椭球面相切,223yx .求162 z(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)2022-1-1228证明 曲面)